ОПЕРАЦИИ НАД Z-ЧИСЛАМИ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ВЫСОКОГО УРОВНЯ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются основные операции над нечеткими Z-числами, являющимися эффективным формализмом неопределенности высокого уровня в моделях принятия решений. Данные операции могут быть использованы при многокритериальном анализе и решении задач принятия решений в различных сферах деятельности.

ABSTRACT

The article discusses the basic operations on fuzzy Z-numbers, which are effective high-level uncertainty formalism in decision-making models. These operations can be used in multicriteria analysis and decision-making in many areas.

Ключевые слова: неопределенность высокого уровня, Z-число, операции над Z-числами, многокритериальные методы

Keywords: high-level uncertainty, Z-number, operations on Z-numbers, multicriteria methods

Введение

Неопределенность при принятии управленческих решений обусловлена как особенностями процесса управления, так и средой принятия решений. Принимаемые управленческие решения всегда направлены в будущее и поэтому лицо принимающее решение (ЛПР) не может обладать точной информацией о развитии событий и изменении ситуации. Принятие решений в условиях определенности происходит значительно реже. Примером может быть решение о неотложной замене вышедшей из строя какой-либо небольшой запасной части для оборудования. В данном случае каждая альтернатива точно известна, имеется возможность достаточно быстро выбрать приемлемый вариант решения и реализовать его. Кроме того, ситуация с поставщиками и уровнем предлагаемых цен также остается практически неизменной. Однако такие случаи довольно редки. ЛПР часто не обладает достоверной информацией о ситуации. Другими словами, принятие решений в большинстве случаев происходит в условиях неопределенности.

Неопределенность при принятии управленческих решений в ряде областей формируется ввиду невозможности с требуемой точностью предсказать значение тех или иных показателей будущем; неизвестности точных величин параметров внешней и внутренней среды во время принятия решений, а также наличия у участников собственных интересов и целей (конфликт интересов).  На практике зачастую происходит сочетание этих факторов и тем самым создается большой набор различных видов неопределенности.

Исторически сложилось, что первым формализмом для описания процесса принятия решений в условиях неопределенности и построения соответствующих моделей, стал вероятностный подход. Однако некоторые неопределенности при принятии решений не являются случайными и их описание при помощи вероятностного подхода не всегда возможно. Это относится к неопределенностям, связанных с интуицией и субъективными суждениями. В связи с этим во второй половине 20 века появились исследования по моделированию неопределенности, основанные на других подходах – работы по нечеткой логике. С момента опубликования основополагающей работы [1] прошло 55 лет и применение нечетких подходов при принятии решений в различных сферах деятельности стало устоявшейся практикой.

В задачах принятия управленческих решений в социально-экономических сферах, например в туризме, ЛПР часто оперирует информацией, которую можно охарактеризовать как несовершенную. Это связано с такими особенностями этой сферы как большая вовлеченность различных людей в процесс оказания туристических услуг; неоднородность участников (туроператоры и турагенты, отели, транспортные организации, объекты питания, государственные и муниципальные органы и т. д.), каждый из которых представляет собой систему со своим разнообразием циркулирующей информации; наличием данных из источников различной достоверности (рекламные сайты, объявления, расписание авиарейсов, нормативные акты, телевидение, социологические службы и т.д.).

Вышеуказанные обстоятельства порождают проблему принятия решений в условиях с большой неопределенностью. Для решения подобных задач в 2011 году Л.Заде предложил концепцию Z-чисел [2], позволяющую описывать несовершенную информацию выражениями максимально приближенными к естественному языку (computing with words).  Если рассматривать туризм, то можно привести множество примеров использования информации, которая наилучшим образом может быть описана Z-числами. Например, менеджеры турагентств в ответ на обращение к экспертам о прогнозе потока туристов на следующий квартал вряд ли получат точную числовую оценку. Обычно ответ будет в форме «вероятно уменьшится».  Также если турист и турагентство будут интересоваться состоянием медицинских услуг, то вряд ли получат ответ, выраженный в количестве больничных коек или врачей на 1000 жителей. Такой ответ не устроит и инициатора, однако если он получит информацию вида «весьма вероятно на высоком уровне», то будет удовлетворен ответом. В указанных двух примерах Z-числами и их значениями будут Объем турпотока в следующем квартале = (уменьшится, вероятно) и Состояние медицинского обслуживания = (на высоком уровне, весьма вероятно). Как видно из примеров, парадигма Z-чисел, объединяющая (синтезирующая) в себе нечеткий и вероятностный подходы, позволяет описывать информацию для принятия решений на естественном языке.

Операции над Z-числами широко освещены в англоязычной литературе. На русском языке таких публикаций значительно меньше. Учитывая важность проблемы формализации неопределенности высокого уровня для многокритериальных подходов к принятию решению (МКПР), предлагается рассмотреть некоторые операции над Z-числами, используемые в моделях принятия решений.

Основная часть

Операции над Z-числами в моделях принятия решений

Основные операции с Z-числами описаны в [3]. Большинство исследователей при работе с нечеткими величинами в основном оперируют нечеткими числами (НЧ), заданными трапециевидной и треугольной функциями принадлежности (ФП). Использование подобных функций обеспечивает как адекватное описание предметной области, так и проведение основных математических операций над нечеткими числами.

Для решения задач на основе МКПР в условиях высокой неопределенности широко используются Z-числа, части которых выражены нечеткими трапециевидными или треугольными числами. В этих подходах используются такие операции как извлечение квадратного корня, возведение в квадрат, определение расстояния и меры сходства между числами.

С целью расширения традиционных многокритериальных методов (например TOPSIS, PROMETHEE, VIKOR и т. д.) для решения задач с высоким уровнем неопределенности предлагается формализовать следующие операции с Z-числами.

Определение 1. Z-число (непрерывное / дискретное) — это упорядоченная пара (A, B) нечетких чисел. Первый компонент – часть A, выраженная непрерывным/дискретным нечетким числом — это ограничение на значения, которые может принимать неопределенная переменная X на оси действительных чисел. Часть B, выраженная непрерывным/дискретным нечетким числом, является мерой уверенности или определенности A.

Пример: X равно A со степенью уверенности B, или Температура= (примерно 5, очень уверен), Возраст= (примерно 10, полностью уверен)

Если выразить эти же значения в форме трапециевидных или треугольных функций принадлежности, то указанные Z-числа можно представить следующим образом

Z_темп=(4.5, 4.9, 5.1, 5.5) (0.8, 0.85, 0.95, 1) или Z_{возраст}=(9, 10, 11) (0.9, 1,1)

Определение 2. Квадратный корень из Z-числа

Расчет квадратного корня из Z-числа Z_Y (A_Y, B_Y) =   представляет собой процедуру, состоящую из нескольких шагов. Необходимым условием извлечения квадратного корня является не отрицательность частей A и B.

1-й шаг. Расчет части А.

Для расчета квадратного корня для части А в случае непрерывного нормального нечеткого числа, для наглядности и простоты представленного треугольной ФП, записанной в виде A= [a₁, a₂, a₃], где a₁ <a₂ <a₃, используем метод α-среза. Тогда записав нечеткое число с треугольной ФП в виде α-срезов c конечными точками левой и правой частей

Функция принадлежности также претерпевает нижеследующие изменения

Следует отметить, что видоизменение функции принадлежности непрерывного НЧ при операции извлечение квадратного корня не оказывает существенного влияния на дальнейшие практические расчеты. Это связано с тем, что в используемых для большинства практических задач треугольных или трапециевидных НЧ – как разновидности нечетких L-R чисел важны носитель и ядро этих чисел, а также соответственно преобразования числовых значений, связанных с носителем и ядром.

2-й шаг. Расчет части B.

Согласно методике указанной в [3] B_Y=B_X

Определение 3. Возведение Z-числа в квадрат

Вычисление Z-числа Z_Y (A_Y, B_Y) = Z_X (A_X, B_X)² также представляет собой процедуру, состоящую из нескольких шагов.

1-й шаг. Расчет части А.

Для расчета целой степени (квадрата) для части А в случае непрерывного нормального нечеткого числа A, представленного трапециевидной ФП, записанной в виде A= [a₁, a₂, a₃, a₄], где a₁ <a₂ <a₃ <a₄ , используем метод α-среза. Тогда записав нечеткое число с трапециевидной ФП в виде α-срезов c конечными точками левой и правой частей

Функция принадлежности также претерпевает нижеследующие изменения

Как и при операции извлечения корня, видоизменение функции принадлежности непрерывного НЧ при операции возведения в квадрат не оказывает существенного влияния на дальнейшие практические расчеты.

2-й шаг. Расчет части B.

Так же, как и в случае извлечения корня, при операции возведения в корень B_Y=B_X..

Определение 4. Произведение скалярной величины на Z-число

Произведение скалярной величины λ на Z-число – Z₂= λ ∙ Z₁, где λ ϵ R, определяется формуле

Определение 5. Расстояние между Z-числами.

Согласно методике предложенной в [4] расстояние между двумя Z-числами Z₁ и Z₂, части которых задаются трапециевидными нечеткими числами A₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄), B₁=(b₁₁,b₁₂,b₁₃,₁₄), A₂=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄), B₂=(b₂₁,b₂₂,b₂₃,₂₄), рассчитывается по следующей формуле

Определение 6. Меры сходства Z-чисел

Мерой сходства двух нечетких чисел является действительное число от 0 до 1, которое характеризует их сходство с точки зрения формы и расположения. Если два нечетких числа идентичны, то мера сходства равна 1. Существует много методов расчета этого показателя. Для вычисления меры сходства Z-чисел в случае задания их частей трапециевидными или треугольными нечеткими числами предлагается использовать следующий подход.

Один из подходов заключается в вычислении индекса Жаккара [4], измеряющего сходство между конечными множествами (наборами) и определяемого как результат деления размера (величины) пересечения множеств на размер (величину) объединения множеств (наборов).

Индекс Жаккара для Z-чисел, части A и B которых выражены трапециевидными или треугольными числами, вычисляется по формуле:  

Где J (A₁, A₂) и J (B₁, B₂) рассчитываются по формуле

Для вычисления меры сходства между треугольными и трапециевидными нечеткими числами Ḃ₁= (b₁₁, b₁₂, b₁₃, b₁₄) и Ḃ₂= (b₂₁, b₂₂, b₂₃, b₂₄), где b₁₁≤b₁₂≤b₁₃≤b₁₄≤1 и b₂₁≤b₂₂≤b₂₃≤b₂₄≤1 будем использовать формулу, в которой принимается во внимание взаимное положение чисел и формы функций принадлежности [5].

Для принятия во внимание при расчетах относительного взаимного расположения чисел определяются т. н. крайние точки l=min {b₁₁, b₂₁} и r = max {b₁₄, b₂₄}. Первое слагаемое определяет сходство относительно l, второе относительно r.

Аргументы для формулы рассчитываются по правилам, приведенным в таблице 1.

Таблица 1.

Аргументы для расчета меры сходства

Также в практических расчетах оправдано применение другого подхода, когда мера сходства между двумя Z-числами рассчитывается как величина, обратно пропорциональная расстоянию между ними.

Расстояние может быть рассчитано по формуле

Для расчета меры сходства между Z-числами по формуле (10) использовать расстояние, рассчитанное по формуле (6).

Заключение

Неопределенность – ключевой атрибут в принятии управленческих решений в социальной и экономических сферах деятельности, который возможно описать при помощи синергетического формализма Z-чисел, сочетающих в себе нечеткие и вероятностные подходы. Предложенные методы математических расчетов с Z-числами, задающих значения неопределенных переменных, позволяют формализовать и решать задачи выбора оптимального решения в условиях высокой неопределенности. Z-числа могут быть заданы непосредственно исследователями в виде упорядоченных пар трапециевидных и треугольных нечетких чисел. Наличие формализмов, описывающих операции над Z-числами, делает возможным их применение для решения задач принятия управленческих решений. В статье задаются широко используемые в МКПР операции над Z-числами такие как извлечение квадратного корня, возведение в квадрат, определение расстояний и меры сходства

Список литературы:

1. Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Information and Control. – 1965. Vol. 8. № 3. – pp. 338–353.
2. Zadeh L. A. Note on Z-numbers// Information Science. – 2011. Vol. 181. № 14. – pp. 2923–2932.
3. The arithmetic of Z-numbers. Theory and Applications /Aliev R.A., Huseynov O.H., Aliyev R.R., Alizadeh A.V. Singapore : World Scientific, 2015.-p.316
4. Aliev, R. A., Pedrycz, W., Huseynov, O. H., Eyupoglu, S. Z. Approximate Reasoning on a Basis of Z-Number-Valued If–Then Rules. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. – 2017. Vol. 25. № 6. – pp.1589–1600.
5. Hwang C.-M., Yang M.-S. New Similarity Measures Between Generalized Trapezoidal Fuzzy Numbers Using the Jaccard Index. // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. – 2014. Vol. 22, № 6. – pp.831-844.