ЭВОЛЮЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ

АННОТАЦИЯ

В данной статье приводиться новый тип неассоциативных алгебр, которая называется эволюционными алгебрами, где таблица умножения определяется по эволюционным законам генетики.

ABSTRACT

This article introduces a new type of non-associative algebras, called evolution algebra, where the multiplication table is determined by the evolution laws of genetics.

Ключевые слова: алгебры, неассоциативные алгебры, эволюционная алгебра, менделевская и неменделевская генетика.

Keywords: algebras, non-associative algebras, evolution algebra, Mendelian and non-Mendelian genetics.

Исторически сложилось так, что математические методы давно и успешно применяются в популяционной генетике. Исследования  математиков в популяционной генетики ведутся в соответствии с законом Менделя (Грегор Иоганн Мендель, 1822–1884), где он использовал символы, которые с алгебраической точки зрения предполагают выражение его генетических законов. Между 1856 и 1863 годами Мендель изучал гибридизацию гороха и дал фундаментальную концепцию классической генетики, гена, под названием «постоянный характер», чтобы объяснить наблюдаемую статистику наследования. В 1866 году Грегор Мендель опубликовал результаты многолетних экспериментов по селекции растений гороха [16]. Он показал, что оба родителя должны передавать дискретные физические факторы, которые передают информацию об их характеристиках их потомству при зачатии. Мендель первым использовал символы, которые с алгебраической точки зрения выражают свои генетические законы. Таким образом, математики и генетики когда-то использовали неассоциативные алгебры для изучения менделевской генетики, а позже некоторые другие авторы назвали ее «менделевскими алгебрами».

В 1920-х и 1930-х годах в качестве других крупных достижений теоретической популяционной генетики были введены закон Харди-Вайнберга, модель отбора Фишера-Райта, общие генетические алгебры. Это основа для многих расчетов в популяционной генетике. Математика, используемая в классических работах Этерингтона, Фишера, Холдейна и Райта, также была не очень сложной, но оказала большую помощь в теоретическом понимании эволюционных процессов.

Серебровский [23] был первым, кто дал алгебраическую интерпретацию знака ×, который указывает на половое размножение, и дал математическую формулировку законов Менделя в терминах неассоциативных алгебр. Гливенков [7] ввел так называемые менделевы алгебры для диплоидных популяций с одним или двумя несвязанными локусами. Независимо, Костицын [13] также ввел «символическое умножение», чтобы выразить законы Менделя. Систематическое изучение алгебр, встречающихся в генетике, можно отнести к серии работ И.М.Х. Этерингтон в 1939-1941 гг. В [4–6] ему удалось дать точную математическую формулировку законов Менделя в терминах неассоциативных алгебр, а также охватить множество простых случаев, в которых он рассматривал алгебры, описывающие генетику. Помимо Этерингтона, фундаментальный вклад внесли Абрахам [1], Гоншор [8], Хенч [9], Холгейт [10, 11], Райзер [20], Шафер [22]. До 1980-х годов наиболее исчерпывающим справочником в этой области была книга Ворца-Бусекроса [26], в которой автор дал довольно полное изложение алгебр в генетике и применил теорию и результаты к различным конкретным биологическим ситуациям. Более свежие результаты, такие как генетическая эволюция генетических алгебр, можно найти в книге Любича [14]. Хорошим обзором является статья Рида [24].

Таким образом, менделевская генетика ввела новый предмет в математику: общие генетические алгебры. Эти алгебры в целом коммутативны, но не ассоциативны, кроме того, они не принадлежат ни к одному из хорошо известных классов неассоциативных алгебр, таких как алгебры Ли или альтернативные алгебры.

Баур [2] и Корренс [3] впервые обнаружили, что наследование хлоропластов отклоняется от правил Менделя, и намного позже, наследование митохондриальных генов также было идентифицировано таким же образом, и неменделевская наследование генов органелл было признано с двумя признаками - монородительским наследованием. и вегетативная сегрегация. Неменделевская генетика - это основной язык молекулярных генетиков. Неменделевская наследственность играет важную роль в нескольких патологических процессах. Неменделевская генетика предлагает математике новый тип генетических алгебр, именуемых эволюционными алгебрами, введенный в [25], это алгебры, в которых таблицы умножения мотивированы эволюционными законами генетики. В [24] Дж. П. Тиан заложил основы теории эволюционной алгебры и обсудил некоторые приложения эволюционных алгебр в неменделевской генетике, случайных процессах и генетике.

Как новый тип алгебры - эволюционные алгебры являются неассоциативными и не степенно-ассоциативными банаховыми алгебрами. В самом деле, они являются естественными примерами неассоциативных полных нормированных алгебр, возникающих из науки. Эволюционные алгебры связаны с другими областями математики, включая теорию графов (в частности, случайные графы и сети), теорию групп, марковские процессы, динамические системы.

Важно отметить, что существует несколько классов неассоциативных алгебр (барическая, эволюционная, бернштейновская, стохастическая и т. д.), исследования которых внесли ряд значительных вкладов в теоретическую популяционную генетику. Такие классы были определены в разное время несколькими авторами, и все алгебры, принадлежащие этим классам, обычно называют «генетическими».

Систематическая формулировка воспроизводства в неменделевской генетике как умножения в алгебрах была введена в [24] и названа «эволюционными алгебрами». Это алгебры, в которых таблицы умножения основаны на законах эволюции генетики.

Мы определяем эволюционные алгебры в терминах образующих и определяющих соотношений. Поскольку определяющие соотношения уникальны для эволюционной алгебры, множество образующих может служить базисом для эволюционной алгебры [24]. Это свойство дает некоторые преимущества при изучении эволюционных алгебр.

Определение 1. [24] Пусть  алгебра над полем . Если в этой алгебре существует базис  такой, что , при  и  для любого , то эта алгебра называется эволюционной алгеброй.

Через  обозначим матрицу структурных констант.

Эволюционные алгебры обладают следующими свойствами [24]:

1. Эволюционные алгебры, вообще говоря, не ассоциативны.

2. Эволюционные алгебры коммутативны, гибки.

3. Эволюционные алгебры, вообще говоря, не ассоциативны по степеням.

4. Прямая сумма эволюционных алгебр также является эволюционной алгеброй.

5. Кронекеровское произведение эволюционных алгебр является эволюционной алгеброй.

Понятия цепи эволюционных алгебр (ЦЭА) было введено в [12]. Классификация двумерных вещественных эволюционных алгебр и динамика двумерных вещественных ЦЭА изучены в работах [15, 17, 18, 21]

Список литературы:

1. Abraham, V.M., Linearising quadratic transformations in genetic algebras, Thesis, Univ. of London, 1976.
2. Baur, E., Zeit. Vererbungsl. 1, 1909. - 330-351.
3. Correns, C., Zeit. Vererbungsl. 1, 1909. - 291-329.
4. Etherington  I.M.H., Non-associative algebra and the simbolism of genetics, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 61, 1941. - 24–42.
5. Etherington I.M.H., Duplication of linear algebras, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 6, (1941). - 222–230.
6. Etherington I.M.H., Genetic algebras, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 59, (1939). - 242–258.
7. Glivenkov, V., Algebra Mendelienne comptes rendus. Doklady Acad.Sci. SSSR 4, (13), 1936. - 385-386.
8. Gonshor, H., Contributions to genetic algebras, Proc. Edinburgh Math. Soc (2), 1973. - 273-279.
9. Hench, I., Sequences in genetic algebras for overlapping generations, Proc. Ed- inburgh Math. Soc. (2) 18, 1972. - 19-29.
10. Holgate, P., Selfing in gentic algebras, J. Math. Biology, 6, 1978. - 197-206.
11. Holgate, P., Sequences of powers in genetic algebras, J. London Math., 42, 1967. - 489-496.
12. J.M. Casas, M. Ladra, U.A. Rozikov, A chain of evolution algebras. Linear Algebra Appl. 435(4), 2011. - 852-870.
13. Kostitzin, V.A., Sur les coefficients mendeliens dheredite, Comptes rendus de Acad. des Sci. 206, 1938. - 883-885.
14. Lyubich Y.I., Mathematical structures in population genetics, Springer-Verlag, Berlin, 1992.
15. M. Ladra, Murodov Sh.N., On new classes of chains of evolution algebras. Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics, Volume 50 (1). 2021. - 146 – 158.
16. Mendel, G., Experiments in plant-hybridization, Classic Papers in Genetics, pages 1-20, J. A. Peter editor, Prentice-Hall Inc. 1959.
17. Murodov Sh. N. Classification dynamics of two-dimensional chains of Evolution algebras. International Journal of Mathematics. Vol. 25, No. 2 2014. – 1-23 c.
18. Murodov Sh.N. Classification of two-dimensional real evolution algebras and dynamics of some two-dimensional chains of evolution algebras. Uzbek Mathematical Journal. №2 2014. - p. 102-111.
19. Reed M.L., Algebraic structure of genetic inheritance, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34(2), 1997. - 107–130.
20. Reiser, O., Genetic algebras studied recursively and by means of differential op- erators, Math. Scand. 10, 1962. - 25-44. 16
21. Rozikov U. A., Murodov Sh. N. Dynamics of Two-Dimensional Evolution Algebras. Lobachevski Journal of Mathematics. Vol. 34, No. 4, 2013. - p. 344–358.
22. Schafer, R.D., An introduction to non-associative algebras, Acad. Press, New York, 1966.
23. Serebrowsky, A., On the properties of the Mendelian equations, Dok- lady Acad.Sci.SSSR. 2, 1934. - 33-36.
24. Tian J. P., Evolution algebras and their applications, Lecture Notes in Mathematics, 1921, Springer-Verlag, Berlin, 2008. 19
25. Tian J. P., Vojtechovsky P., Mathematical concepts of evolution al- gebras in non-Mendelian genetics, Quasigroup and Related System, Vol.24, 2006. - 111-122. 20
26. Wörz-Busekros A., Algebras in genetics, Lecture Notes in Biomath- ematics, 36. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. 21