Математические модели оптимизации цилиндрических оболочек с подкрепленными ребрами жесткости

АННОТАЦИЯ

В работе приведено решение обратной задачи усилия с учетом всей совокупности геометрических и физических факторов, математические модели оптимизация цилиндрических оболочек с подкрепленными ребрами жесткости.

ABSTRACT

The paper presents a solution to the inverse problem of effort taking into account the entire set of geometric and physical factors, mathematical models, optimization of cylindrical shells with reinforced stiffeners

Ключевые слова: плита, железобетон, упругое основание, нагрузка, деформация, жесткость, целевая функция.

Keywords: slab, reinforced concrete, elastic foundation, load, deformation, stiffness, target function.

В данном параграфе рассматривается построение математической модели оптимизации цилиндрических оболочек с подкрепленными ребрами жесткости [1–5]. В строительной практике широко применяются различного вида цилиндрические оболочки в виде цилиндрических емкостей (газгольдеры, емкости для хранений жидкостей и т.д.). Им предъявляются следующие требования: при заданных нагрузках элементы конструкции не должны терять устойчивость и должны иметь необходимый запас прочности жесткости, притом конструкция должна иметь минимальный вес. Конструктивная схема цилиндрической оболочки представлена на рис. 1.

Рисунок 1. Конструктивная схема цилиндрической оболочки

К распорным ребрам прикладываются равномерно распределенные в окружном направлении усилия N₁, Q₁, Q₂, моменты M₁, M₂. Внутри оболочки имеется давление Р, изменяющееся по линейному закону.

Постановка задачи.

По следующем известным данным:

V – объем цилиндрической емкости;

2R – внешний параметр;

α₁ и α₂ – углы полураствора;

C₁, C₂ – размеры ребер;

E – модуль Юнга;

σ_τ – предел текучести;

ν – коэффициент Пуассона;

γ – плотность материала, требуется подобрать толщину оболочек h₁, h₂, h₃, h₄, h₅ и геометрию подкреплений b₁, b₂, t₁, t₂, h так, чтобы при заданных нагрузках элементы конструкции имели наименьший вес.

Выше сформулированную задачу оптимального проектирования можно рассматривать как задачу математического программирования [3], из чего следует:

где R – допустимая область поиска экстремума в пространстве , для которого должны выполняться условия:

где ,                                                                     (1)

f(x) являет собой целевую функцию веса конструкции. Допустимой областью поиска экстремума функции f(x) является:

вектор столбец – проектные параметры g₁(x),…g_m(x).

На функции f(x), g(x) накладываются условия непрерывности и дифференцируемости, и эти функции нелинейны относительно вектора Х.

Методом внутренней точки [3] задача поиска условного экстремума функции f(x)сводится к задаче безусловной минимизации вспомогательной функции:

                                                        (2)

где{εk} – множество положительных чисел, εk→0 при k→∞; F(x) непрерывна в области (2).

Начальную точку находим методом случайных бросаний. Задача безусловной минимизации решается методом прямого поиска Хука – Дживса [2].

Данный алгоритм был успешно применен в работе [1]. В данной работе цилиндрическая оболочка рассматривается как система элементов, взаимодействующих друг с другом в процессе нагружения. Из-за трудностей вычислительного характера исходная система условно расчленена на ряд подсистем: подсистема 1 – верхний узел соединения оболочек; подсистема 2 – нижний узел соединения оболочек; подсистема 3 – подкрепленная цилиндрическая оболочка.

Функция ограничения для каждой подсистемы формируется в соответствии с выбранной расчетной схемой.

Тогда задача оптимизации формулируется следующим образом: минимизировать:

где

целевые функции подсистем 1, 2, 3  определяются условиями:

;

;

 ;

n₁, n₂, n – число проектных параметров для подсистем 1, 2 и для всей системы; m1, m2, m – число условий ограничений для подсистем 1, 2 и для всей системы;

 – векторы проектных параметров подсистем 1, 2, 3;

R1, R2, R3 – области поиска решений для подсистем 1, 2, 3.

Функция веса для подсистемы 3 формируется так:

Кроме указанных ограничений вводятся условия технологической осуществимости элементов подкрепленной цилиндрической оболочки:

min и max есть предельные значения проектных параметров.

Если окажется, что функции  мультимодальные, а области R₁, R₂, R₃ вогнутые, то нет уверенности, что в результате решения задачи минимизации определяются координаты глобального экстремума целевой функции. Для этого нужно доказать выпуклость областей R₁, R₂, R₃ с помощью матрицы Гессе:

для  функции g₁…m₁(x₁…x_n); g_m2+1…m(x_n2+1…x_n); g_m1+1…m₂(x_n1+1…x_n2).

Предположение о том, что локальный экстремум является глобальным, проверяется использованием нескольких начальных точек поиска. Уже в начале итерационного процесса по εk функции f_α…_τ(x) сходятся к одному значению. С точностью, достаточной для практических расчетов, итерационный процесс следует прекратить при , что приводит к экономии машинного времени.

Таким образом, предлагается один из подходов к автоматизированному проектированию цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости для симметричного нагружения. Установлена достаточно быстрая сходимость итерационного процесса решения задачи минимизации веса.

Список литературы:

1. Кавелергин Б., Кожевников А.А., Кузнецов Б.Б. Оптимальное проектирование подкрепленных сферических оболочек // Прикладная механика. Сб. IX. – 1973. – Вып. 10.
2. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. – М., 1967.
3. Фмакко А., Мак-Кормек Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. – М., 1972.
4. Якубов С.Х., Донаев Б., Абдимуминов Э.Ф. Расчет оптимальной конструкции бесшарнирной арки постоянной толщины // Математик моделлаштириш, ҳисоблаш математикаси ва дастурий таъминот инженериясининг долзарб муаммолари мавзусидаги Республика илмий анжумани материаллари (Қарши ш., 2020 й. 23–24 октябрь). – Қарши : Қарши давлат университети, 2020. – Б. 95–99.
5. Якубов С.Х., Холиёрова Х.К., Латипов З.Ё. Оптимизация осесимметричных усеченных конических оболочек // Universum: технические науки. – М., 2020. – № 12 (81). – С. 29–34.