Метод наименьших квадратов на основе “Mobile basic”

DOI: 10.32743/UniTech.2021.82.1-1.11-14

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается возможность применения Mobile Basic для аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов. Приведены примеры для линейной, квадратичной и кубической зависимостей физических величин.

ABSTRACT

The article discusses the possibility of using Mobile Basic for the approximation of experimental data by the least squares method. Examples are given for linear, quadratic, and cubic dependences of physical quantities.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, физический эксперимент, достоверность результатов.

Keywords: method of least squares, physical experiment, the reliability of the results.

Развитие и совершенствование методов и средств современных информационных технологий создают реальные возможности для их использования в системе образования с целью развития творческих способностей студентов. Именно используя новые информационные технологии, мы имеем реальные возможности построения открытой образовательной системы, позволяющей каждому студенту выбирать свое собственное направление в обучении. Новые технологии получения знаний посредством эффективной организации познавательной деятельности обучаемых в ходе учебного процесса на основе современного компьютера позволяют повысить организацию учебного процесса и его эффективность в целом.

Однако в условии пандемии приходиться проводить учебный процесс дистанционным образом и не у всех студентов имеются компьютеры. В настоящее время студенты изучают предметы в основном с помощью мобильных телефонов. Поэтому в данной работе рассматривается возможность применения Mobile Basic для аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов [8].

Метод наименьших квадратов является наиболее широко распространенным методом обработки данных физических экспериментов. Данный метод стали применять для статистической обработки данных как лабораторных работ по общей физике, так и педагогических экспериментов. Преимущественно встречается случай программирования расчета на базе различных программных языков с последующим выводом результатов расчета в виде неких таблиц или графиков [1-3, 6]. Разнообразие используемых программ расчета и различие их в степенях совместимости с операционными системами представляет актуальности разработки более универсального приложения этого метода. Автором настоящей работы разработано Mobile Basic приложение метода наименьших квадратов для обработки данных любых физических экспериментов [4, 5]. Рассмотрены некоторые примеры применения данной методики для расчета определенных экспериментальных данных.

Если некоторая физическая величина у зависит от другой величины х, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений: x₁, y₁, x₂, y₂, ..., x_n, y_n .

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако значения постоянных коэффициентов, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Применение метода наименьших квадратов позволяет легко определить их значения. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на линии кривой. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [y_i – ƒ(x_i)]² была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто используется в случае линейной зависимости. Линейная зависимость очень широко распространена в физических задачах. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются построит график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагать, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ², то на графике строят зависимость n от λ^-2.

Рассмотрим случай, когда экспериментальные точки должны удовлетворить формулу: 

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x_j, y_j найти наиболее приближенные значения a_j. Кроме того, удобно выражать результаты расчета в графической форме, которые позволяют наглядно проанализировать физический механизм исследуемой зависимости.

Созданная автором программа на Mobile Basic позволяет легко определить неизвестные коэффициенты не только линейной, но и квадратичной, кубической и любой степени аргумента. Применение этого метода для обработки данных различных задач приведено в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. С целью определения температурного коэффициента поверхностного натяжения, измерены поверхностное натяжение воды в зависимости  от температуры и получены следующие результаты: σ₁ = 63  мН/м (при t₁ = 0 ^oC); σ₂ = 61  мН/м (при t₂ = 20 ^oC); σ₃ = 58  мН/м (при t₃ = 40 ^oC); σ₄ = 55  мН/м (при t₄ = 60 ^oC);  σ₅ = 53  мН/м (при t₅ = 80 ^oC). Необходимо определить температурный коэффициент поверхностного натяжения воды.

Решение. Предположим, что температурный коэффициент поверхностного натяжения воды зависит от температуры по закону σ = at + b  и находим неизвестные коэффициенты описанным методом.

Для определения a и b обозначим σ→y,  t→x, n=1. Вводив исходные данные эксперимента, запустим программу на Mobile Basic, производим расчет и получаем результаты.

Результаты расчета, вид графика (рис. 1) и определенное значение χ² свидетельствуют о достоверности результатов.

Пример 2. Как известно, коэффициент диффузии элементов в кремнии зависит от температуры по закону

D=D₀ exp (-E /kT)

где D₀– предэкспонециальный множитель, E- энергия активации. Различными авторами для E получены следующие значения для элементов I группы в зависимости от порядкового номера элемента (Z) в периодической системе:

Предполагая, что E зависит от Z по закону

E=aZ²+bZ+c,

необходимо определить неизвестные коэффициенты.

Решение. Применив выше описанный метод, определим неизвестные коэффициенты: a, b, c.

Для определения a, b, c обозначим E→y,  Z→x, n=2. Вводив исходные данные эксперимента, запустим программу, производим расчет и получаем результаты.

Результаты расчета, вид графика (рис. 2) и определенное значение χ² свидетельствуют о достоверности результатов.

Пример 3. Различными авторами для E получены следующие значения для элементов III группы в зависимости от порядкового номера элемента (Z) в периодической системе.

Предполагая, что E зависит от Z по закону

E=aZ³+bZ²+cZ+d,

необходимо определить неизвестные коэффициенты.

Решение. Применив выше описанный метод, определим неизвестные коэффициенты: a, b, c, d.

Для определения a, b, c, d обозначим E→y,  Z→x, n=3. Вводив исходные данные эксперимента, запустим программу, производим расчет и получаем результаты.

Результаты расчета, вид графика (рис. 3) и определенное значение χ² свидетельствуют о достоверности результатов.

Достоверность результатов свидетельствуют о том, что метод наименьших квадратов можно использовать для любых задач экспериментальной физики. Важно отметить, что построив научные задачи по определению диффузионных параметров экспериментально изученных химических элементов и получив расчетные результаты, можно прогнозировать диффузионные параметры других (экспериментально неизученных) элементов.

Список литературы:

1. Бурсиан Е.В. Задачи по физике для компьютера, М.Просвещение, 1991 г.
2. Nosirov M.Z., Alieva J.R. “Universal calculator” for solving the physical problems, Materials of the I International scientific conference, Chicago, USA, 2013, p.278-282.
3. Насиров М.З., Алиев Р.У. Применение информационных технологий в преподавании физики (монография), Ташкент, Фан, 2012, -176 с.
4. Насиров М.З., Алиев Р.У., Туланова Б., Базаров А. Изучение электрического поля на компьютере с исползованием анимаций и численных методов//, Физика в школе, №1, 2011, с.40-43.
5. Зайнабидинов C., Насиров М.З., Алиева Ж.Р. О коэффициентах диффузии 3d элементов в кремнии//Узб. Физ. Жур., 2003, №1, 69-71.
6. Зайнабидинов С., Йулчиев Ш, Назиров Д.Э, Насиров М.З. Диффузия атомов в кремнии, Ташкент, 2012, -170 с.
7. Насиров М.З., Юлдашева Н.М., Матбабаева С.Д. Моделирование физических процессов на основе Mobile Basic//Universuim: Технические науки, № 11(80), 2020, с. 32-35.