АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОБОЛОЧЕК

АННОТАЦИЯ

В данной работе решается оптимизационная задача: отыскивается минимум числа граней вписанного или описанного полиэдра при заданной точности решения задачи предельного равновесия. Основу работы составляет автоматическое построение выпуклых полиэдров вокруг поверхности, а также автоматическое формирование матрицы задачи линейного программирования.

ABSTRACT

In this paper, an optimization problem is solved: the minimum number of faces of an inscribed or described polyhedron is found for a given accuracy of solving the limit equilibrium problem. The basis of the work is the automatic construction of convex polyhedra around the surface, as well as the automatic formation of the matrix of the linear programming problem.

Ключевые слова: гиперсеть, метод конечных разностей, интерполяция, краевые условия, принадлежность, точка обвода, узлы, полный дифференциал, непрерывность, эрмитовый сплайн, пространство.

Keywords: Hyper net, finite difference method, interpolation, boundary conditions, affiliation, bypass points, nodes, complete, differential, continuity, Hermitian spline, spaces.

В настоящей статье рассмотрены теоретические результаты, применены к анализу прочности тонкостенных оболочек, используемых в строительстве, машиностроении и других отраслях техники в качестве несущих поверхностей. Среди оболочек покрытий преобладают железобетонные оболочки постоянной и переменной толщины. Современные нормы проектирования строительных конструкций из железобетона допускают неупругое поведение материала и развитие пластических деформаций. Последние возникают при одновременном в различных направлениях (в пологих оболочках обычно четыре – места независимых внутренних усилий).

Условие перехода материала оболочки в состояние имеет вид уравнения, связывающего все силовые факторы с некоторой константой материала. Такое условие называют условием пластичности (текучести), в пространстве внутренних усилий оболочки оно имеет вид выпуклой замкнутой гиперповерхности второго порядка [6]. Эта поверхность используется в расчетах несущей способности оболочек. Эффективность того или иного метода расчета, в свою очередь, связана со способом линеаризации гиперповерхности текучести.

Механическое поведение и несущая способность оболочек. Теперь рассмотрим условия текучести. Статическая и кинематическая формулировка задач предельного равновесия оболочек показывает, что условие текучести играет важную роль в определении верхних и нижних оценок предельной нагрузки.

В общем случае в каждой точке оболочки действуют восемь внутренних усилий: нормальные силы , , поперечные силы  изгибающие моменты  моменты  сил на переход материала в пластическое состояние невелико, поэтому часть из восьми перечисленных усилий имеет вид:

 () ,                                                               (1)

где  – константа, зависящая от предела текучести  материала при простом растяжении (сжатии).

Уравнение (1) в пространстве внутренних усилий ,…, описывает замкнутую выпуклую гиперповерхность, окружающую начало координат. Существуют различные виды конкретных условий текучести (1), переменные …, входят в них, как правило, от второй степени. Вид  зависит от свойств материала, от формы оболочки и других факторов. Существенной особенностью условий текучести (1) является то, что функция  связывает все шесть силовых факторов [7].

Современная теория предельного равновесия оболочек позволяет исследователю выбрать условие текучести в готовом виде. Другая возможность состоит в том, чтобы получить это условие в пространстве внутренних усилий …,, исходя из условия текучести, сформулированного в выражениях . Переход от пространства напряжений к пространству усилий представляет собой достаточно трудную задачу, часто невыполнимую из-за невозможности проинтегрировать условие в напряжениях по толщине оболочки.

Рассмотрим вначале частный случай – безмоментную постановку задачи. При  получаем

,                                                   (2)

где Z (x; y) – уравнение срединной поверхности в декартовых координатах;

q – интенсивность распределенной нагрузки, нормальной к срединной поверхности.

На область, занятую оболочкой, нанесем регулярную сетку с квадратной ячейкой, для узла с номером i; j получим из первого и второго уравнений (2), воспользовавшись односторонними разностями:

                                           (3)

В третьем уравнении (1) коэффициенты при усилиях приведены к срединной поверхности, постоянные либо изменяющиеся от узла к узлу. Важно отметить, что система, образованная третьим уравнением (2) и уравнениями (3), является алгебраической системой линейных уравнений.

Обозначив кривизны   ;   ;   и переходя к безразмерным усилиям, получаем:

где  оболочки, получим систему линейных уравнений для узла сетки номером:

                                       (4)

Уравнения вида (4) могут быть записаны для узла сеточной области.

В более общем случае, то есть в моментной теореме оболочек, для представления вторых производных моментов в третьем уравнении (4) воспользуемся вторыми разностями. Для точки с номером i; j получим:

Здесь – шаг сетки в каждом из направлений, величины безразмерные изгибающие моменты, введенные:

Подстановка соотношений (5) в (2) позволяет третье уравнение заменить соответствующим алгебраическим выражением. Здесь важно заметить, что все алгебраические уравнения, полученные путем сеточной дискретизации, линейны относительно усилий .

Условия закрепления кроев позволяют сразу указать значения внутренних усулий в точках сетки, совпадающих с контуром, для свободного опирания краев при:

Пусть для определенности срединная поверхность оболочки есть эллиптический параболоид:

Z ,                                                            (6)

где 2а – размер стороны оболочки в плане;

– стрела подъема.

Вычисляя кривизну срединной поверхности, найдем:

                                                         (7)

Дополнительно обозначим – пологость, e – относительную толщину, – безразмерную интенсивность равномерной нагрузки. Примем для конкретного примера

В линейные алгебраические уравнения, полученные описанным способом, входит величина   а также внутренние имя . В соответствии с теоремой о нижней границе предельной нагрузки получаем статическую формулировку задачи: необходимо, варьируя поля внутренних усилий , найти min p.

Так как все названные величины входят в уравнения равновесия в первой степени, для отыскания можно было бы применить эффективный метод линейного программирования, гарантирующий получение решения законченного числа шагов. Ниже представлен метод линеаризации выпуклых гиперповерхностей применительно к задачам несущей способности жесткопластических оболочек.

Конкретный вид условия пластичности зависит от свойств материала, от формы срединной поверхности и других особенностей задачи, среди свойств пластического материала, влияющих на вид и структуру, условия пластичности, особое значение имеет его «знак чувствительности», то есть зависимость величины предела текучести от знака действующего усилия (растяжение и сжатие). В частном случае материал может одинаково сопротивляться сжатию и растяжению (сталь, алюминий, другие пластичные материалы), общему же случаю отвечает соотношение:

,

– пределы текучести материала при сжатии и растяжении.

Для оболочек из равносопротивляющегося материала наибольшее распространение получило условие пластичности Мизеса:

,       (8)

являющееся гиперэллипсоидом в пространстве внутренних усилий.

Для того чтобы построить эффективную процедуру расчета несущей способности жесткопластических оболочек на основе линейно-программных методов, необходимо взамен криволинейных условий текучести (8) получить их линейные приближения в виде тел, ограниченных участками гиперплоскостей (полиэдрами). Проблема такой заме ног (проблема линеаризации) содержит следующие последовательности.

1. Методика линеаризации должна быть пригодна как для регулярных, так и для песочно-регулярных поверхностей.
2. С целью контроля погрешности при аппроксимации гиперповерхностей полиэдрами необходимо всякий раз строить как вписанные, так и описанные полиэдры.
3. Размер задачи, объем вычислений и расход компьютера заметно зависят от числа граней полиэдра и резко возрастают с увеличением их числа. При неполном количестве гиперграней полиэдра объем задачи невелик, но и точность результатов также невелика. Поэтому возникает вопрос о выборе оптимального числа граней, позволяющего получить заданную точность вычислений при наименьших затратах машиной времени.

Список литературы:

1. Ахмедов Ю.Х. Автоматическая аппроксимация односвязных гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий: Автореферат. – Киев, 1984. – 208 с.
2. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия : монография / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. – Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. – 244 с.
3. Гумен Н.С., Гумен B.C. Геометрическое моделирование некоторых многопараметрических систем хими­ческой технологии. – Киев : Вища школа, 1977. – 108 с.
4. Махмудов М.Ш. Формирование линеаризованной дискретной модели условия пластичности / Polish Science Journal. – Warsaw : Sp. z o. o, 2021. – Issue 1 (34). Part 2. – 112 p.
5. Махмудов М.Ш. Элементы гиперсетей и их взаимопринадлежность // Polish Science Journal. – Warsaw, 2020. – Issue 9 (30). – P. 70–73.
6. Ольшак В., Савчук А. Неупругие поведение оболочек. – М. : Мир, 1966. – 144 с.
7. Рассказов А.О., Дехтярь А.С. Предельное равновесие оболочек. – Киев : Вища школа, 1978. – 152 с.
8. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложение. – Л. : Изд. ЛГУ, 1979. – 280 с.
9. Makhmudov M.Sh, Akhmedov Y.H. Use Of E4 Space // Describing A Graph-Analytical Representation Of Multi-Factor Events And Processes. – Vol. 09, Issue 09. – P. 194–197.
10. Makhmudov M.Sh. Construction Of A Hypernet With Use Finite Difference Method In E4 Space // Journal NX 6.11 A Multidisciplinary Peer Reviewed Journal. – 2020. – P. 238–239.