диссертант научно-исследовательской лаборатории «Интеллектуальные системы управления и принятия решений в промышленности и экономике» Азербайджанского Государственного Университета Нефти и Промышленности, Азербайджан, г. Баку
ОПЕРАЦИИ НАД Z-ЧИСЛАМИ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ВЫСОКОГО УРОВНЯ
АННОТАЦИЯ
В статье рассматриваются основные операции над нечеткими Z-числами, являющимися эффективным формализмом неопределенности высокого уровня в моделях принятия решений. Данные операции могут быть использованы при многокритериальном анализе и решении задач принятия решений в различных сферах деятельности.
ABSTRACT
The article discusses the basic operations on fuzzy Z-numbers, which are effective high-level uncertainty formalism in decision-making models. These operations can be used in multicriteria analysis and decision-making in many areas.
Ключевые слова: неопределенность высокого уровня, Z-число, операции над Z-числами, многокритериальные методы
Keywords: high-level uncertainty, Z-number, operations on Z-numbers, multicriteria methods
Введение
Неопределенность при принятии управленческих решений обусловлена как особенностями процесса управления, так и средой принятия решений. Принимаемые управленческие решения всегда направлены в будущее и поэтому лицо принимающее решение (ЛПР) не может обладать точной информацией о развитии событий и изменении ситуации. Принятие решений в условиях определенности происходит значительно реже. Примером может быть решение о неотложной замене вышедшей из строя какой-либо небольшой запасной части для оборудования. В данном случае каждая альтернатива точно известна, имеется возможность достаточно быстро выбрать приемлемый вариант решения и реализовать его. Кроме того, ситуация с поставщиками и уровнем предлагаемых цен также остается практически неизменной. Однако такие случаи довольно редки. ЛПР часто не обладает достоверной информацией о ситуации. Другими словами, принятие решений в большинстве случаев происходит в условиях неопределенности.
Неопределенность при принятии управленческих решений в ряде областей формируется ввиду невозможности с требуемой точностью предсказать значение тех или иных показателей будущем; неизвестности точных величин параметров внешней и внутренней среды во время принятия решений, а также наличия у участников собственных интересов и целей (конфликт интересов). На практике зачастую происходит сочетание этих факторов и тем самым создается большой набор различных видов неопределенности.
Исторически сложилось, что первым формализмом для описания процесса принятия решений в условиях неопределенности и построения соответствующих моделей, стал вероятностный подход. Однако некоторые неопределенности при принятии решений не являются случайными и их описание при помощи вероятностного подхода не всегда возможно. Это относится к неопределенностям, связанных с интуицией и субъективными суждениями. В связи с этим во второй половине 20 века появились исследования по моделированию неопределенности, основанные на других подходах – работы по нечеткой логике. С момента опубликования основополагающей работы [1] прошло 55 лет и применение нечетких подходов при принятии решений в различных сферах деятельности стало устоявшейся практикой.
В задачах принятия управленческих решений в социально-экономических сферах, например в туризме, ЛПР часто оперирует информацией, которую можно охарактеризовать как несовершенную. Это связано с такими особенностями этой сферы как большая вовлеченность различных людей в процесс оказания туристических услуг; неоднородность участников (туроператоры и турагенты, отели, транспортные организации, объекты питания, государственные и муниципальные органы и т. д.), каждый из которых представляет собой систему со своим разнообразием циркулирующей информации; наличием данных из источников различной достоверности (рекламные сайты, объявления, расписание авиарейсов, нормативные акты, телевидение, социологические службы и т.д.).
Вышеуказанные обстоятельства порождают проблему принятия решений в условиях с большой неопределенностью. Для решения подобных задач в 2011 году Л.Заде предложил концепцию Z-чисел [2], позволяющую описывать несовершенную информацию выражениями максимально приближенными к естественному языку (computing with words). Если рассматривать туризм, то можно привести множество примеров использования информации, которая наилучшим образом может быть описана Z-числами. Например, менеджеры турагентств в ответ на обращение к экспертам о прогнозе потока туристов на следующий квартал вряд ли получат точную числовую оценку. Обычно ответ будет в форме «вероятно уменьшится». Также если турист и турагентство будут интересоваться состоянием медицинских услуг, то вряд ли получат ответ, выраженный в количестве больничных коек или врачей на 1000 жителей. Такой ответ не устроит и инициатора, однако если он получит информацию вида «весьма вероятно на высоком уровне», то будет удовлетворен ответом. В указанных двух примерах Z-числами и их значениями будут Объем турпотока в следующем квартале = (уменьшится, вероятно) и Состояние медицинского обслуживания = (на высоком уровне, весьма вероятно). Как видно из примеров, парадигма Z-чисел, объединяющая (синтезирующая) в себе нечеткий и вероятностный подходы, позволяет описывать информацию для принятия решений на естественном языке.
Операции над Z-числами широко освещены в англоязычной литературе. На русском языке таких публикаций значительно меньше. Учитывая важность проблемы формализации неопределенности высокого уровня для многокритериальных подходов к принятию решению (МКПР), предлагается рассмотреть некоторые операции над Z-числами, используемые в моделях принятия решений.
Основная часть
Операции над Z-числами в моделях принятия решений
Основные операции с Z-числами описаны в [3]. Большинство исследователей при работе с нечеткими величинами в основном оперируют нечеткими числами (НЧ), заданными трапециевидной и треугольной функциями принадлежности (ФП). Использование подобных функций обеспечивает как адекватное описание предметной области, так и проведение основных математических операций над нечеткими числами.
Для решения задач на основе МКПР в условиях высокой неопределенности широко используются Z-числа, части которых выражены нечеткими трапециевидными или треугольными числами. В этих подходах используются такие операции как извлечение квадратного корня, возведение в квадрат, определение расстояния и меры сходства между числами.
С целью расширения традиционных многокритериальных методов (например TOPSIS, PROMETHEE, VIKOR и т. д.) для решения задач с высоким уровнем неопределенности предлагается формализовать следующие операции с Z-числами.
Определение 1. Z-число (непрерывное / дискретное) — это упорядоченная пара (A, B) нечетких чисел. Первый компонент – часть A, выраженная непрерывным/дискретным нечетким числом — это ограничение на значения, которые может принимать неопределенная переменная X на оси действительных чисел. Часть B, выраженная непрерывным/дискретным нечетким числом, является мерой уверенности или определенности A.
Пример: X равно A со степенью уверенности B, или Температура= (примерно 5, очень уверен), Возраст= (примерно 10, полностью уверен)
Если выразить эти же значения в форме трапециевидных или треугольных функций принадлежности, то указанные Z-числа можно представить следующим образом
Zтемп=(4.5, 4.9, 5.1, 5.5) (0.8, 0.85, 0.95, 1) или Zвозраст=(9, 10, 11) (0.9, 1,1)
Определение 2. Квадратный корень из Z-числа
Расчет квадратного корня из Z-числа ZY (AY, BY) = представляет собой процедуру, состоящую из нескольких шагов. Необходимым условием извлечения квадратного корня является не отрицательность частей A и B.
1-й шаг. Расчет части А.
Для расчета квадратного корня для части А в случае непрерывного нормального нечеткого числа, для наглядности и простоты представленного треугольной ФП, записанной в виде A= [a1, a2, a3], где a1 <a2 <a3, используем метод α-среза. Тогда записав нечеткое число с треугольной ФП в виде α-срезов c конечными точками левой и правой частей
Aα= [(a2-a1)α +a1,a3-(a3-a2)α] получим
|
(1) |
Функция принадлежности также претерпевает нижеследующие изменения
μA (x)= |
(2) |
Следует отметить, что видоизменение функции принадлежности непрерывного НЧ при операции извлечение квадратного корня не оказывает существенного влияния на дальнейшие практические расчеты. Это связано с тем, что в используемых для большинства практических задач треугольных или трапециевидных НЧ – как разновидности нечетких L-R чисел важны носитель и ядро этих чисел, а также соответственно преобразования числовых значений, связанных с носителем и ядром.
2-й шаг. Расчет части B.
Согласно методике указанной в [3] BY=BX
Определение 3. Возведение Z-числа в квадрат
Вычисление Z-числа ZY (AY, BY) = ZX (AX, BX)2 также представляет собой процедуру, состоящую из нескольких шагов.
1-й шаг. Расчет части А.
Для расчета целой степени (квадрата) для части А в случае непрерывного нормального нечеткого числа A, представленного трапециевидной ФП, записанной в виде A= [a1, a2, a3, a4], где a1 <a2 <a3 <a4 , используем метод α-среза. Тогда записав нечеткое число с трапециевидной ФП в виде α-срезов c конечными точками левой и правой частей
Aα= [(a2-a1)α +a1,a4-(a4-a3)α] получим (Aα)2= [((a2-a1)α +a1)2,(a4-(a4-a3)α)2] |
(3) |
Функция принадлежности также претерпевает нижеследующие изменения
μA (x)= |
(4) |
Как и при операции извлечения корня, видоизменение функции принадлежности непрерывного НЧ при операции возведения в квадрат не оказывает существенного влияния на дальнейшие практические расчеты.
2-й шаг. Расчет части B.
Так же, как и в случае извлечения корня, при операции возведения в корень BY=BX..
Определение 4. Произведение скалярной величины на Z-число
Произведение скалярной величины λ на Z-число – Z2= λ ∙ Z1, где λ ϵ R, определяется формуле
Z2= (λ A1,B1) |
(5) |
Определение 5. Расстояние между Z-числами.
Согласно методике предложенной в [4] расстояние между двумя Z-числами Z1 и Z2, части которых задаются трапециевидными нечеткими числами A1=(a11,a12,a13,a14), B1=(b11,b12,b13,14), A2=(a21,a22,a23,a24), B2=(b21,b22,b23,24), рассчитывается по следующей формуле
|
(6) |
Определение 6. Меры сходства Z-чисел
Мерой сходства двух нечетких чисел является действительное число от 0 до 1, которое характеризует их сходство с точки зрения формы и расположения. Если два нечетких числа идентичны, то мера сходства равна 1. Существует много методов расчета этого показателя. Для вычисления меры сходства Z-чисел в случае задания их частей трапециевидными или треугольными нечеткими числами предлагается использовать следующий подход.
Один из подходов заключается в вычислении индекса Жаккара [4], измеряющего сходство между конечными множествами (наборами) и определяемого как результат деления размера (величины) пересечения множеств на размер (величину) объединения множеств (наборов).
J (B1,B2) = |
(7) |
Индекс Жаккара для Z-чисел, части A и B которых выражены трапециевидными или треугольными числами, вычисляется по формуле:
J (Z1, Z2) = |
(8) |
Где J (A1, A2) и J (B1, B2) рассчитываются по формуле
|
(9) |
Для вычисления меры сходства между треугольными и трапециевидными нечеткими числами Ḃ1= (b11, b12, b13, b14) и Ḃ2= (b21, b22, b23, b24), где b11≤b12≤b13≤b14≤1 и b21≤b22≤b23≤b24≤1 будем использовать формулу, в которой принимается во внимание взаимное положение чисел и формы функций принадлежности [5].
Для принятия во внимание при расчетах относительного взаимного расположения чисел определяются т. н. крайние точки l=min {b11, b21} и r = max {b14, b24}. Первое слагаемое определяет сходство относительно l, второе относительно r.
Аргументы для формулы рассчитываются по правилам, приведенным в таблице 1.
Таблица 1.
Аргументы для расчета меры сходства
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
b11-l |
b12-l |
b13-l |
b14-l |
1 |
b12 -b11 |
b13 -b12 |
b14 -b13 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
y8 |
b21-l |
b22-l |
b23-l |
a24-l |
1 |
b22 -b21 |
b23 -b22 |
b24 -b23 |
x'1 |
x'2 |
x'3 |
x'4 |
x'5 |
x'6 |
x'7 |
x'8 |
r-x4 |
r-x3 |
r-x2 |
r-x1 |
1 |
x6 |
x7 |
x8 |
y'1 |
y'2 |
y'3 |
y'4 |
y'5 |
y'6 |
y'7 |
y'8 |
r-y4 |
r-y3 |
r-y2 |
r-x1 |
1 |
y6 |
y7 |
y8 |
Также в практических расчетах оправдано применение другого подхода, когда мера сходства между двумя Z-числами рассчитывается как величина, обратно пропорциональная расстоянию между ними.
|
(10) |
Расстояние может быть рассчитано по формуле
|
(11) |
Для расчета меры сходства между Z-числами по формуле (10) использовать расстояние, рассчитанное по формуле (6).
Заключение
Неопределенность – ключевой атрибут в принятии управленческих решений в социальной и экономических сферах деятельности, который возможно описать при помощи синергетического формализма Z-чисел, сочетающих в себе нечеткие и вероятностные подходы. Предложенные методы математических расчетов с Z-числами, задающих значения неопределенных переменных, позволяют формализовать и решать задачи выбора оптимального решения в условиях высокой неопределенности. Z-числа могут быть заданы непосредственно исследователями в виде упорядоченных пар трапециевидных и треугольных нечетких чисел. Наличие формализмов, описывающих операции над Z-числами, делает возможным их применение для решения задач принятия управленческих решений. В статье задаются широко используемые в МКПР операции над Z-числами такие как извлечение квадратного корня, возведение в квадрат, определение расстояний и меры сходства
Список литературы:
- Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Information and Control. – 1965. Vol. 8. № 3. – pp. 338–353.
- Zadeh L. A. Note on Z-numbers// Information Science. – 2011. Vol. 181. № 14. – pp. 2923–2932.
- The arithmetic of Z-numbers. Theory and Applications /Aliev R.A., Huseynov O.H., Aliyev R.R., Alizadeh A.V. Singapore : World Scientific, 2015.-p.316
- Aliev, R. A., Pedrycz, W., Huseynov, O. H., Eyupoglu, S. Z. Approximate Reasoning on a Basis of Z-Number-Valued If–Then Rules. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. – 2017. Vol. 25. № 6. – pp.1589–1600.
- Hwang C.-M., Yang M.-S. New Similarity Measures Between Generalized Trapezoidal Fuzzy Numbers Using the Jaccard Index. // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. – 2014. Vol. 22, № 6. – pp.831-844.