Методика оценки влияния взаимодействия и отражения продольных волн от поверхности рабочего органа

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются задачи о скольжении нити по поверхности неподвижного твердого тела, с учетом различных волновых процессов, могут стать причинами возникновения пластических напряжений. Предполагается, что материал нити обладает идеально-пластическим свойством и закон деформирования материала описывается схемой Прандтля. Основное внимание уделяется взаимодействию и отражению продольных волн на поверхности неподвижного твердого тела (рабочего органа).

ABSTRACT

Problems of thread sliding on the surface of a rigid body are considered, taking into account various wave processes, which can cause the appearance of plastic stresses. It is assumed that the filament material has an ideal plastic property and the law of deformation of the material is described by the Prandtl scheme. The main attention is paid to the interaction and reflection of longitudinal waves on the surface of a stationary solid body (working body).

Ключевые слова: волны, нити, натяжение, сила, деформация, продольный удар.

Keywords: waves, threads, tension, force, deformation, longitudinal impact.

Введение. Общая постановка задачи.  Одним из физических явлений, приводящих к непрерывным или скачкообразным изменениям натяжения нити, является распространения динамических нагрузок в виде продольных и поперечных волн. Волновые нагрузки, могут привести к скачкообразному (мгновенному) возрастанию натяжения нити до удвоенных значений.

Согласно теории распространения волн, если, например, по левому концу линейной и горизонтальной первоначально нити нанести продольный удар (рис. 1а), то действия удара  вдоль нити будет распространяться со скоростью звука в данной среде [1].  При этом, если правый конец нити жестко закреплена, то за фронтом отраженной волны натяжение удваивается, т.е. натяжение прямой волне скачком возрастает в два раза (рис. 1б). Если правый конец нити может свободно двигаться, то за фронтом отраженной волны натяжение равняется нулю (рис, 1 в).

Рисунок 1. Схема распространения упругих волн вдоль прямолинейной нити

В работах [2-5] показано, что, если, например, к левому концу линейно упругой нити, изображенную на рис. 1а мгновенно приложить постоянную по времени растягивающую силу, то скачкообразное возрастание нагрузка будет продолжаться до 8 – 12 кратного отражения волны от левого и правого нити.

В работе [2], исходя из вышесказанного, выдвигается идея о том, что при взаимодействии волны нагрузки с преградой происходит её частичное отражение – часть волны будет продолжать распространятся вдоль нити, часть отражается, и будет двигаться в обратном направлении. При этом, в зависимости от интенсивности волны нагрузку, возникает одна из следующих схем движения нити.

1. Пусть линейно-упругая продольная волна нагрузки  несёт  относительно малую деформацию. При этом если деформация за фронтом частично отраженной волны упругая, то величине её больше, чем первоначального значения и меньше чем своего удвоенного первоначального значения [2-6]. Поэтому скольжение нити будет в направлении из области 2 в сторону области 3 (рис. 2 б).

2. Пусть прямая волна нагрузки  несёт  относительной большую  упругую деформацию. При отражении такой волны от поверхности рабочего органа деформацию мгновенно возрастает до удвоенного значения. Это может привести к возникновению в правой части рассматриваемой нити упругой волны N и упругопластической волны (рис. 3а). Очевидно, что деформация на отраженной упругой волне больше (до удвоенного значения), чем на прямой волне, а деформация на упругопластической волне, больше чем деформация на отраженной упругой волне.

3. Если продольный удар по правому концу линейно-упругопластической нити произвести относительной большой силой, то в нити одновременно возникают упругая волна, идущая в направлении в точки с местной скоростью звука и упругопластическая волна, идущая с меньшей по сравнению с упругой волной скоростью. При этом с точкой  сначала взаимодействует упругая волна. В результате отражения упругой волны в нити могут возникать только упругая или упругая и упругопластическая волны в зависимости от интенсивности прямой волны. В дальнейшем будет происходить взаимодействия отраженных от точки волн с прямой упругопластической волной и волновая картина относительно усложняется.

Результаты исследования. Ниже рассматриваются задачи о скольжении нити по поверхности неподвижного твердого тела, с учетом различных волновых процессов, могущих стать причинами возникновения пластических напряжений. Предполагается, что нить обладает идеально-пластическим свойством и закон деформирования материала описывается схемой Прандтля. Основное внимание уделяется взаимодействию двух продольных волн на поверхности неподвижного твердого тела (рабочего органа). Приведены постановка и основные уравнения стационарного движения нити, включающие в себе законов сохранения массы, непрерывности движения, кинематические и динамические условия, имеющие место на фронтах волн и на границах взаимодействия нити с твердыми телами.

Рассмотрим задачу о продольном ударе по правому концу нити огибающей поверхности неподвижного рабочего органа с постоянной скоростью  (рис. 1).

Пусть при  по концам нити, расположенных в точках  и , произведен продольный удар с постоянной скоростью  и  соответственно. В результате в нити возникают продольные волны  и , распространяющиеся в сторону точки контакта . Задачи определения параметров движения в областях 1 и 6 нити можно найти, например, в работах [2-4].

Будем рассматривать задачу определения параметров движения в областях нити, возникающих в результате взаимодействия и отражения волн  и  в точке контакта (точка В на рис. 2 а). В результате взаимодействия и в зависимости от интенсивности прямых волн  и  в нити могут возникать различные случаи волнового движения нити.

. Постановка и решение задачи о взаимодействии и отражении двух равноправных упругих волн. Пусть волны   и   (рис. 2 а), идущие друг к другу на встречу несут одинаковые по величине деформации . В результате взаимодействия этих волн в точке  в нити  возникают две отраженные упругие волны   и    (рис. 2 б). При этом, если связи в точке контакта идеальные, то частицы областей 2 и 3 нити не двигаются - скольжение нити по поверхности рабочего органа отсутствует (так как в точке  встречаются две равноправные волны, имеющие одинаковую интенсивность и несущие одинаковые деформации). 

На фронтах волн N  и   имеем соответственно [1-4]:

,   ;                 (1)

,    .   (2)

Здесь и в дальнейшем все математические совпадают с обозначениями, принятыми обозначения, например, в работах [1-4]. В точках удара и в точке  имеют место следующие граничные условия:

,    ,    .

Рисунок 2. Схемы движения прямых и отраженных упругих волн

Подставляя эти условия в уравнения (1) и (2), получаем решение. Отсюда следует важный вывод: деформация области гибкой связи, возмущенной в результате взаимодействия двух продольных волн, имеющих одинаковую интенсивность, равна удвоенной деформации встречающихся волн. При  этом частицы возмущенной области гибкой связи  в относительном пространстве остаются неподвижными.

Отметим, что в данной задаче вместо уравнения (1) и (2) можно рассматривать следующие уравнения:

,      .            (3)

Подставляя в первое уравнение системы (3) ,, а во второе уравнение, ,  получим .

. Постановка и решение задачи о возникновении одной упругопластической волн в правой части нити. Пусть волны и  (рис. 3) несут одинаковые и близкие по величине к  деформации и в результате их взаимодействия в точке в гибкой связи  возникают четыре отраженные волны ,,  (рис. 3 а). Упругие волны ,  распространяются со скоростью , а пластические волны, – со скоростью a₁. Такая волновая схема движения может возникать, если например, нить расположена в плоскости чертежа не симметрично относительно вертикальной оси – углы обхвата нитью поверхности рабочего органа не равны между собой.  В этом случае на фронтах волн, ,,   и   имеют место следующие равенства [1-4]:

Рисунок 3. Схемы движения отраженных упругопластических волн

,    ,        . (4)

Согласно принятой выше постановке задачи и решения предыдущей задачи   , ,    , . Используя эти выражения, из уравнения (4) найдем

,    .

В таблице 1 приведены результаты проведенных числовых экспери-ментальных исследований. Числовые расчеты проводились при следующих исходных данных ,,, ,  , .  

Таблица 1.

Зависимость относительных деформаций от угла огибания

Здесь  и   -  углы огибания левой и правой частей нити поверхности рабочего органа,  q = 0 – случай, когда нить расположена симметрично относительно оси  (рис. 1 а), а q = 10° – случай, когда нить расположена несимметрично относительно оси  (рис. 4).

. Постановка и решение задачи о возникновении двух упругопластических волн. Пусть в нити возникают четыре отраженные волны , , , (рис. 3 б). Упругие волны ,  распространяются со скоростью , а пластические волны ,  – со скоростью a₁. Общий вид кинематических условий, имеющих места на  фронтах волн,  и   остаются без изменения, а на фронте упругопластической волны, имеем: .

Рассматривая последнее условие совместно с уравнениями (4), найдем ,   ,  ,, .

Выводы. Из анализа полученных решений и результатов числовых экспериментальных исследований, представлнных в табл. 1 следуют, что увеличение:  - угла j₁  приводит к возрастанию e₄ и убыванию e_2;  -  коэффициента трения приводит к возрастанию деформации  и убыванию : - скорости распространения пластической волны  приводит к возрастанию  и уменьшению . Полученные решения позволяют устанавливать зависимости закона распределения деформации от углов обхвата нитью поверхности твердого тела, свойства материала, условия трения между материалами нити и твердого тела, а также скорости продольного удара по концу нити.

Список литературы:

1. Эргашов М. Свойства и взаимодействия волн в нити. Ташкент. Фан, 2001.
2. Саидова Р.А., Эргашов М. Удар клином по гибкой нити// Изв.РАН. МТТ. 1998. № 6.
3. Эргашов М. Вопросы соударения нити с твердыми телами. Т.: Фан, 2001.
4. Эргашов М. О скольжении нити по поверхности горизонтальной полки// Международный журнал прикладная механика. НАН Украины.  Т. 30. 1994. № 2.
5. Эргашов М. Исследование процессов распространения упругих волн в намоточных связях при учете эффектов их вращения при растяжении// Изв. РАН. ПММ. Т. 56. 1992. Вып. 1. 
6. Ахунбабаев О.А., Эргашов М. Валиев Г,Н Вопросы динамики взаимодействия шелковых  нитей с рабочими органами текстильных машин. Т.: Fап va texnologiya, 2019.