ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ПРЕДПОЛАГАЕМОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Χ2) СРЕДСТВАМИ EXCEL

АННОТАЦИЯ

В статье описан пример оценки показателей надежности безотказной работы системы и проверки гипотезы о непротиворечивости предполагаемого закона распределения отказов по критерию Пирсона. Расчет основных показателей произведен средствами VBA.

ABSTRACT

The article describes an example of evaluating the reliability of the system's failure-free operation and testing the hypothesis of consistency of the assumed law of failure distribution according to the Pearson criterion. The main indicators were Calculated using VBA tools.

Ключевые слова: доверительный интервал, закон распределения,  испытания, надежность, число отказов.

Keywords: confidence interval, distribution law, tests, reliability, number of failures.

Для утверждения вида неизвестного распределения используют статистические модели. Для количественной оценки согласованности теоретического и эмпирического распределений применяют критерий Пирсона (критерий χ²).

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды). Задавшись теоретическим законом распределения и определив параметры надежности, находят для каждого разряда вероятность отказа q_i. При экспоненциальном распределении q_iэ подсчитывалось по формуле (1), а при нормальном законе распределения отказов – по формуле (2).

При экспоненциальном законе распределения отказов

                                                                   (1)

При нормальном законе распределения отказов

                                                           (2)

Для каждого разряда определятся также мера расхождения

                                                                  (3)

На основании этих расчетов определяется суммарная мера расхождения:

                                                         (4)

Число степеней свободы равно

R=k–S,                                                                        (5)

где k – число разрядов статистического ряда;

S – число связей, наложенных на экспериментальные данные.

Связи, накладываемые на экспериментальные данные:

1. Совпадение математических ожиданий теоретического и статистического распределений М =М* (Т_ср = Т*_ср ) .

2. Совпадение значений среднеквадратического отклонения теоретического и статистического распределений σ = σ* и т. д [3, с. 65].

Производят расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Время испытаний разбивают на заданное число разрядов (интервалов). Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо) [2, с.14]. В данном примере количество разрядов равно 10 (продолжительность 10 часов). Для каждого интервала производят расчет, и результаты заносят в таблицу.

Для практических расчетов важно знать вид функции распределения вероятности показателей надежности, сделать обоснованный выбор закона распределения, лучше всего согласующегося с эмпирическими данными.

Наиболее распространенной вероятностной моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа. Нормальный закон является наиболее универсальным.

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1.

Результаты расчета основных показателей испытаний

Листинг фрагмента программы расчета показателей при экспоненциальном и нормальном законах распределения:

'Заполним 36 строку таблицы(38)=============================X2э

СтрокаТаблицы = 38

СтолбецТаблицы = 4

b = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

b = b + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(25, n).Value

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = b

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 37 строку таблицы(39)=============================qiн

СтрокаТаблицы = 39

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

    If n = СтолбецТаблицы Then

        x1 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма)

        x2 = Abs((0 - Tcp) / Сигма)

    Else

        x1 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма)

        x2 = Abs((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n - 1).Value - Tcp) / Сигма)

    End If

      '    найдем уменьшаемое

    СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

     '  проверим попадают ли входные данные в значения таблицы

     While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

     If x1 <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then

        ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value

        GoTo далее

    End If

    If x1 >= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

        ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

        GoTo далее

    End If

      СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

    While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value = x1 Then

            ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            GoTo далее

        End If

        If x1 < Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And x1 > Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

            If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value - x1 < x1 - Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

               ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            Else

                ф1 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

            End If

            GoTo далее

        End If

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

далее:

'    найдем вычитаемое

    СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

     '  проверим попадают ли входные данные в значения таблицы

     While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

     If x2 <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then

        ф2 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value

        GoTo далее1

    End If

    If x2 >= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

        ф2 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

        GoTo далее1

    End If

      СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

    While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value = x2 Then

            ф2 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            GoTo далее1

        End If

        If x2 < Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And x2 > Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

            If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value - x2 < x2 - Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

               ф2 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            Else

                ф2 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

            End If

            GoTo далее1

        End If

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

далее1:

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = -(ф1 - ф2)

Next

'Заполним 38 строку таблицы(40)=============================X2 iн

СтрокаТаблицы = 40

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = (Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(4, n).Value - КоличествоЭлементов * Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(39, n).Value) ^ 2 / (КоличествоЭлементов * Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(39, n).Value)

Next

'Заполним 39 строку таблицы(41)=============================X2н

СтрокаТаблицы = 41

СтолбецТаблицы = 4

b = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

b = b + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(40, n).Value

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = b

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter [4]

Суммарная мера расхождения составила для экспоненциального закона     = 3,69 и для нормального закона  = 14,67.

Из таблицы квантилей χ² – квадрат распределения находят, что вероятность непротиворечивости статистических данных экспоненциальному закону составила менее 1 % (число степеней свободы – 10), а нормальному закону – около 2,3 % (число степеней свободы – 9)[1].

Причины расхождения результатов эксперимента и теоретических характеристик могут быть вызваны малым объемом выборки, неудачным способом группировки наблюдений, ошибками в выборе гипотезы о виде распределения генеральной совокупности и др.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам.

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [5, с.13].

Список литературы:

1. ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.
2. Методы расчета и анализа надежности технических систем : метод. пособие / сост. Л.Н. Герасимов. – Иркутск : ИрГУПС, 2013. – 51 с.
3. Коваленко, В. Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В. Н. Коваленко. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. – 87, [1] с.
4. Программирование на VBA MS Excel: учебное пособие / Н. Г. Кудрявцев, 116 с.- Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2015 -Д. В. Кудин, М. Ю. Беликова.
5. Федотов, А. В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А. В. Федотов, Н. Г. Скабкин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 – 64 с.