Оптимизация осесимметричных усеченных конических оболочек

АННОТАЦИЯ

В народном хозяйстве широкое применение находят тонкостенных конструкций типа оболочек, это приводит к тому, что к ним предъявляются все более жесткие требования, которые связаны не только с экономией средств, материалов при возведении различных сооружений, но и с созданием конструкций минимального веса. В связи с этим актуальной задачей является проектирование конических оболочек минимального веса.

ABSTRACT

In the national economy, thin-walled structures such as shells are widely used, this leads to the fact that more and more stringent requirements are imposed on them, which are associated not only with saving money and materials during the construction of various structures, but also with the creation of structures of minimum weight. In this regard, an urgent task is the design of conical shells of minimum weight.

Ключевые слова: алгоритм, математические программирования, весовая оптимизация, конструкция, конические оболочки, толщина, целевая функция, минимальный вес

Keywords: algorithm, mathematical programming, weight optimization, design, conical shells, thickness, objective function, minimum weight.

Для решения разнообразных оптимизационных задач создан и бурно развивается аппарат математического программирования: линейного нелинейного, динамического, а также методы случайного поиска. Созданные на базе этих методов алгоритмы и программы позволяют решать определенные подклассы оптимизационных задач, которые тем шире, чем универсальные алгоритмы. В общем виде задачи математического программирования ставятся следующим образом [1]. Требуется определить значения оптимизируемых параметров  сообщающих целевой функции F(X) минимум (максимум) при соблюдении ограничений

                                                                     (1)

Ограничения (1) образует некоторую область D существования решения оптимизационной задачи. Не уменьшая общности, задачи математического программирования можно записать в виде:

                                                           (2)

Универсальность алгоритма зависит от требований, предъявляемых к целевой функции и ограничениям, накладывающим алгоритм для успешного решения задачи (2). Так методы линейного программирования требуют линейности, а нелинейного – выпуклости F(X) и ограничений (1). Алгоритмы случайного поиска более универсальны, т.к. не предъявляют жестких требований к виду задачи (2) и могут решать многоэкстремальные задачи с невыпуклой многосвязанной областью D [1].

Оптимизационные задачи, в частности задачи оптимизации инженерных конструкций, как видно из анализа [1-4], предполагают использование широкого класса методов математического программирования от симплекс-алгоритма до глобальных алгоритмов случайного поиска. Постановка задач оптимизации и обратных задач расчета конкретных конструкций позволяет унифицировать методы их решения на основе применения перечисленных методов [1]. Стоит отметить, что подобные задачи обладают рядом особенностей по сравнению с абстрактными задачами математического программирования, что позволяет разработать новые алгоритмы или модифицировать известные методы с ускоренной сходимостью. Из этих особенностей можно выделить следующее. Во-первых, при весовой оптимизации конструкций минимум целевой функции всегда находится на одном или пересечении ограничений по прочности, жесткости, устойчивости рассматриваемых конструкций. Эта особенность позволяет производить параметрическую адаптацию алгоритмов поиска. Во-вторых, задача прямого расчета конструкции, как правило требует на несколько порядков больше затрат машинного времени, чем вычисление целевой функции. Отсюда – возможность структурной адаптации алгоритмов с целью максимально уменьшить количество прямых расчетов конструкций. В - третьих, как прямые расчеты, так и обратные и оптимизационные для достаточно сложных конструкций производится при помощи численных методов. При этом очевидна целесообразность соотношения точности расчетной модели (которая может выражаться в количестве членов ряда координатных функций, узлов разностной сетки, конечных элементов) и положения поисковой системы в области поиска.

Практическая необходимость при проектировании различных объектов, в том числе, и инженерных конструкций, решать различные типы оптимизационных задач привела к созданию библиотек оптимизирующих программ, пакетов прикладных программ различных уровней и назначения. Собрание в одном пакете различных алгоритмов увеличивает класс решаемых оптимизационных задач, что, естественно, приводит к повышению эффективности применения компьютерной техники.

Инженерные конструкции и сооружения, включающие в себя конические оболочки, широко применяются в таких важных отраслях народного хозяйства, как ракетостроение, самолетостроение, турбостроение и т.д.

Так как к ним предъявляются все более жесткие требования связанные не только с экономией средств, материалов при возведении различных сооружений, но и с созданием конструкций минимального веса. В связи с этим актуальной задачей является проектирование конических оболочек минимального веса.

Весовая оптимизация инженерных конструкций предусматривает минимизацию веса этих конструкций при воздействии на них заданных систем внешних сил с соблюдением условий сохранения  необходимой прочности, устойчивости, жесткости конструкций[2,3].

Задача в общем виде может быть записана так:

                                                             (3)

где G – вес конструкции;

s_max – максимальные напряжения в конструкции;

[s] – допускаемые напряжения;

Р_max – максимальная сжимающая сила;

Р_кр – критическая сила;

U_max – максимальные перемещения в конструкции;

[U] – допускаемые перемещения.

Рисунок 1. На высоту оболочки и величину радиуса отверстия при вершине (рис.1) накладываются ограничения

Проверка ограничений (3) возможна лишь после решения системы дифференциальных уравнений равновесия или движения рассматриваемых конструкций с соответствующими начальными или граничными условиями.

Задача оптимизация конических оболочек ставится следующим образом [4]. Требуется перекрыть окружность радиусом R конической оболочкой, способной выдержать действующие внешние нагрузки Z(a) и X(a), которая при этом будет иметь минимальный вес. На высоту оболочки и величину радиуса отверстия при вершине (рис.1) накладываются ограничения.

При этом вес оболочки – минимизируемая функция

                                                        (4)

где g- удельный вес материала оболочки.

Оптимизируемые параметры такие: угол конусности оболочки Q; координата отверстия при вершине a0; параметры, определяющие толщину оболочки. Система ограничений следующая:

где s_i- интенсивность напряжений, определяемая по формуле

                                                     (5)

Напряжения s_b и s_a вычисляются после решения прямой задачи расчета осесимметричной конической оболочки.

При решении приведенных ниже задач количество узлов сетки N принималось равным 50. Задачи решались при следующих значениях физических и геометрических характеристик оболочки:       Е=2,1·10⁶ кг/см²;

n=0,3; [s]=2000 кг/см²; g=0,0078 кг/см³; R= 100 см.

Оболочка имеет жесткое защемление по обоим контурам. Оптимизация производилась с точностью e=0,5%. Решены следующие задачи:

Задача 1. Произвести оптимизацию оболочки постоянной толщины под равномерно распределенной нормальной нагрузкой

Система ограничений такая:

Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Результаты расчетов

Задача 2. Оболочка постоянной толщины имеет нагрузку Z=10×sinQ кг/см²;

Х=10×cosQ кг/см². Остальные параметры те же, что и в задаче 1. Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Результаты расчетов

Задача 3. Оболочка линейно-переменной толщины находится под нагрузкой

Толщина оболочки определяется по формуле

                                                    (6)

Ограничения следующие:

Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Таблица 3.

Результаты расчетов

Задача 4. Определить минимальный вес оболочки линейно-переменной толщины под нагрузкой Параметры и ограничения, как в задаче 3. Результаты даны в таблице 4.

Таблица 4.

Результаты

Задача 5. Оптимизировать коническую оболочку, толщина которой меняется по закону

                                   (7)

Компоненты нагрузки имеют значения: . Ограничения такие:

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

Таблица 5

Результаты расчетов

Кривые s_i(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся на рис. 2.

Рисунок 2. Кривые s_i(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся

Задача 6. Оптимизировать коническую оболочку, с толщиной переменной, определяемой по формуле (7), под нагрузкой

Результаты расчетов приведены в таблице 6.

Таблица 6.

Результаты расчетов

Кривые si(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся на рис. 3.

Рисунок 3. Кривые si(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся

Задача 6. Оптимизировать коническую оболочку, с толщиной переменной, определяемой по формуле (7), под нагрузкой

Результаты расчетов приведены в табл. 7.

Таблица 7.

Результаты расчетов

Результаты вычислительных экспериментов по оптимизации осесимметричных усеченных коническую оболочку свидетельствует о том, что все найденные минимумы целевых функции находились на грани прочности и устойчивости, тогда как значения их весов значительно отличаются. Иначе говоря, обе исследуемые конструкции, обладая одинаковым запасом прочности, отличаются более 20%.

Применение для конических оболочек переменной толщины (в виде различных законов h (a)) позволило в ряде случаев снизить вес конструкции ~ 27% по сравнению с оболочками постоянной толщины, что говорит оптимизация целесообразности применения переменной толщины, постановки и решения задач оптимизации при проектировании специальных оболочек минимального веса.

Список литературы:

1. Кабулов В.К., Назиров Ш.А., Якубов С.Х. Алгоритмизация решения оптимизационных задач. – Ташкент: Фан,  2008. – 204 с.
2. Nazirov Sh.A., Yakubov S.H. Structural complex configuration plate mathematical modeling and optimization // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER), Vol.2, Issue.5, Sept.-Okt.2012.- pp.2986-2991.
3. Shodmonkul Nazirov, Sabir Yakubov. Automation Engineering Design of Structures and Facilities // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER) Vol.2, Issue.5, Sept.-Okt.2012. – pp. 2992-2997.
4. Yakubov S. H. Models and algorithms for decision making in computer-aided design engineering for constructions and buildings// Proceedings of Eleventh International Conference on Application of Fuzzy Systems and Soft Computing (Paris, France, September 2-3, 2014), «ICAFS – 2014», b – Quadrat Verlag, Paris, 2014.- pp. 111-118.