О константах в уравнениях атермической теории пластичности

АННОТАЦИЯ

В статье излагаются результаты расчета констант скалярных функций в уравнениях атермической теории пластичности для описания поведения некоторых материалов при различных условиях деформирования. Исследована и установлена зависимость прежних констант скалярных функций от температуры. Для исключения влияния температурного фактора исследована возможность использования усредненных значений констант. Предложен способ их вычисления. Проведенный анализ кривых деформирования, построенных при различных сочетаниях скоростей нагружения и температур для двух вариантов констант, показал возможность применения усреднённых констант в уравнениях атермической теории пластичности в исследованном диапазоне температур с приемлемой точностью.

ABSTRACT

The article presents the results of calculating the constants of scalar functions in the equations of the athermic theory of plasticity to describe the behavior of certain materials under various deformation conditions. The temperature dependence of the previous constants of scalar functions is investigated and established. The possibility of using averaged values of constants is investigated to exclude the influence of the temperature factor. A method for calculating them is proposed. The analysis of the deformation curves constructed at different combinations of loading rates and temperatures for the two variants of constants showed the possibility of applying the averaged constants in the equations of the athermic theory of plasticity in the studied temperature range with acceptable accuracy.

Ключевые слова: пластическая деформация, скорость деформации, ползучесть, напряжение, кривая деформирования, уравнения атермической теории пластичности.

Keywords: plastic deformity, strain rate, creep, straining, deformation curve, equations of athermic theory of plasticity.

В работе [3] рассматриваются уравнения атермической теории пластического деформирования, при построении которых отказываются от классического предположения о поверхности текучести. По исходному предположению уравнения должны описывать деформирование упругое, пластическое и деформирование при ползучести.

Физически сохраняется предположение, что

,                                                                  (1)

где     – тензор полной деформации;

 – тензор упругой деформации;

 – тензор пластической деформации;

 – тепловое расширение;

 – символ Кронекера.

Тензор упругой деформации  определяется обобщенным законом Гука. Тензор пластической деформации  находится в результате интегрирования тензорного уравнения для девиатора скорости пластической деформации

,                                                                     (2)

здесь  – девиатор напряжений;

 – девиатор микронапряжений.

Последний определяется в процессе интегрирования для конкретного пути нагружения, исходя из тензорной зависимости:

.                                                                           (3)

В уравнении (2) предполагается, что скалярная функция

,                                                                    (4)

где  – квадратичный инвариант девиатора активных напряжений;

 – параметр Одквиста.

Считается также, что

,                                                              (5)

здесь  – квадратичный инвариант девиатора скоростей пластической деформации.

При соответствующем выборе зависимостей  и  уравнения (2, 3) позволяют при низких температурах получать почти независимую от времени атермическую пластичность, а при высоких температурах – ползучесть материалов.

В работе [1] показано, что собственно атермическая пластичность слабо зависит от температуры, и наблюдаемое изменение механических свойств связано со скоростью испытания. Поэтому справа в уравнениях (4) и (5) появляются скорости деформации.

В работе [2] подробно рассматривается применение такого подхода к описанию влияния скорости нагружения при пластическом деформировании на процесс деформирования при последующей ползучести. Использовавшийся экспериментальный материал (испытания образцов проводилось при чистом сдвиге), предопределил вид скалярных функций в уравнениях (2) и (3)

;                                                                     (6)

в следующем виде:

                                                       (7)

;   ;                                                      (8)

где  – значения действительных напряжений и микронапряжений соответственно;

      - декларируются автором как константы материала;

 – скорость пластической деформации.

Определение констант проводилось на основании сравнения расчетных и экспериментальных кривых ползучести после испытания на пластическое деформирование при разных скоростях нагружения. Детали этих расчетов автор не приводит и указывает итоговую таблицу параметров  и   (см. табл.1).

Таблица 1.

 Значения параметров  и  от температуры

Используя данные этой таблицы и предполагая, что (   ) - константы и учетом зависимостей ;    для двух значений температур  и , имеем

для параметра : 

;

(9)

.

Для определения констант ( ) прологарифмируем уравнения (9), получим

                                              (10а)

                                             (10б)

Вычитая из уравнения (10а) уравнение (10б), получим

или

.

Значение константы  определяется так

,

где  – значения параметров для соответствующих температур из табл.1.

Аналогичные формулы можно получить для констант ( ).

Теперь рассматриваем пары (Т1=150 и Т2=250); (Т1=250 и Т2=350); (Т1=350 и Т2=150) и находим три множества  для каждой пары температур (см. табл. 2).

Отмечаем, что эти константы () оказались зависящими от температуры, а декларировались как постоянные материала.

Таблица 2.

 Результаты расчетов констант    

Попробуем использовать в качестве констант средние значения  , , , ,  допустив их использование для произвольной температуры (см. табл. 3).

Таблица 3.

 Результаты расчетов констант    

После чего определяем параметры  и  для рассматриваемых значений температур (табл. 4).

Таблица 4.

 Результаты расчета параметров  и

С учетом принимаемых аппроксимаций уравнения, описывающие процесс деформирования принимают вид:

(11)

  ,

где  – относительное напряжение ( ), где  – напряжение соответствующее пределу текучести при данной температуре;

 – относительная скорость напряжения;

 – относительная деформация (), где  – деформация, соответствующая пределу текучести;

 – относительное микронапряжение ();

 – относительный модуль сдвига;

 – постоянная, принималась равной 3;

 – постоянная, принималась равной 0,01.

Интегрируя уравнения (11) при граничных условиях ( и скорости нагружения 0,4 1/с, но разных значениях параметров m и c (по Колобанову и осредненным значениям (, , , )) получим кривые деформирования, представленные графически ниже (см. рис.1, 2).

Аналогично проведены расчеты при скоростях нагружения 4,0 и 40,0 1/с, полученные кривые деформирования представлены (см. рис. 3, 4, 5, 6).

Рисунок 1. Кривая деформирования (скорость  0,4 1/с; T=250⁰C; δ=2,9%)

Рисунок 2. Кривая деформирования (скорость 0,4 1/с; T=350⁰C; δ=3,6%)

Рисунок 3. Кривая деформирования (скорость 4,0 1/с; T=150⁰C; δ=6,4%)

Рисунок 4. Кривая деформирования (скорость 4,0 1/с; T=350⁰C; δ=11,5%)

Рисунок 5. Кривая деформирования (скорость 40 1/с; T=250⁰C; δ=17,7%)

Рисунок 6. Кривая деформирования (скорость 40 1/с; T=350⁰C; δ=14,6%)

Анализ численных значений позволяет оценить расхождение в 17,7%.

Для пластического деформирования и деформирования при ползучести расхождение невелико, что позволяет признать правомочным использование  и  как констант материала в исследованном диапазоне температур,  что упрощает применение рассматриваемых уравнений (2) и (3).

Список литературы:

1. Вакуленко А.А., Паллей И.З. К вопросу о теории пластичности для среды, испытывающей деформацию при переменных температурах. СБ. «Исследования по упругости и пластичности», Изд-во ЛГУ, 1966, № 5 с. 188—197.
2. Колобанов В.Ю. Исследование прочности некоторых деталей авиадвигателей с учетом влияния предварительной пластической деформации на последующую ползучесть. [Текст]: дис. канд. техн. наук: 05.00.00: защищена 21.10.1972: / Колобанов Владимир Юрьевич. - Рига, 1972. – 166 с.
3. Паллей И.З. Расчет пластических деформаций при циклических температурах и нагрузках. - Рига: Рижский Краснознаменный институт инженеров гражданской авиации им. Ленинского Комсомола., 1968. - 88 c.