Модель производственной деятельности фирмы

АННОТАЦИЯ

В статье разрабатывается и анализируется математическая модель задачи оптимизации производственной деятельности фирм. Критерии производства были оптимизированы с использованием критериев максимизации прибыли фирм и метода Кун-Таккера.

ABSTRACT

The article develops and analyzes a mathematical model of the problem of optimizing the production activities of firms. Production criteria were optimized using firm profit maximization criteria and the Kuhn-Tucker method.

Ключевые слова: математические методы, целевая функция, производственная фирма, производственные ресурсы, изокост, изокант, стоимость, выручка, классификация, неоклассическая классификация.

Keywords: mathematical methods, objective function, manufacturing firm, production resources, isocost, isocant, cost, revenue, classification, neoclassical classification.

Широкое использование математических методов - важная область для совершенствования экономического анализа, повышающего эффективность анализа фирмы, предприятия и его подразделений. Это позволяет сократить время анализа, учесть все факторы, произвести безошибочные расчеты. Кроме того, на основе этих методов можно найти оптимальные решения по нескольким критериям. Мы предполагаем, что производственная фирма производит несколько разных продуктов одинаковой или постоянной структуры. В нем мы обозначаем продукт фирмы X. Для производства фирмы средства живого труда L (количество рабочих в год) - это K (основные фонды), а совокупная рабочая сила и рабочая сила - это M (годовое количество использованного топлива, сырья, материалов, оборудования).

Каждый тип совокупного ресурса делится на несколько типов. Мы определяем потребление ресурсов с помощью вектора-столбца x = (x1, ..., xn). Он описывает технологию фирмы с производственной функцией, которая представляет собой взаимосвязь между потреблением ресурсов и количеством продукта:

X = F (x)                                                                                (1)

 F (x) считается непрерывной неоклассической функцией, у которой могут быть найдены два дифференциала, а матрица ее второго произведения отрицательна.

Если цена продукта r и j является ценой единицы ресурса -w = 1, ... n, то вектор затрат записывается следующим образом, и получается прибыль.

P(x) = p F(x) - wx                                                                        (2)

где: w = (w1, w2, ..., wn) - серия векторов стоимости ресурса.

Стоимость ресурсов имеет естественное и определенное значение, если x_j - это среднегодовая численность работников определенной квалификации, а w_j - годовая заработная плата на человека; если x_j - закупленный материал, то w_j - закупочная цена этого материала. Если x_j - производственные активы, то w_j - годовая арендная плата фондов или стоимость ремонта фондов.

 Где R=pX=pF (x) - годовой объем производства или годовой доход фирмы, C = wx - годовые затраты на производство или ресурсы.

Если на количество задействованных ресурсов не влияют другие факторы, максимизация прибыли записывается следующим образом:

                                                                 (3)

Это нелинейная задача с n-отрицательными решениями: x≥0, для решения задачи используется условие Куна-Таккера:

                                                        (4)

Если ресурсы используются в оптимальном решении x*>0, то условие (4) записывается следующим образом:

                                                                 (5)

или                                          

в оптимальной точке конечный продукт на единицу ресурса равен цене.

 Максимизация производства без изменения производственных затрат записывается следующим образом:

                                                  (6)

Эта задача представляет собой проблему переменных с линейным пределом нелинейного программирования. Следуя теории, построим функцию Лагранжа:

Затем находим максимальное значение без отрицательных переменных. Для этого выполняем условие Кун-Таккера.

                                             (7)

По-видимому, условие (7) соответствует условию (4). Если      l = 1/p           

Функция Кобба-Дугласа фирмы, производящей такой же продукт. Максимально увеличить объем производства, если выделить 150 тыс. Сумов на аренду и заработную плату средств (арендная плата за единицу средств wK = 5000 заработная плата wK = 10000)

В оптимальной точке найдите предел последнего обмена запасами и рабочей силой.

Известно, что F (0, L) = F (K, 0), поэтому в оптимальном решении K*>0, L*>0 Следовательно, условие (7) имеет вид:

                                           (8)

или в нашем примере

Разделите первое уравнение на второе и найдите:

Подставляя его в следующее условие w_KK* + w_LL * = 150, находим:

Решение можно выразить геометрически. На рисунке 1 линия изокосты (линия постоянных затрат для S = 50,100,150) и изокванты (постоянная X = 25,2; линия валового продукта 37,8).

Рисунок 1. Графическое изображение изокостов и изоквантов

Изокосты записываются следующим уравнением:

5K+10L=C=const

Изокванты объясняются следующими уравнениями:

3K^2/3L^1/3=X=const

В оптимальной точке K*=20, L*=5 изокванта X*=37,8 и изокоста S=150 их градиенты  коллинеары.

Биржа и биржа труда в оптимальной точке

следовательно, одного работника можно заменить двумя паевыми фондами. Решая задачу максимизации прибыли фирмы, мы находим спрос на ресурсы x*>0. Соответствующая стоимость C*=wx*. Теперь мы подошли к той части, где мы говорим о золотой середине. В приведенной выше неоклассической производственной функции оптимальное решение x*>0 является единственным решением. Следовательно,

или

Если проблема максимальной прибыли имеет единственное решение x *> 0, и, соответственно, задана стоимость C * = wx *, то задача максимизации количества продукта является правильной.

Выводы и предложения. Широкое использование математических методов - важная область для совершенствования экономического анализа, повышающего эффективность анализа фирмы, предприятия и его подразделений. Фирма-производитель производит несколько разных продуктов с одинаковой или постоянной структурой. Фирмы используют различные математические методы и модели для оптимизации производственной деятельности.

Список литературы:

1. Кремер Н.Ш. Эконометрика: Учебник. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
2. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. Учебное пособие. Санкт-Петербург, 2002.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие. / Под ред. В. В. Федосеева.. -М.: ЮНИТИ, 2002.