Математическое моделирование некоторых геометрических параметров скачков уплотнения при отделении двух тел, расположенных одно под другим

АННОТАЦИЯ

В работе показаны особенности применения метода регрессионного анализа для получения математических моделей некоторых параметров, характеризующих геометрию типов скачков уплотнения. Получены некоторые математические модели и намечены пути дальнейшей работы в этом направлении.

ABSTRACT

The paper shows features of applying the method of regression analysis to obtain mathematical models of some parameters characterizing the geometry of types of shock woves. The obtained some specific mathematical models and outlined thi ways for further work in this direction.

Ключевые слова: метод, регрессионный анализ, математическая модель, геометрия, скачки уплотнения.

Keywords: method, regression analysis, mathematical model, geometri, compaction jumps.

Целью работы является решение следующей многопараметрической задачи: исследование влияния нескольких факторов на наиболее важные аэродинамические характеристики двух тел с учетом их взаимного влияния, такие как: типы, форма, положение и геометрические характеристики скачков уплотнения или системы скачков уплотнения.

В качестве основных факторов, влияющих на интерференцию двух тел, приняты:

1) число Маха набегающего потока;

2) параметры линейного смещения одного тела относительно другого в вертикальной плоскости ХОУ (статические, или позиционные, положения одного тела относительно другого);

3) параметры углового положения обоих тел друг относительно друга и относительно потока;

4) кинематические параметры смещения одного тела относительно другого с целью выявления нестационарности процесса.

Исследования проводились для комбинации моделей из двух профилей, конфигурации которых показаны на рис. 1.

Исследование интерференции двух профилей проводились при следующих значениях параметров:

число Маха: ;

перемещение нижнего профиля в направлении оси Х:

перемещение нижнего профиля в направлении оси Y:

 (b₁ – хорда верхнего профиля);

угол атаки верхнего профиля: ;

угол атаки нижнего профиля: ;

вертикальная скорость перемещения нижнего профиля относительно верхнего: м/сек, 28 м/сек, что соответствует модельным значениям  в 1000 раз меньше натурных, т.е. 18 мм/сек и 28 мм/сек.

Горизонтальная скорость перемещения нижнего профиля относительно верхнего:

 м/сек, что соответствует модельному значению;

мм/сек.

Здесь за Y принято расстояние между двумя крайними передними точками двух тел в направлении оси ОХ.

Начало координат соответствует крайней передней точке верхнего тела.

Заметим, что в разных исследованиях за параметр, характеризующий линейное смещение одного тела от другого в направлении оси OY, принимаются различные величины, т.е. в назначении параметра  нет единообразия. В наших исследованиях за  принято расстояние по перпендикуляру между касательными, проведенными соответственно к нижней поверхности верхнего тела и верхней поверхности нижнего тела. Такой выбор величины Y характеризует как бы пропускную способность среды в канале, образуемом нижней дужкой верхнего тела и верхней дужкой нижнего тела. При исследованиях скачков уплотнения такая величина в наибольшей степени соответствует физике процесса.

На последующем этапе развития аэродинамические исследования характеризуются большими потоками информации. Это вызывает необходимость показать новые пути с целью совершенствования методов регресси и обработки экспериментальных данных. Наиболее эффективный путь – компьютизация аэродинамических исследований. В этом плане переспективным является применение методов планирования экспериментов, которые могут служить основой одного из элементов комплекса алгоритмов и программ для обработки результатов аэродинамического эксперимента. В частности, здесь подразумевается получение функциональных зависимостей, аппроксимирующих результаты эксперимента с наименьшей погрешностью по заданному критерию.

В настоящей работе показываются особенности применения метода планирования эксперимента применительно к одной из частных задач отделения одного тела от другого.

Рисунок 1. Вид исследования моделей из двух профилей, конфигурации

Для интересующей нас задачи на безразмерную величину отхода скачка уплотнения от носика тела, например, могуть влиять более 20 факторов, таких как число , параметры , углы атаки , геометрические характеристики тел и т.д. Если учитывать все факторы, то для аналогового моделирования методом ГГА при пассивном планировании и варьировании одного из факторов необходимо выполнить очень большой объем экспериментов. Поэтому возникла необходимость в использовании методов оптимального планированного эксперимента, опирающихся на ряд результатов из теории вероятностей, математической статистики и других разделов математики. Эти методы позволяют по данным экспериментального исследования процесса построить математическую модель, существенно повысить точность, сократить затраты, объем и сроки поведения эксперимента. А, как известно, ценность математического описания заключается в том, что оно дает информацию о влиянии факторов на изучаемый объект, позволяет количественно определить значения функции отклика в данном режиме и может служить основой для оптимизации.

Теперь рассмотрим математические модели по четырехфакторному плану. На аэродинамические характеристики двух интерферирующих тел влияет большое количество факторов, из которых такие, как , , характеризуют режим обтекания, -линейное смещение тел друг относительно друга. Следует заметить, что учет факторов, характеризующих геометрию самих тел, позволил бы выполнить обобщение, т.е. вычислить характеристики тел без проведения испытаний для большого класса тел. Но, как известно, точное аналитическое описание формы сечения тела, т.е. формы профиля, отличающееся на практике точностью, представляет чрезвычайную трудность.

Если принять, что форма верхнего и нижнего тел задана, то 20 факторов можно свести к пяти таким, как ,,.

Функциями отклика в нашем случае являются геометрические характеристики скачков уплотнения, такие как  и т.п.

Задача состоит в том, чтобы на основе экспериментальных данных получить такие математические выражения для функции отклика, которые с достаточной точностью для метода ГГА описывали бы геометрию скачков уплотнения. Поэтому необходимо выбрать такой план, который обеспечивал бы при достаточно большом количестве факторов минимально возможное число опытов и приводил бы к адекватной математической модели с наибольшей точностью коэффициентов.

При выборе плана также нужно учесть тот факт, что помимо линейного влияния факторов необходимо учитывать члены.

Одним из наиболее отработанных и эффективных планов является ротатабельный центральный композиционный план второго порядка (РЦКП). Для РЦКП второго порядка в качестве ядра плана используют матрицу полного факторного эксперимента (ПФЭ) с. К ядру добавляют определенное количество звездных и нулевых точек. В этом случае необходимо выполнить количество опытов:

,

где  – число опытов в ядре плана;

– число звездных точек;

 – число опытов в центре плана;

 – число факторов.

На первом этапе решения задач для построения математических моделей, описывающих скачки уплотнения, были выполнены эксперименты по четырехфакторному РЦКП.

В качестве входных параметров (действующих) факторов приняты число , параметры , углы атаки  и . Геометрия тел и  принимались фиксированными. Рассматривались следующие диапазоны варьирования параметров:

= 1,22,0; ;  ;  

Выходными параметрами (функциями отклика) являются и  .

План-матрица эксперимента и результаты измерений представлены в табл. 1.

Переход от натуральных значений факторов к нормированным осуществляется по следующим формулам:

1,6; 0,6; –0,2; 0 – соответственно средние значения числа  параметров  и угла атаки  (для выбранных диапазонов варьирования этих факторов);

2; 0,25; 0,4; 7 – шаги варьирования этих же факторов. Из четырех факторов план-матрица РЦКП 2-го порядка состоит из 31 строки, каждая из которых диктует условия отдельного опыта. Каждый фактор варьируется в опытах на пяти фиксированных уровнях, значения которых даны в табл. 2.

Таблица 1.

План-матрица эксперимента и результаты измерений

Таблица 2.

Факторы в опытах на пяти фиксированных уровнях

Первые 16 строк матрицы описывают условия полного факторного эксперимента, т.е. все возможные комбинации факторов, варьируемых на двух уровнях (+1 и –1). В следующих восьми опытах каждый фактор поочередно принимает звездные значения при нулевых уровнях факторов. Завершают матрицу семь повторных опытов, в которых все факторы поддерживаются нулевого уровня.

Порядок реализации опытов, запланированных матрицей (в том числе повторных), выбирался с помощью таблицы случайных чисел. Это мероприятие, называемое рандомизацией, позволяет исключить влияние систематических ошибок, связанных с внешними условиями проведения опытов. Кроме того, для повышения точности каждый опыт повторялся три раза – в  расчет брались средние значения  (табл. 1).

Обработка результатов эксперимента стандартна и состоит из трех этапов. На первом этапе вычислялись свободный член и коэффициенты модели, в качестве которой был принят полином второй степени:

Коэффициенты вычислялись по нижеследующим формулам:

 – число факторов;

– число опытов;

– число опытов без центральных;

  – номер фактора;

 – номер опыта.

По своему происхождению вычисленные коэффициенты являются коэффициентами уравнения регрессии.

Далее, используя данные повторных опытов с нулевым уровнем факторов, определяется дисперсия воспроизводимости опытов. Затем путем регрессионного анализа с использованием критерия Стьюдента t проверялась значимость факторов.

На завершающем этапе выполнялся дисперсионный анализ. При том по критерию Фишера проверялась адекватность полученного уравнения регрессии опыту.

Результаты эксперимента даны в таблице 3.

Итак, имеем.

На рис. 2, 3 приведены графики зависимости безразмерных значений отходов ударной вольны от числа Маха и безразмерных координат линейных смещений нижнего тела относительно верхнего при фиксированном . Сплошные линии отражают результаты расчета по уравнению регрессии, точки результаты аналогового эксперимента в гидроканале.

Таблица 3.

Результаты эксперимента

Рисунок 2. Графики зависимости безразмерных значений отходов ударной волны

Рисунок 3. Графики зависимости безразмерных значений отходов ударной волны

Следует отметить, что, пользуясь 4-факторным планом, удается создать математические модели не для всех параметров, характеризующих геометрию 9 типов скачков уплотнения.

Анализ показывает, что требуется проведение дополнительной работы, связанной с определением такого шага варьирования всех 4 факторов, при которых в опытах реализовался бы только один тип скачка и относительно всех геометрических параметров, его характеризующих.

Показаны особенности применения метода регрессионного анализа для получения математических моделей некоторых параметров, характеризующих геометрию типа скачков уплотнения. Получены некоторые конкретные математические модели и намечены пути дальнейшей работы в этом направлении.

Полученные результаты могут быть использованы в качестве первичного контрольного материала при создании расчетных методов оценки влияния интерференции двух профилей на их аэродинамические характеристики.

Таким образом, подводя общие итоги, можно признать целесообразным проведение дальнейших исследований в области сверхзвуковой аэродинамики с помощью метода гидравлического аналогового моделирования, осуществляя при этом системный численно-аналоговый подход, а также привлекая перспективные статистико-вероятностные методы анализа обработки результатов моделирования.

Список литературы:

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условии. – М. : Наука, 1976.
2. Махмудов М.М. Обработка и оформление экспериментальных результатов. – Самарканд, 2011.
3. Михайлов В.И., Федоров К.М. Планирование экспериментов в судостроении. – Л. : Судостроение, 1978.
4. Сафаров Р. Применение метода планированного эксперимента при разработке эффективных моделей и алгоритмов идентификации, определяющих параметры объекта. – Самарканд, 2016.