Исследование перемешивания и распространения трехмерных турбулентных струй на основе «k - ε» модели турбулентности

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлено численное решение параболизованного уравнения Навье-Стокса с использованием «k - ε» модели турбулентности. Описывается применение двухпараметрической «k - ε» модели турбулентности, для исследования трехмерной турбулентной однородной струи, истекающей из сопла прямоугольной формы. Рассматривается модифицированная формула Прандтля, позволяющая обезразмеривать координаты и параметры потока, и соответственно приводящие входное сечение сопла в квадратную область. Описывается преимущества и недостатки разработанной методики.

ABSTRACT

This paper presents a numerical solution of the parabolized Navier-Stokes equation using the "k - ε" turbulence model. The paper describes the application of a two-parameter "k - ε" turbulence model for the study of a three-dimensional homogeneous turbulent jet flowing out of a rectangular nozzle. A modified Prandtl formula is considered, which makes it possible to de-size the coordinates and parameters of the flow, and, accordingly, to bring the inlet section of the nozzle into a square region. Described the advantages and disadvantages of the developed methodology.

Ключевые слова: «k - ε» модель турбулентности, уравнения Навье-Стокса, уравнения переноса, скорость диссипации, турбулентная кинетическая энергия, вихревая вязкость.

Keywords: "k - ε" turbulence model, Navier-Stokes equations, convection–diffusion equations, dissipation rate, turbulent kinetic energy, eddy viscosity.

Введение. В последние годы появилось большое количество работ, в которых делаются попытки рассчитать трехмерные турбулентные струйные течения приближенными методами с использованием двух и многопараметрических моделей турбулентности, включающих пять и более эмпирических констант [1, 2, 3].

Число методов, основанных на использовании многопараметрических моделей и отличающихся друг от друга количеством привлекаемых уравнений переноса и составом неизвестных, выражающих характеристики турбулентных движений, в настоящее время велико.

Наиболее положительно относятся к методам, содержащим уравнения переноса кинетической энергии. Среди них выделяется метод основанный на совместном решении уравнений переноса импульса, кинетической энергии, ее скорости диссипации, так называемый, метод «k - ε» модели турбулентности.

В «k - ε» модели выводятся уравнения для турбулентной кинетической энергии k и скорости диссипации ε [1]:

  k=0.5,

.

                                       (1)

                               (2)

где  - кинематический,    - динамический коэффициенты турбулентной вязкости; , , С₁, С₂ – эмпирические постоянные «k - ε» модели турбулентности;  – плотность смеси газов.

 Здесь для удобства записи использованы тензорные обозначения в декартовых координатах. Левые части (1) и (2) представляют конвективный перенос соответственно величин k и ε. Три члена в правой части уравнений описывают диффузию, выделение и диссипацию соответствующих величин.

Данные уравнения выведены из нестационарных уравнений Навье-Стокса, в которых сохранены диффузионные члены, соответствующие вязкой диссипации, а также произведена модификация некоторых других членов.

Локальная (турбулентная) вихревая вязкость µ_т может быть выражена через локальные значения k и ε следующим образом:

                                                                 (3)

Эта вязкость используется для связи рейнольдсовых напряжений, со средними значениями – Стандартные значения эмпирических констант в уравнениях (1-3), принятые для наших расчетов, приведены в таблице 1.

В многочисленных отечественных и зарубежных публикациях на основе «k - ε» модели турбулентности приводятся в основном двумерные турбулентные течения, и некоторые работы посвящены численным исследованиям пространственных турбулентных течений.

Таблица 1.

Стандартные значения эмпирических констант

Поставленная задача описывается с помощью уравнений неразрывности, количество движений, энергии, состояния, связи полной энтальпии Н и Т, а также подключением уравнений кинетической энергии турбулентности и диссипации энергии турбулентности для вычисления турбулентной вязкости, имеющих следующий вид:

Уравнения кинетической энергии турбулентности:

                (4)

Уравнения диссипации энергии турбулентности:

 .   (5)

где

А связь µ_т через «k - ε» по формуле (3)

Турбулентная вязкость может быть выражена через локальные значения k и ε по формуле (3) (гипотеза Прандтля – Колмогорова): Уравнения (4-5) позволяют обезразмеривать координаты и параметры потока, и соответственно приводящие входное сечение сопла в квадратную область, а также выбором масштабов для кинетической энергии турбулентности и ее диссипации.

Система уравнений численно реализуется с помощью следующих безразмерных краевых условий:

I. 

1) ,   ;

  ,

2)                                            (6)

II. 

1) 

.

2) 

.

3) ;                                                             (7)

4) 

Здесь ,  – соответственно исходные значения кинетической энергии турбулентности и диссипации энергии турбулентности струй основного и спутного потоков.

Метод и результаты исследования. Из-за сложности получения распределения характеристик турбулентности на срезе сопла, в большинстве существующих работ профили распределения кинетической энергии турбулентности приводятся, а скорость диссипации кинетической энергии не имеет прямых экспериментальных аналогов. Поэтому, для задания распределения характеристик турбулентности на срезе сопла пользуются различными соотношениями, но эта исходные значения должны, обеспечить выражения турбулентной вязкости (3), соответствующие действительной картине течения.

Уравнения (3 ÷ 5) с начальными и граничными условиями (6, 7) имеют параболический вид, их можно численно решить одним из разработанных методов и алгоритмами, приведенными в работе [4]. Отличие в расчете состоит в том, что прежде чем вычислить , вычисляются значения k и ε соответственно решением разностных уравнений (4) и (5) методом прогонки. Разностные уравнения (4) и (5) с использованием граничных условий (6) и (7) можно представить аналогичной трех диагональной системой уравнений [4].

В качестве примера рассмотрим переход к разностным уравнениям диссипации энергии турбулентности (5), заменив дифференциалы их аналогами [4], с точностью до порядка 0(∆x, ∆y², ∆z²). Получим:

                          (8)

Уравнение (8) записаны для фиксированных (i), (k) и (j=1, 2, ..Ny). Учитывая, что значения неизвестных в точках (i-1, j, k), (i, j, k-1) и (i, j, k+1) пространства уже вычислены или заранее известны из краевых условий (7), то коэффициенты уравнений, приведенные в работе [4] будут равны:

                                                  (9)

где

Здесь  и другие значения сеточных функций ρ, u, ν, w k, ε, μ для s-й итерации.

Для достоверности разработанного алгоритма и метода решения в качестве тестового варианта исследовалось истечение изотермической струи из сопла квадратной формы (L = I) и распространявшейся в затопленном потоке воздуха[5].

В расчетах безразмерные исходные значения кинетической энергии турбулентности струи варьируют от 0,001 до 0,1, а диссипация энергии турбулентности ε= 0,005. Во избежание деления на нуль исходные значения окислителя (покоящегося воздуха) к и ε остались постоянными и равными k=0,005; ε=0,0001.

Основные результаты расчетов приведены в виде графиков на рисунках (1) - (7). На рис. 1, а, б приведены поперечные распределения продольной скорости по осям Оy и Oz в разных сечениях вдоль струи. Здесь надо отметить, что при выборе граничных условий требуется определить начальные данные k и ε на срезе сопла. Из-за трудоемкости экспериментальные измерения распределения характеристики турбулентности на срезе сопла, данные по определению кинетической энергии турбулентности работ очень мало, а скорость диссипации кинетической энергии турбулентности не имеет прямых экспериментальных аналогов. Поэтому для определения распределений характеристик турбулентности на срезе сопла пользуются различиями соотношениями. Так в работе [6] при выборе граничных условий для случая истечения из круглой трубы предложен способ нахождения скорости диссипации на срезе трубы при условии, что на срезе трубе известны распределения скорости и пульсационной энергии. В [7] для исходов значений кинетической энергии турбулентности использовано соотношение

где α_r- некоторая постоянная, которую можно интерпретировать как начальный уровень турбулентности. Однако в этой работе не приведен способ определения распределения скорости диссипации кинетической энергии турбулентности на срезе сопла. Распределения k и ε на срезе сопла определены выражениями , где α, β, L₁- эмпирические постоянные. В работах [8,9,10] распределение характеристик турбулентности на срезе сопла найдено следующим образом:

Согласно приведенному анализу, на практике хорошо зарекомендовали себя соотношения для круглых струй

                                                              (10)

В проведенных расчетах мы пользовались соотношениями (10), с некоторыми модификациями для трехмерных струй, содержащими некоторую эмпирическую информацию. «Произвольность» выбора этих величин должна обеспечить значения турбулентной вязкости (3), соответствующие действительной картине течения. Для получения лучшего согласования расчета, т.е. сохранение ядра струи, осуществлен подбор эмпирических констант модели турбулентности, подобно предложенному в [6], приведенных в таблице 1.

Рисунок 1. Поперечное распределение продольной скорости по осям OY и OZ в разных сечениях вдоль струй на основе "k - ε" модели турбулентности

Рисунок 3. Поперечное распределение диссипации кинетической энергии турбулентности по осям OY и OZ в разных сечениях