ОБОБЩЕННЫЙ ЭРМИТОВЫЙ СПЛАЙН В Е4 ПРОСТРАНСТВЕ

 

АННОТАЦИЯ

Реальное проектирование конструкций связано с их оптимизацией. Среди различных формулировок оптимизации с практической точки зрения наибольший интерес представляет задача отыскания конструкций наименьшей условной стоимости (массы) при заданной несущей способности. Для ускорения решения этой задачи возникает необходимость замены гиперповерхности, моделирующей функцию пластичности, описанным или вписанным полиэдром, т.е. аппроксимацией.

ABSTRACT

The actual design of structures is related to their optimization. Among the various formulations of optimization from a practical point of view, the most interesting is the problem of scanning the constructions of the names of the conditional value (mass) at a given load-bearing capacity. To speed up the solution of this problem, it becomes necessary to replace the hypersurface modeling the plasticity function with described or inscribed polyhedra, i.e. approximation.

 

Ключевые слова: гиперсети, метод конечных разностей, интерполяция, краевые условия, принадлежность, точек обвода, узлы, дифференциал, непрерывность, эрмитовый сплайн, пространства, полиномы, аппроксимация.

Keywords: hypernets, finite difference method, interpolation, boundary conditions, membership, circumference points, nodes, differential, continuity, Hermitian spline, spaces, polynomials, approximation.

 

Используемые в работе обозначения и определения сплайнов в Еⁿ n=2. Приведем основные необходимые обозначения интерполяционных классических (полиномиальных) сплайнов, известные в литературе [16; 1; 2; 4; 15], которые наряду с некоторыми обобщениями являются основным математическим аппаратом в данной работе:

 – множество натуральных чисел; – множество действительных чисел; Ƶ – множество целых чисел; Ƶ – множество всех положительных чисел;

 –(n) n-мерное евклидово пространство;

[a;b],( a;b )  R; ab – замкнутый отрезок; (a; b) – открытый отрезок;

C ^k [a; b] – множество k раз непрерывно дифференцируемых функций,

 определенных на отрезке [a, b];

P_m (m) – множество полиномов степени не выше m;

:  – сетка, заданная на [a,b] (рис. 1).

 

 

a                                                                      b

Рисунок 1. Сетка, заданная на сегменте [a, b]

 

В двумерном пространстве  будем пользоваться следующими обозначениями:

 =(– прямоугольная область ;

– граница области;

– замыкание области;

 в порядке  переменной Х порядка l по переменной  от функции ;

 [] – множество непрерывных на функции  раз непрерывно дифференцируемых по  раз по ;

– множество полиномов степени не выше  и не выше q по y;

:

                    (1.1)

Для обозначения сплайнов ниже употребляются также символы вида S(x) и другие. Сетка, заданная на  (рис. 2).

 

Рисунок 2. Сетка, заданная

 

Пусть (x)(X,) называем полиномиальным сплайном степени  дефекта k (kс узлами (1.2), если:

а)(x) на отрезке  i i0,1,…, n–1,

(x) на отрезке [a ;b], a точки  называют узлами сплайна.

Функцию (x,) называют интерполяционным полиномиальным сплайном для функции f (x), если:

а) (x),

(x) на отрезке [a ;b];

в)

числа  называются узлами сплайна.

В Е⁴ пространстве будем пользоваться следующими обозначениями:

 (a) прямоугольная область Е³.

– смещанная производная порядка k, переменной х, производная порядка l, производная порядка m, переменной y, функции

f (x;y;z;t) и т. д.

: a   

c   e    (1.2)

u   – сетка, заданная на  (рис. 3).

 

Рисунок 3. Сплайн-аппроксимации в Е⁴ пространстве

 

Аппроксимация функций многочленами в Е⁴ пространстве. В этой статье изложены основные понятия теории сплайнов п достаточно простые методы сплайн-аппроксимации в Е⁴ пространстве.

Пусть в Е⁴ пространстве на отрезках []; []; [], []; [], [] на вещественный осях будем рассматривать множества, элементы которых суть непрерванные функции.

( где )

 (m) – множество полиномов степени не выше m, : a  ….

   – сетка, заданная на .

Действительно, такие сплайны целесообразно применять для математического описания в автоматизированных системах проектирования и технологической подготовки производства в таких отраслях, как строительство, машиностроение, авиастроение, судостроение, автомобилестроение, турбостроение, где в большинстве практических задач прикладной геометрии производные функции, порождающие восстанавливаемые поверхности, не задаются аналитически.

Из обобщенных эрмитовых сплайнов легко получаются различные виды других видов сплайнов, в том числе и наиболее часто встречающиеся в литературе обычно бикубические сплайны. Как будет показано в последующих работах этой статьи, сплайны, полученные как частные случаи обобщенных эрмитовых сплайнов, имеют простой вид, достаточно экономичны в затратах в компьютерном времени при их построении и исследовании и, кроме того, могут быть необязательно полиномиальными. Последние обстоятельства дают возможность с большой точностью восстанавливать поверхности, каркасы которых частично или полностью заданы аналитически.

В данной работе построение обобщенных эрмитовых сплайнов основано на разложении функции трех переменных в прямоугольном параллелепипеде области, по ее значениям и значениям ее производных на границах области

  ;) (рис. 4). 

 

    

Рисунок 4. Сплайн в E⁴ пространстве

 

Обозначим через (x) полиномы степени (1) относительно Х и через (y) полиномы той же степени относительно у,

(s); (z) полиномы той же степени относительно Z (q).

Коэффициенты этих полиномов определяются из условий:

  

 (*1.3)

–, определяемый равенствами:

 

Предположим теперь, что () – бесконечно дифференцируемая функция, заданная прямоугольником , и рассмотрим следующие выражения:

Свойства полином в(y),определяемые равенствами (*1.3), обеспечивают выполнение следующих граничных условий для функции

  (x,y), (y,z), (x,z):

 

 где   

 Отметим, что для функции (x,y) справедливо следующее предельное соотношение при условии  как бесконечно дифференцируемой функции:

Если функция  не является бесконечно дифференцируемой, тогда можно ее аппроксимировать функциями  (x,y), (y,z) при конечном р.

При этом будем иметь оценку модуля разности:

где S – площадь прямоугольника .

Подчеркнем, что оценка (*1.6) имеет место лишь при условии, что функция области  2p раз непрерывно дифференцируемая как по x,так и по y.

Разобьем прямоугольник  сеткой (рис. 5).

 

Рисунок 5. Разбивание сеткой прямоугольника  на прямоугольники

 

 ….

…. (*1.8)

При этом будем обозначать, ,

Сетка (1.7) разбивает параллелепипед на параллелепипеды

 ]]

В каждом из прямоугольников аппроксимируем например, при. Индекс P при этом будем опускать, а вместо него поставим индекс, обозначающий, что  относится к ячейке сетки , являющейся ее носителем.

В этом случае  принимает вид:

 (*1.9)

Полиному ипри  можно придать следующий вид:

(x)  ( 3x – 2x – );(x)  ( 3 – 2x – );

(x)  (– ); где   ;

(x)   ( – ); (*1.10)

(x)  (3 – 2x - ); (y)  (3 – 2y – );

(y)  (3 – 2y – ); (y)  ;

(y)  (y – ); где   (*1.11)

(x)  (3 – 2x – ); (x)  ;

(x)  (– );   ; (*1.12)

(y)  ( 3 – 2y – );(y)  (3 – 2y – );

(y)  ; (y)   (y – );

 где   (*1.13)

Аналогичным образом можно записать трехмерный сплайн, являющийся аналогом бикубического эрмитового сплайна.

Он будет иметь вид:

Сплайн так же, как и бикубический эрмитовый сплайн, принадлежит пространству функции (), но в отличие от него интерполяция функции производится не только в узлах, но и на линиях сетки [6; 9; 10].

Действительно, из свойств полиномов,, определимых условиями, вытекают равенства:

 ,  ,

 ; (*1.15)

 

Кроме того, в узлах сетки (*1.3) выполняется равенство также смешанных производных:

  

Оценка (1.7) примирителю к модулю разности | | принимает вид:

) (*1.16)

 

Список литературы:

1. Алберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. – М. : Мир, 1972. – 319 с.
2. Ахмедов Ю.Х. Автоматическая аппроксимация односвязных гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий: Автореферат. – Киев, 1984. – 208 с.
3. Волков В.Я. Конструирование Шубертовых многообразий и их применение / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Геометрическое моделирование и компьютерная графика. – СПб., 1992. – С. 45–50.
4. Гумен Н.С., Гумен B.C. Геометрическое моделирование некоторых многопараметрических систем хими­ческой технологии. – Киев: Вища школа, 1977. – С. 9.
5. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. – М. : Радио и связь, 1985. – 303 с.
6. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. – М. : Машиностроение, 1980. – 224 с.
7. Махмудов М.Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. – 2022. – № 2 (95) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13145 (дата обращения: 04.03.2022).
8. Роджерс Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. – М. : Мир, 2001. – 604 с.
9. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач : учебн. пособие / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, М.Г. Персова. – Новосибирск : Сер. «Учебники НГТУ», 2007. – 896 с.
10. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. – М. : Наука, 1976. – 247 с.
11. Тошев И.И., Абдуллаев С.С. Мемориальный комплекс Бахоуддин Накшбанди в Бухаре // Universum: общественные науки: электрон. научн. журн. – 2022. – № 2 (81) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/social/archive/item/13128 (дата обращения: 04.03.2022).
12. Тошев И.И., Абдуллаев С.С., Бадриддинов С.Н. Популярные памятники и достопримечательности Бухары (Минарет Калян, Торговые купола) // Universum: общественные науки: электрон. научн. журн. – 2022. – № 2 (81) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/social/archive/item/13053 (дата обращения: 04.03.2022).
13. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1979. – 280 с.
14. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. – М. : Изд-во МАИ, 1980.
15. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического проектирования и конструирования сложных поверхностей. – М. : Изд-во МАИ, 1990. – 74 с.
16. Akhmedov Y.H., Mahmudov M.Sh. Use of e4 space in describing a graph-analytical representation of multi-factor events and processes // IJIEMR. – 2020. – Vol. 09, Issue 09. – P. 194–197 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.ijiemr.org.
17. Mahmudov M.Sh. E4 fazosida chekli farqlar usulidan foydalangan holda gipernetni qurish // JournalNX. – 2020. – 6.11. – P. 238–239.
18. Mahmudov M.Sh. Ko‘p o‘lchovli fazodan ko‘p omilli hodisa va jarayonlarning grafik-analitik tavsifida foydalanish // Orange Technologies. – 2.10. – P. 124–127.