ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ

INVESTIGATION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DEGENERATE EQUATIONS OF PARABOLIC TYPE WITH GAS FILTRATION
Цитировать:
Абдуразаков А., Махмудова Н.А., Мирзамахмудова Н.Т. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2021. 10(91). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/12430 (дата обращения: 16.08.2022).
Прочитать статью:
DOI - 10.32743/UniTech.2021.91.10.12430

 

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается краевая задача для вырождающихся на границе области параболических уравнений, имеющих приложения гидродинамических невзаимосвязанных пластов. Предложен численный метод решения, доказана сходимость метода.

ABSTRACT

In this article, we consider a boundary value problem for parabolic equations degenerating on the boundary of the region and having applications of hydro dynamically non-interconnected layers. A numerical solution method is proposed, and the convergence of the method is proved.

 

Ключевые слова: уравнения параболического типа, вырождающиеся уравнения параболического типа, гидродинамические невзаимосвязанные пласты, метод прямых, дифференциальные прогонки, сходимость.

Keywords: equations of parabolic type, degenerate equations of parabolic type, hydrodynamic non-interconnected formations, method of straight lines, differential sweeps, convergence.

 

Изучению решения параболических уравнений, имеющих приложение в теории фильтрации, посвящены многочисленные работы [5; 1].

Среди них особый интерес представляет вырождающееся уравнение на границе области [1]. В данной работе для численного решения применяется метод прямых с комбинацией дифференциальной прогонки.

Задача А. Найти функцию , удовлетворяющую системе уравнений:

                                                                    (1)

и одному из начальных условий

 если                                                          (2)

условия при заменяются условием

.

Здесь некоторые константы,  и  и положительны при .

Задачи (1)–(2) эквивалентны следующему интегральному уравнению:

.                                                          (3)

Обозначим , где , и введем в рассмотрение векторное пространство . Нетрудно показать, что отображение А:

                                                       (4)

приводить  в себя для любых  имеет место, и оценка

гденепрерывная функция и , следовательно, можно подобрать  так, чтобы выполнялось неравенство , и вытекает сжатость отображения А.

Отсюда в силу теорем Бонаха системa уравнений (3) имеет единственное решение в пространство  и .

В силу линейности уравнений и того, что коэффициенты задачи (1)–(2) не имеют особенности , решение непрерывным образом можно продолжить на отрезке .

Аналогично рассматривается случай  При этом используется соотношение

Задача В. Рассмотрим систему уравнений, описывающих движение газа в гидродинамических несвязных многослойных пластах [1].

                           (5)

С начальными условиями .

Если

                                                                         (6)

Если , а  то условие при  заменяется условием .

 Допустим, что в  существует непрерывное решение при условии достаточной гладкости коэффициентов. Для приближенного решения (5)–(6) возьмем прямые , . Обозначим через  искомое приближенное значение  на прямых  при где . Аппроксимируем задачу (5)–(6) следующей дифференциально-разностной задачей:

                        (7)

следующими условиями:

, если , если , условия при  заменяются условием.

Пусть коэффициенты систем уравнений (7) вычислены при . Тогда каждое уравнение (7) линейно относительно .

Решение задачи (7) построим с использованием модифицированного метода дифференциальной прогонки [1; 5]. Решение будем искать в виде , где и – прогонные коэффициенты.

Построим следующим образом:

                                                       (8)

                                                                   (9)

где

здесь определяется следующим образом:

,

является решением задачи

 аналогично докажем, как в задаче А. Функция, определенная формулами (8)–(9), является решениями задачи (7), так как  сходится равномерно. Для численной реализации решения задачи (5) – метод дифференциальной прогонки [2].

Для численного решения задачи (7) в случае невырождающегося уравнения в прямой прогонке решения системы:

В обратной протоке решится уравнение:

.

Для реализации численного метода будем применять метод Рунгэ–Кутта с автоматическим выбором шага.

Примечание. Приближенное решение, полученное методом прямых, сходится к точному решению со скоростью , где – шаг по времени.

 

Список литературы:

  1. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Решения многоточечной краевой задачи фильтрации газа в многослойных пластах с учетом релаксации // Universum: технические науки. – 2019. – № 11-1 (68) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/resheniya-mnogotochechnoy-kraevoy-zadachi-filtratsii-gaza-v-mnogosloynyh-plastah-s-uchetom-relaksatsii.
  2. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Численное решение методом прямых интеграла дифференцирования уравнений, связанных с задачами газа // Universum: технические науки. – 2020. – № 7 (76) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/9994.
  3. Годунов С.К., Ребенький В.С. Введение в теорию разностных схем. – ФизматГиз, 1962.
  4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Наука, 1967.
  5. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. On one method for solving degenerating parabolic systems by the direct line method with an appendix in the theory of filration // European Journal of Research Development and Sustainability (EJRDS). – 2021. – Vol. 2. № 5 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://scholarzest.com/index.php/ejrds/issue/view/39.
  6. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. The numerical solution by the method of direct integrals of differentiation of equations have an application in the gas filtration theorem EPRA // International Journal of Multidisciplinary Research. – 2020. – Vol. 6, Issue 10 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://eprajournals.com/jpanel/upload/535pm_32.EPRA%20JOURNALS-5368.pdf.
Информация об авторах

канд. физ-мат. наук, доцент, Ферганский политехнический институт, Узбекистан, г. Фергана

Candidate of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor, Ferghana Polytechnic Institute, Uzbekistan, Fergana

старший преподаватель, Ферганский политехнический институт, Узбекистан, г. Фергана

Senior Lecturer, Ferghana Polytechnic Institute, Republic of Uzbekistan, Fergana

старший преподаватель, Ферганский политехнический институт, Узбекистан, г. Фергана

Senior Lecturer, Ferghana Polytechnic Institute, Republic of Uzbekistan, Fergana

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), регистрационный номер ЭЛ №ФС77-54434 от 17.06.2013
Учредитель журнала - ООО «МЦНО»
Главный редактор - Ахметов Сайранбек Махсутович.
Top