Собственные колебания кусочно однородных сферических тел с учетом волнового уноса энергии

 

АННОТАЦИЯ

Рассмотрены собственные колебания кусочно-однородных сферических тел, находящихся в безгранично упругой среде. Получен сферических тел комплексных механических систем, находящихся в упругой среде в зависимости от различных геометрических и параметрических параметров системы.

ABSTRACT

Natural vibrations of piecewise homogeneous spherical bodies in an infinitely elastic medium are considered. The specker of complex mechanical systems is obtained, which is located in an elastic medium depending on various geometric and parametric parameters of the system.

 

Ключевые слова: энергия, сферическая полость, колебание, полость, волна, напряжение, деформация среды, сдвиг, частота, упругий, механические системы.

Keywords: Energy, spherical cavity, vibration, cavity, waves, stress, deformation medium, shear, frequency, elastic, mechanical systems.

 

Рассмотрим собственные колебания кусочно-однородных сферических тел (рис. 1) или в сферической полости, находящихся в безгранично упругой среде.

a. Сферическая полость. В этом случае внутри сферы волны отсутствуют, так что:

0  и .                                                       (1)

Следовательно, нужно определить только две группы коэффициентов  и :

   .                                                            (2)

Необходимы только два граничных условия.

Потребуем, чтобы компоненты напряжения были непрерывны на границe при :

Это условие приводит к следующим уравнениям для :

,                                                            (3)

где

Частотное уравнение также решают методом Мюллера на ЭВМ.

Несимметричные собственные колебания сферического отверстия показаны на рис. 2.

В несжимаемой среде ( или  затухания, естественно, отсутствуют. Результаты численных расчетов на ЭВМ представлены в таблице 1 при  .

б. Жесткие включения. Если вместо упругой полости рассматривается жесткая сфера в безгранично упругой среде, то частное уравнение (3) принимает вид:

.                                                   (4)

Выражения  имеют следующий вид:

 

.

Численные результаты приведены в таблице 2 при  .

Как видим , при  реальные части первой собственной частоты обращаются в нуль.

Таблица 1.

Зависимость комплексных собственных частот сферической полости от  ( – коэффицент Пуассона окружающей среды)

	0,6019D+01 –0,7981D+ +00i	0,7501D+01 –0,6414D+ +01i	0,8541D+00 –0,5591D+01	0,9120D+00 0,4910D+00	0,7201D+00 0,0000D+00

 

В качестве тестовой задачи решено частотное уравнение радиального колебания сферического упругого тела. Получение результаты сравнивали с результатами работы [4].

При  частотное уравнение (3) сферического тела принимает вид:

 (5)

где .

Численные значения решения частотного уравнения (5) приведены в таблице 3.

Как видно из таблицы, численные результаты совпадают после запятой до пятого знака.

Рассмотрим собственные колебания сферических включений, находящихся в упругой среде.

Таблица 2.

Зависимость комплексных частот жесткого сферического влечения от 

0.2	0,253 D +00	0,4710 D –02
0.5	0,520 D +00	0,6148 D –02
0.8	0,8101 D +00	0,9118 D –02
1.0	0,1924 D –13	0,1211 D –11

 

Таблица 3.

Сравнение собственных частот упругой среды

	Наши результаты	Результаты работы [5]
0,8160	0,816025 D +00	0,816027D +00
1,9285	0,192846D +01	0,192843D +00
2,9359	0,293816D +01	0,293812D +00
3,9658	0,396472D +01	0,396478D+–00

 

Рисунок 1. Расчетная схема для сферических тел, находящихся в безграничной среде	Рисунок 2. Распределение корней частотных уравнений

 

Крутильные колебания характеризуются обращением в нуль радиальной компоненты вектора смешения u, а также дилатации u. Нетрудно увидеть, что в общем решении им соответствует часть, включающая коэффициенты :

.

Подстановка этой части в граничные условия приводит к следующей системе уравнений для определения коэффициентов  и :

(R)(R);

R)-(R)(R)]=

R)-R)(R)].

Из приравнивания нулю детерминанта системы получим уравнение для собственных частот крутильных колебаний сферического включения:

[n-1-(()],                                (6)

где (z)(z)/(z), (z)(z)/(z), X=/.

Приведенная к поперечной скорости в среде безразмерная частота /

Отношение поперечных скоростей вне и внутри  сферического включения, =/ – отношение плотностей и =/= – отношение модулей сдвига вмещающей среды и включения.

Нетрудно увидеть, что уравнение (6) имеет своим решением набор комплексных частот . Действительная часть  определяет собственную частоту, а мнимая часть  – соответствующий коэффициент затухания. С физической точки зрения затухание в идеальной упругой среде объясняется излучением энергии возбужденных собственных колебаний за счет расходящихся сферических упругих волн. Если мы совершим в (6) предельный переход, соответствующий случаю отсутствия вещающей среды (изолированный упругий шар при ), то естественным образом придем к действительному частотному уравнению крутильных колебаний шара:

n–1–() = 0,                                                          (7)

где =/ – данное уравнение определяет дискретный спектр уже действительных частот, поскольку излучение отсутствует. В противоположном случае сферической полости в сплошной упругой среде, когда , приходим к комплексному частотному уравнению:

n-1-()=0,                                                                 (8)

описывающему спектр комплексных значений собственных частот к крутильным колебаниям полости.

Раскроем (6) для примера в случае n = 1 U n = 2. Получим при n = 1:

 сtg=1–                                              (9)

И при n = 2:

 сtg=1– x;

X{1+                             (10)

Cоответственно, эти комплексные трансцендентные уравнения переходят при  в действительные уравнения для собственных частот колебаний шара, а  – в комплексные уравнения для собственных частот и собственных затуханий крутильных колебаний плоскости. Именно при n = 1:

ctg=1-;                                                       (11)

- 3- 3=0;                                                         (12)

а при n = 2:

ctg=1+;                                              (13)

- 5- 12.                                        (14)

 

Интересно отметить, что уравнения (11) и (13), так же как и более общее трансцендентное уравнение, включают в себя как тригонометрические функции, так и алгебраические.

 Из-за свойства периодичности тригонометрических функций для каждого номера n будем иметь бесконечное счетное множество собственных частот.

Исключение составляет случай полости, когда собственные частоты определяются алгебраическими уравнениями конечного порядка, повышающегося с номером n.

Cфероидальные колебания.

Данный класс колебаний характеризуется обрушением в нуль радиальной компоненты рот u, в общем решении (3) этому классу соответствует часть, включающая коэффициенты и –. Подстановка этой части в граничные условия (11) дает однородную систему уравнений для определения коэффициентов ,.

Как обычно, равенство нулю детерминанте системы означает ее совместность и приводит к трансцендентному уравнению для собственных частот сфероидальных колебаний.

Детерминант имеет вид:

где элементы  выражаются следующим образом:

=n-(=n-(

=n(n+1) =n(n+1)

==,

 

=n+1-(=n+1-(

 

-n-+2-n-+2

=n(n+1)[n-1-(=n(n+1)[n-1-(

=n-(

=n-(

-+-+ ,

Здесь = – отношение продольных скоростей вне и внутри сферы, = – отношение поперечной и продольной скоростей для вмещающей среды, а остальные обозначения имеют тот же смысл, что и при рассмотрении крутильных колебаний.

Трансцендентное уравнение для определения собственных частот:

 = 0.                                                                        (15)

Имеет в данном случае трудно обозримый вид. При роно переходит в действителъное уравнение собственных сфероидальных колебаний шара:

n-+2 n(n-1)[n-1-] = 0,                                  (16)

n-11--+),

где  =

При приходим к комплексному трансцендентному уравнению для комплексных собственных частот сфероидальных колебаний полости:

n-+2 n(n+1)[n-1-]     =0,                                       (17)

 n-11--+)

Bажным частным случаем сфероидальных колебаний являются радиальные колебания. Как следует из (10), при n = 0 только радиальная компонента смещения отлична от нуля. Движения происходят только в радиальном направлении:

 =-,

 [4(r)-[]r)r)]

Используя граничные условия и при rR, придем в итоге к следующему уравнению для собственных частот радиальных колебаний сферического включения:

ctg1-.                                            (18)

Здесь аналогично имеются два предельных случая: радиальные колебания шара

  и полости . Соотвественно получим:

;                                                     (19)

                                                    (20)

где

Аналитическое исследование уравнения (18) в зависимости от параметров  в общем случае является затруднительным. Тем не менее есть возможность просмотреть условия, при которых малы действительные и мнимые части собственных частот, т.е.:

Разложив  в левой части (18) с точностью до кубичных членов, придем к квадратному относительно  уравнению:

где  Заметим, что 4a+

Условие  будет выполнено, если:

Это возможно, например, в случае воздушного пузыря в жидкости, когда

  и  При этом  а  3/2 а что означает существование острорезонансных низкочастотных колебаний, так как:

.

 

Список литературы:

1. Гайбуллаев З.Х., Азизов Б.А. Определения параметров семяпровода // Universum: технические науки. – М., 2020. – Вып. 6 (75) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/9612.
2. Гайбуллаев З.Х., Азизов Б.А. Распространение нестационарных возмущений от цилиндрических полостей // Интернаука. – М., 2019. – Ч. 1. – № 6 (88) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://elibrary.ru/item.asp?id=38543929.
3. Гайбуллаев З.Х., Азизов Б.А. Распространение свободных волн в двух- и трехслойных плоских диссипативных системах // Интернаука. – М., 2019. – Ч. 1. – № 6 (88) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://elibrary.ru/item.asp?id=38543933.
4. Нефедов Б.А, Флайшер Н.М. Изыскание профильной линии почвообрабатывающего рабочего органа минимальной энергоемкости // Сб. научных трудов МИИСП: Теория и расчет почвообрабатывающих машин. – М., 1889.
5. Попов М.В. Теоретическая механика. – М. : Наука, 1986.