Устойчивость многомерных дискретных динамических систем управления

DOI: 10.32743/UniTech.2021.83.2-1.26-30

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены вопросы исследования и получения обобщенных показателей оценки качества процессов систем, вывода прогнозирующих уравнений и определения устойчивости многомерных дискретных систем непосредственно по математическим моделям. Основываясь на свойствах матриц смежности, получены выражения, позволяющие непосредственно осуществлять количественную оценку поведения систем. Показаны способы получения обобщенных характеристик структурных состояний в виде норм взвешенных матриц смежности, и на этой основе даны уравнения, прогнозирующие поведение многомерных систем управления динамическим объектом по однократно вычисляемым нормам матрицы смежности на любое наперед заданное число шагов дискретности.

ABSTRACT

The article considers the issues of research and obtaining generalized indicators for assessing the quality of systems processes, deriving predictive equations and determining the stability of multidimensional discrete systems directly from mathematical models. Based on the properties of the contiguity matrices, expressions are obtained that allows to quantify the behavior of systems. Methods of obtaining generalized characteristics of structural states in the form of norms of weighted matrices of contiguity are shown, and on this basis equations, allows to predict the behavior of multidimensional control systems of dynamic object by the once-calculated norms of the incompatibility matrix for any forward specified number of discreteness steps, are given.

Ключевые слова: норма матрицы, система с динамической структурой, устойчивость, дискретность, оценка поведения.

Keywords: matrix norm, system with dynamic structure, stability, discreteness, behavior assessment.

Введение.

Для решения задач исследования структурно-сложных динамических систем управления целесообразно перейти от «координатного» способа их описания к описанию на основе некоторых обобщенных характеристик. За одну из таких обобщенных характеристик систем предлагается использовать норму матрицы смежности [2, 5]. Матрица смежности совпадает с матрицей перехода соответствующей подсистемы, то есть имеется возможность суждения о динамических свойствах подсистем. Поскольку окончательное суждение о качественных показателях системы можно вынести по оценкам, непосредственно связанным с координатами, необходимо дополнительно установить связи между обобщенными показателями в виде норм матриц смежности и конкретными координатами.

Основная часть.

Пусть имеется линейная система управления с динамической структурой и заданы последовательные соответствия:

,                                                                                         (1)

где

                                                                                      (2)

– множества, соответствующие переменным состояния линейной системы с динамической структурой (СДС) n-го порядка; Q – график соответствия.

Поставим каждой паре  в соответствие коэффициент  – значение весовой функции [2, 3].

Рассмотрим динамику функционирования системы на конечном множестве интервалов , где  - переменный период повторения состояний системы.

Обозначив через  нормы матрицы смежности [1, 7],  вектор начальных условий системы,  - управление на j-м шаге, получим нормы вектора состояния  для сепаратного и перекрестного каналов передач в виде:

                                                                   (3)

Для случая, когда период повторения – постоянная величина, выражение (3) принимает более компактный вид:

                                                    (4)

Аналогичным образом можно получить выражения для норм векторов состояний многомерной системы. Например, нормы вектора состояний для двумерной системы определяется следующим образом:

                                            (5)

                                            (6)

                                      (7)

                                  (8)

В этом случае оценки для векторов выходов многомерной системы могут быть получены из соотношения:

                                                               (9)

Выражения (3) - (9) получены, исходя из известных свойств норм векторов и матриц [1, 2, 7]. Смысл этих соотношений заключается в том, что они дают картину изменения во времени величины нормы вектора состояния или вектора выхода многомерных систем по известным нормам отдельных структурных состояний. Однако, наряду с этим, необходимо иметь возможность оценки самих координат, то есть отдельных компонент векторов выходов и состояний.

Для решения этой задачи в работе предлагается следующий способ. Чтобы оценить вектор состояния (выхода) системы для N-го момента времени, найдя вектор для (N-1)-го момента времени, а затем, пользуясь скалярным произведением векторов, получим выражение:

,                                                                     (10)

с помощью которого определяются значения нужных координат.

В выражении (10)  - компонента вектора состояния r-го канала;  - вектор состояния r-го канала для (N-1)-го момента времени;  - вектор каналов, инцидентных вершинам  и вершине .

Применяя неравенство Коши [1], получим:

.                                                              (11)

Извлечение из обеих частей квадратных корней приведет к другой форме неравенства Коши:

                                                                       (12)

Сравнением (12) и (10) для компоненты  можно получить оценку, связанную с нормами векторов:

                                                           (13)

Подставляя вместо  его значения в соответствии с выражениями (3) – (9), получим искомый результат, то есть оценку координат через обобщенные характеристики подсистем (структурных состояний ) – нормы матриц смежности . Например, для случая, когда матрицы смежности на всех интервалах одинаковы, для произвольной  координаты многомерной системы получим:

                                      (14)

Подобным образом можно получить выражения координат состояния и для других случаев. Выражения, аналогичные (13), позволяют прогнозировать значения переменных состояния на любое наперед заданное число интервалов рассмотрения по известным однократно вычисляемым нормам матриц и векторов, не вычисляя на каждом шаге самих векторов состояния [1, 4, 6]. Этот результат дает возможность осуществлять анализ и синтез структурно-сложных систем, рассматриваемых с позиций СДС, на уровне обобщенных характеристик, что важно в связи с известной проблемой размерности систем.

                                                               (15)

Рассмотрим условие, при котором , при  и . Из выражения (15) видно, что это имеет место, если  при . В свою очередь это возможно, если нормы  матриц  для любого из значений . Если учесть, что максимальная из сумм модулей передач дуг, инцидентных вершинам из множеств  и  совпадает с нормами матрицы  вида:

;                                                        (16)

,                                                       (17)

 - векторы состояния СДС, то достаточность доказана.

Необходимость условия устойчивости. Предположим, что  и система устойчива (асимптотически), но . Вектор состояний  в этом случае будет неограниченно расти, то есть  при , что противоречит предположению.

Определение устойчивости, согласно сформулированного утверждения, осуществляется по следующему алгоритму:

1. На каждом шаге вычисляются максимальные значения сумм модулей коэффициентов каналов передач:

, , то есть ; .

2. Если на некотором шаге один из максимумов сумм модулей коэффициентов каналов передач становится меньше единицы, то система устойчива.

Пример решения.

Требуется определить устойчивость двумерной несинфазной системы с конечной длительностью замыкания импульсных элементов и непрерывной части:

; ; ;

; ;

; ;

; .

Структурная схема приведена на рисунке 1.

Смещение импульсов на выходе импульсного элемента (ИЭ₂) по отношению к входным импульсам ИЭ₁ – 0,3 с.

Имеем СДС с тремя структурными состояниями ;  соответствуют замкнутым состояниям ИЭ₁ и ИЭ₂,  соответствует разомкнутому состоянию ИЭ₁ и ИЭ₂.

Рисунок 1. Структурная схема двумерной дискретной динамической системы управления

Цикл структурных состояний состоит из четырех участков . Получим для интервала  его взвешенную матрицу смежности:

.

Откуда имеем , что показывает устойчивость системы.

Заключение.

Предложен алгоритм определения устойчивости систем управления структурно-сложных динамических объектов, рассматриваемых с позиций систем с динамической структурой. Показаны способы получения обобщенных характеристик в виде норм взвешенных матриц смежности, получаемых на основе координатного способа их описания, на основе которой получено управление, позволяющее на основе вычисления норма матрицы прогнозировать поведение многорежимной системы управления с динамической структурой. Достоверность полученного алгоритма подтверждена решением конкретного примера. Разработанный алгоритм отличается простотой реализации на вычислительной машине. Полученные результаты могут быть использованы в задачах управления динамическими объектами непрерывно-дискретного характера.

Список литературы:

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б. и др. Математическая теория конструирования систем управления: Учебное пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1989. – 447 с.
2. Кадыров А.А. Динамические графовые модели в системах автоматического и автоматизированного управления. – Ташкент: Фан, 1984. – 240 с.
3. Солодовников В.В., Коньков В.Г. и др. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы  теории и элементы: Учебное пособие / Под ред. В.В.Солодовникова. – М.: Высшая школа, 1991. – 255 с.
4. Солодовников В.В., Семенов В.В. и др. Расчет систем управления на ЦВМ: Спектральный и интерполяционный методы / Под ред. В.В.Солодовникова, М.Пешеля – М.: Машиностроение. Berlin, Verlag Technik, 1979. – 664 с.
5. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. – М.: Гос. изд-во физ-мат литературы, 1963. – 968 с.
6. Siddikov I.X., Umurzakova D.M. Fuzzy-logical Control Models of Nonlinear Dynamic Objects. Advances in Science, Technology and Engineering Systems Journal Vol. 5, No. 4, 419-423 (2020). ASTESJ ISSN: 2415-6698.
7. Siddikov I.X., Umurzakova D.M. The research on the dynamics of the three-impulse system of automatic control of water supply to the steam generator when the load changes. First International Conference on Advances in Physical Sciences and Materials Journal of Physics: Conference Series 1706 (2020) 012196.