канд. физ-мат. наук, доцент, Ферганский политехнический институт, Узбекистан, г. Фергана
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматривается краевая задача для вырождающихся на границе области параболических уравнений, имеющих приложения гидродинамических невзаимосвязанных пластов. Предложен численный метод решения, доказана сходимость метода.
ABSTRACT
In this article, we consider a boundary value problem for parabolic equations degenerating on the boundary of the region and having applications of hydro dynamically non-interconnected layers. A numerical solution method is proposed, and the convergence of the method is proved.
Ключевые слова: уравнения параболического типа, вырождающиеся уравнения параболического типа, гидродинамические невзаимосвязанные пласты, метод прямых, дифференциальные прогонки, сходимость.
Keywords: equations of parabolic type, degenerate equations of parabolic type, hydrodynamic non-interconnected formations, method of straight lines, differential sweeps, convergence.
Изучению решения параболических уравнений, имеющих приложение в теории фильтрации, посвящены многочисленные работы [5; 1].
Среди них особый интерес представляет вырождающееся уравнение на границе области [1]. В данной работе для численного решения применяется метод прямых с комбинацией дифференциальной прогонки.
Задача А. Найти функцию , удовлетворяющую системе уравнений:
(1)
и одному из начальных условий
если
(2)
условия при
заменяются условием
.
Здесь некоторые константы,
и
и
положительны при
.
Задачи (1)–(2) эквивалентны следующему интегральному уравнению:
. (3)
Обозначим , где
, и введем в рассмотрение векторное пространство
. Нетрудно показать, что отображение А:
(4)
приводить в себя для любых
имеет место, и оценка
гденепрерывная функция и
, следовательно, можно подобрать
так, чтобы выполнялось неравенство
, и вытекает сжатость отображения А.
Отсюда в силу теорем Бонаха системa уравнений (3) имеет единственное решение в пространство и
.
В силу линейности уравнений и того, что коэффициенты задачи (1)–(2) не имеют особенности , решение непрерывным образом можно продолжить на отрезке
.
Аналогично рассматривается случай При этом используется соотношение
Задача В. Рассмотрим систему уравнений, описывающих движение газа в гидродинамических несвязных многослойных пластах [1].
(5)
С начальными условиями .
Если
(6)
Если , а
то условие при
заменяется условием
.
Допустим, что в существует непрерывное решение при условии достаточной гладкости коэффициентов. Для приближенного решения (5)–(6) возьмем прямые
,
. Обозначим через
искомое приближенное значение
на прямых
при
где
. Аппроксимируем задачу (5)–(6) следующей дифференциально-разностной задачей:
(7)
следующими условиями:
, если
, если
, условия при
заменяются условием
.
Пусть коэффициенты систем уравнений (7) вычислены при . Тогда каждое уравнение (7) линейно относительно
.
Решение задачи (7) построим с использованием модифицированного метода дифференциальной прогонки [1; 5]. Решение будем искать в виде , где
и
– прогонные коэффициенты.
Построим следующим образом:
(8)
(9)
где
здесь определяется следующим образом:
,
является решением задачи
аналогично докажем, как в задаче А. Функция, определенная формулами (8)–(9), является решениями задачи (7), так как
сходится равномерно. Для численной реализации решения задачи (5) – метод дифференциальной прогонки [2].
Для численного решения задачи (7) в случае невырождающегося уравнения в прямой прогонке решения системы:
В обратной протоке решится уравнение:
.
Для реализации численного метода будем применять метод Рунгэ–Кутта с автоматическим выбором шага.
Примечание. Приближенное решение, полученное методом прямых, сходится к точному решению со скоростью , где
– шаг по времени.
Список литературы:
- Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Решения многоточечной краевой задачи фильтрации газа в многослойных пластах с учетом релаксации // Universum: технические науки. – 2019. – № 11-1 (68) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/resheniya-mnogotochechnoy-kraevoy-zadachi-filtratsii-gaza-v-mnogosloynyh-plastah-s-uchetom-relaksatsii.
- Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Численное решение методом прямых интеграла дифференцирования уравнений, связанных с задачами газа // Universum: технические науки. – 2020. – № 7 (76) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/9994.
- Годунов С.К., Ребенький В.С. Введение в теорию разностных схем. – ФизматГиз, 1962.
- Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Наука, 1967.
- Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. On one method for solving degenerating parabolic systems by the direct line method with an appendix in the theory of filration // European Journal of Research Development and Sustainability (EJRDS). – 2021. – Vol. 2. № 5 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://scholarzest.com/index.php/ejrds/issue/view/39.
- Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. The numerical solution by the method of direct integrals of differentiation of equations have an application in the gas filtration theorem EPRA // International Journal of Multidisciplinary Research. – 2020. – Vol. 6, Issue 10 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://eprajournals.com/jpanel/upload/535pm_32.EPRA%20JOURNALS-5368.pdf.