ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ ЭВОЛЮЦИОННЫХ АЛГЕБР

АННОТАЦИЯ

В данной статье изучается новый тип неассоциативных алгебр, которая называется эволюционными алгебрами. Будем рассматривать Цепи Эволюционных Алгебр (ЦЭА) и изучать динамику идемпотентных элементов этих алгебр продолжая исследовать ЦЭА, порожденные 2-мерными эволюционными алгебрами.

ABSTRACT

In this article we study a new type of non-associative algebras called evolution algebras. We consider Chains of Evolution Algebras (CEA) and study the dynamics of idempotent elements of these algebras continuing to study CEA generated by 2-dimensional evolution algebras.

Ключевые слова: неассоциативные алгебры, эволюционная алгебра, цепь эволюционных алгебр, динамика, идемпотентный элемент.

Keywords: non-associative algebra, evolution algebra, chain of evolution algebras, dynamic, idempotent element.

В данной статье будем рассматривать Цепи Эволюционных Алгебр (ЦЭА) и изучать динамику идемпотентных элементов этих алгебр. В работе [2] приведены несколько конкретных примеров ЦЭА и изучена их динамика по времени. В этой работе мы продолжаем исследовать ЦЭА, порожденные 2-мерными эволюционными алгебрами.

Концепция эволюционных алгебр лежит между алгебрами и динамическими системами. Алгебраически эволюционные алгебры являются неассоциативной банаховой алгеброй; динамически они представляют собой дискретные динамические системы. Эволюционные алгебры имеют много связей с другими математическими областями, включая теорию графов, теорию групп, случайные процессы, математическую физику и т. д.

Понятие цепи эволюционных алгебр было введено в работе [2]. ЦЭА представляет собой динамическую систему, состояние которой в каждый момент времени представляет собой эволюционную алгебру. Цепь определяется последовательностью матриц структурных констант (эволюционных алгебр, рассмотренных в [2]), которая удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова. Другие классы ЦЭА и их классификация были изучены в работах [3-10].

Напомним понятие эволюционной алгебры.

Определение 1. [1] Пусть  алгебра над полем . Если в этой алгебре существует базис  такой, что , при  и  для любого , то эта алгебра называется эволюционной алгеброй.

Рассмотрим семейство -мерных эволюционных алгебр  над полем  с базисом , таблица умножения которых

                           (1)

Здесь параметры  рассматриваются как время.

Через  обозначим матрицу структурных констант.

Определение 2. [2] Семейство -мерных эволюционных алгебр  над полем  называется цепью эволюционных алгебр (ЦЭА), если матрица структурных констант  удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова

                              (2)

В данной статье мы построим три цепи двумерных эволюционных алгебр, которые ранее не были рассмотрены.

Чтобы построить цепь двумерных эволюционных алгебр приходится решать уравнение (2) для -матрицы . Это уравнение дает следующую систему функциональных уравнений (с четырьмя неизвестными функциями):

                                             (3)

Приведем три решения этой системы функциональных уравнений, найденных в некоторых частных случаях.

Здесь  - любые функции, где .

Эволюционные алгебры, соответствующие матрицам , , обозначим через , .

Пусть  эволюционная алгебра над полем  с матрицей  , то для произвольного  и   мы имеем

Для -мерной  эволюционной алгебры  рассмотрим оператор , , определяемый как

                                                 (4)

Этот оператор называется эволюционным оператором [11].

Элемент  алгебры  называется идемпотентом, если . Такие точки эволюционной алгебры особенно важны, потому что они являются неподвижными точками (т. е. ) эволюционного оператора  (4). Обозначим через  множество идемпотентных элементов алгебры . Используя (4), уравнение  может быть записано как

                                                  (5)

Общий анализ решений системы (5) очень труден. Мы будем решать эту задачу для ЦЭА ,

Следующая теорема дает временную динамику идемпотентных элементов алгебры ,

Теорема 2.

i) Для ЦЭА

где, , . Явные формулы ,  и  приводятся ниже.

ii) В ЦЭА   есть два идемпотентных элемента в любое время ,  и единственный идемпотентный элемент во времени , .

iii) Для ЦЭА

где .

Для вышеуказанных случаев ,  и имеют следующий вид:

Список литературы:

1. J. P. Tian, Evolution algebras and their applications, Lecture Notes in Mathematics, 1921, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
2. J.M. Casas, M. Ladra, U.A. Rozikov, A chain of evolution algebras. Linear Algebra Appl. 435(4), 2011. - 852-870.
3. M. Ladra, Murodov Sh.N.,  On chains and Rota-Baxter operators of evolution algebras. Preprint  arXiv:1906.09098. 2019.
4. M. Ladra, Murodov Sh.N., On new classes of chains of evolution algebras. Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics, Volume 50 (1). 2021. - 146 – 158.
5. Murodov Sh. N. Classification dynamics of two-dimensional chains of Evolution algebras. International Journal of Mathematics. Vol. 25, No. 2 2014. – 1-23 c.
6. Murodov Sh.N. Classification of two dimensional chains of evolution algebras. DAN RUz,  №6, 2013. - p. 11-13.
7. Murodov Sh.N. Classification of two-dimensional real evolution algebras and dynamics of some two-dimensional chains of evolution algebras. Uzbek Mathematical Journal. №2 2014. - p. 102-111.
8. Rozikov U. A., Murodov Sh. N. Dynamics of Two-Dimensional Evolution Algebras. Lobachevskii Journal of Mathematics. Vol. 34, No. 4, 2013. - p. 344–358.
9. Rozikov U.A., Murodov Sh.N. Chain of evolution algebra of “chicken” population. Linear Algebra Appl. Vol 450. 2014. - p.186-201.
10. Rozikov U.A., Murodov Sh.N. Evolution algebras generated bу finite graphs: The period of generators. Doklady Acad. Nauk RUz. No 6, 2011. - p. 6-8.
11. Y.I. Lyubich, Mathematical structures in population genetics, Springer-Verlag, Berlin, 1992.