Решение обратной задачи расчета фундаментальных плит силосных корпусов

АННОТАЦИЯ

В работе приведены решение обратной задачи усилия с учетом всей совокупности геометрических и физических факторов, влияющих на распределение, фундаментальных плит силосных корпусов.

ABSTRACT

The paper presents a solution to the inverse problem of effort, taking into account the entire set of geometric and physical factors affecting the distribution of the fundamental slabs of the silo buildings.

Ключевые слова: плита, железобетон, упругое основание, нагрузка, деформация, жесткость, целевая функция.

Keywords: slab, reinforced concrete, elastic foundation, load, deformation, stiffness, target function.

При проектировании силосных корпусов и фундаментальных плит большое значение имеет выбор правильного распределения усилий в опорных колоннах. Аналитически определить усилия с учетом всей совокупности геометрических и физических факторов, влияющих на распределение, чрезвычайно затруднительно. Поэтому практическое значение имеет постановка обратной задачи: нахождение закона распределения усилий в колоннах по заданным деформациям фундаментальной плиты, и решение этой задачи при помощи приближенных методов на компьютер.

Задача ставится следующим образом.

Дана железобетонная плита (рис.1) со следующими характеристиками: длина L=30 м; ширина B=18 м; толщина H=0,45м; бетон марки М 200 с модулем упругости E=3,5×10⁶ т/м² с коэффициентом Пуассона n=0,15, лежащая на упругом основании с характеристиками:

Плита  находится под воздействием 77 (по количеству колонн, расположенных на плите равномерно) сосредоточенных вертикальных внешних сил.

Требуется определить закон распределения усилий в колоннах, приведший к заданным деформациям.

Уравнение равновесия в частных производных плиты, лежащей на упругом основании с двумя коэффициентами постели имеет вид [1-6]:

                                                           (1)

Здесь - прогиб плиты, - двойной Лапласом оператор; - обобщенные упругие характеристики плиты и основания, определяемые по формулам:

Рисунок 1. Наглядное изображение

Р - внешняя нагрузка;

- цилиндрическая жесткость плиты

g-коэффициент, характеризующий быстроту затухания осадок на глубине основания Н.

Внутренние усилия в плите определяются по формулам [2]:

                                                        (2)

Для плиты, свободно лежащей на упругом основании, граничные условия имеют вид [2]:

При                                  

При                                                                                       (3)

где  и - - величины, характеризующие работу упругого основания за пределами плиты, определяются по формулам:

здесь индексы l и b означают, что функции с ними вычисляются соответственно вдоль продольного и поперечного краев плиты:

Для решения краевой задачи  применяется метод Бубнова-Галеркина [1].

В качестве аппроксимирующих функций для симметричной нагрузки берется ряд [1]:

здесь С_ij – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

После определения функции W(x,y) по формулам (2) находим значения внутренних усилий в плите.

Обратная задача определения усилий сводится к экстремальной следующим образом. За  искомые переменные принимаем усилия в колоннах Р_i. Причем  , где G– задаётся. При решении задачи бралось G=19200 т. Ввиду того, что решение задачи должно быть симметрично относительно осей х и у, количество переменных равно 24, а не 77.

За минимизируемую целевую функцию принимается функция, определяющая отклонение расчетных деформаций плиты, полученных при решении прямой задачи при каких-либо заданных значениях P_i, от заданных, полученных по данным нивелировки.

При решении задачи рассматривались следующие целевые функции:

а) функция, определяющая суммарное квадратичное отклонение по четырем точкам А,В,С,Д:

                               (4)

где W^з и W– соответственно заданные и расчетные прогибы в точках;

б) функция, определяющая максимальное по модулю отклонение расчетных деформаций от действительных по всем точкам четверти плиты (ввиду симметрии) под местами приложения силы.

                                                    (5)

Как  видим, функции (4) и (5) не зависят явно от Pi. Поэтому для решения поставленной задачи применение детерминированных методов математического программирования затруднительно, тогда как методы случайного поиска при решении подобных задач не встречают трудностей. Выбран алгоритм А₁₃ – П-2[3].

Поиск экстремума функций  (4) и (5) начинался из точки, соответствующей равномерному распределению усилий в колоннах, т.е.

Получены следующие результаты F_{1 min}=0,0263; F_{2 min}=0,08. Значение F_1min<F_2min, что на первый взгляд говорит об оптимизации лучше приближении к точному решению[4,5].

Однако при этом хорошее приближение получено лишь в четырех точках А,В,С,Д, тогда как в других точках расхождение велико. Во втором случае получено равномерное приближение расчетных деформаций к заданным, как видно из рис.1 то, что расчетные прогибы оказались меньше заданных говорит оптимизация том, что заданная нагрузка G и характеристики грунта отличались от истинных значений.

Список литературы:

1. Власов В.З. Общая теория оболочек. Т. 1, М., 1962.
2. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балка, плиты и оболочки на упругом основании. М., 1960.
3. Кабулов В.К., Назиров Ш.А., Якубов С.Х. Алгоритмизация решения оптимизационных задач. – Ташкент: Фан,  2008. – 204 с.
4. Якубов С.Х. Системный анализ оптимизации проектирования инженерных конструкций и сооружений// Проблемы оптимизации сложных систем: Докл. Седьмой междунар. Азиатской школы-семинара.– Ташкент, 2011.- С.154-163.
5. Якубов С.Х. Методы и алгоритмы синтеза и анализа конструкторских и технологических решений в системе автоматизированного проектирования инженерных конструкций и сооружений. Монография. – М.: ИНФРА-М, 2019. –164 с.
6. Якубов С.Х., Холиёрова Х.К, Латипов З.Ё. Оптимизация осесимметричных усеченных конических оболочек. Universum: технические науки. – Москва, 2020. – №12(81). – С. 29-34