Дифракция плоской продольной гармонической волны на препятствие квадратного сечения в сплошной упругой среде

АННОТАЦИЯ

В данной работе решается задача дифракции упругих волн на препятствии квадратного сечения в упругой среде с помощью метода компенсирующих нагрузок. Решение представляется в виде суммы двух решений-основного и компенсирующего.  

ABSTRACT

In this paper, we solve the problem of diffraction of elastic waves by a square obstacle in an elastic medium using the method of compensating loads. The decision is presented as the sum of two decisions - the main one and the compensating one.

Ключевые слова: Дифракция упругих волн, упругая среда, напряженное состояние, продольные и поперечные волны.

Keywords:  Diffraction of elastic waves, elastic medium, stress state, longitudinal and transverse waves.

Рассмотрим приложение метода компенсирующих нагрузок [1] к решению задачи о дифракции упругих волн на препятствии квадратного сечения в упругой среде. Сущность метода заключается в том, что заданная область, заменяется расширенной областью, как правило, неограниченной. Решение представляется в виде суммы двух решений-основного и компенсирующего. Основное решение удовлетворяет дифференциальным уравнениям задачи, граничным условиям для расширенной области и особенностям задачи, связанным с характером приложенных нагрузок. Компенсирующие решение удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи и совместно с основным решением-граничным условиям на контуре заданной области. Как правило, компенсирующее решение представляет собой результат воздействия некоторых нагрузок, специальным образом подобранных и расположенных вне заданной области.

Дифференциальные уравнения, описывающие напряженное состояние упругой среды при дифракции волн на препятствиях сводится к системе двух уравнений Гельмгольца относительно запаздывающих потенциалов φ и ψ: 

                                                              (1)

где      C₁ и С₂ - скорость распространения продольных и поперечных волн в упругой сплошной среде, ω – круговая частота колебаний.

Падающее возмущение, которое мы называем здесь основным решением, представляет собой плоскую волну:

   (2)

Решение (1) симметрично относительно оси X и обратно- симметрично относительно оси Y, поэтому его можно разбить на 4 группы, каждая из которых имеет один и тот же вид во всех 4-х контактах системы координат. Представляя каждую из групп в виде ряда, получаем:

  (3)

Компенсирующее решение должно удовлетворять принципу излучения Зоммерфельда, применительно к дифракционным задачам. Это решение также представляется в виде продольного и поперечного запаздывающих потенциалов, разделенных на 4 группы аналогично (3):

                                    (4)

где

       (5)

  (6)

                 (7)

                  (8)

Задача решается в линейной постановке, решение строится для каждой из 4-х групп (3) и (4), а окончательный результат представляет собой сумму отдельных решений.

Неизвестные коэффициенты в рядах (5) - (8) находятся из граничных условий на контуре полости. Поскольку контур полости не является одной из координатных линий, можно лишь приближенно удовлетворить граничным условиям. Граничные условия удовлетворяются только в отдельных точках контура. Если на одной стороне квадрата берется n точек, то вследствие симметрии каждой из групп потенциалов (5) - (8) граничные условия будут точно удовлетворены в 4n точек.

На практике встречаются препятствия квадратного сечения с острыми углами: как правило, углы квадратов бывают закругленными. С целью учета влияния таких закруглений угол квадрата заменяется некоторой сопрягающей окружностью радиуса r₁. В центре этой окружности прикладывается компенсирующее решение в виде потенциалов (для первого угла):

   (3.2.9)

Неизвестные коэффициенты C₀₁, C₁₁, D₁₁ определяются из граничных условий на участке сопряжения. При этом в падающей волне (3) ограничиваемся только 2-мя членами ряда:

                          (10)

Введенные таким образом дополнительные компенсирующие решения учитываются в дальнейшем при уточнении неизвестных коэффициентов А_n и B_n. Подробно вся методика построения решения рассматривается на конкретных задачах.

Дифракция упругих волн на абсолютно-жестком закрепленном включении в сплошной упругой среде. Для этого случая граничные условия заключаются в равенстве нулю смещений на границе препятствия:

                      (11)

На каждой из сторон квадрата выбираем 3 точки, в которых граничные условия удовлетворяются точно (j=M,N,P; K=0,1,2 ).

В каждой группе дополнительных потенциалов (5) - (8) получаем 6 уравнений для определения 6-ти неизвестных коэффициентов.

Система этих уравнений имеет вид (для каждого ):

                                          (12)

После того, как определены коэффициенты А и В переходим к определению потенциалов (9). С этой целью падающему возмущению (10) добавляем уже известные дополнительные потенциалы (5) - (8). Воспользовавшись формулами сложения для цилиндрических функций, переходим от начала координат, совпадающего с центром квадрата, к началу координат, совпадающему с центром сопрягающей окружности, оставляя в получающихся разложениях по два члена ряда:

  (13)

Удовлетворяя граничным условиям (11) на контуре сопрягающей окружности, получаем выражения для неизвестных коэффициентов С₀₁, С₁₁, D₁₁:

                                      (14)

После того, как определены потенциалы (9), определяются уточненные значения коэффициентов A_k+4n, B_k+4n для чего потенциалы (9) переводятся к началу координат, совпадающему с центром квадрата, и рассматриваются при решении уравнений (12) как дополнительная нагрузка. Используя формулы сложения для цилиндрических функций, переходим к решению (9) в начале координат, совпадающем с центром квадрата:

                    (15)

Формулы (15) имеют не совсем обычный для формул сложения вид, поэтому ниже приводится их подробный вывод применительно к угловой точке (Рис.1)

                                                 (16)

аналогично:

где

В формулах (16) r→r₀^a, обозначения углов ясны из рисунка 1.

Рисунок 1. Зависимость контура напряжения от волновых чисел

Все выкладки, проделанные выше касались учета влияния вершины квадрата О₁. При рассмотрении влияния вершин О₂, О₃, О₄ учитывается симметрия относительно осей X или Y (в каждом конкретном случае). Только после того, как в центре О приложены (как дополнительные) потенциалы от всех 4-х вершин, можно вычислить второе приближение для коэффициентов A_k+4n, B_k+4n.

Для вычисления второго приближения необходимо, как уже указывалось, перейти к началу координат, совпадающему с центром квадрата О. При этом следует сразу учесть влияние О₄ и оставить в окончательном разложении члены симметричные относительно оси Х для φ и обратно симметричные относительно оси Y – для ψ удвоив их.

Окончательный результат имеет вид:

                                  (22)

При необходимости весь расчет можно повторить, т.е. в начале найти второе приближение для коэффициентов C₀, C₁, C₂, D₁, D₂  и потом, перейдя к началу О, третье приближение для коэффициентов A_k+4n, B_k+4n.

Список литературы:

1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев.: Наукова думка, 1968-887с.
2. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан,  1992 - 250с.
3. Салиева О.К. Шарипова Н.Р. Собственные крутильные колебания цилиндрической оболочки в упругой среде. UNIVERSUM: «Технические науки», Научный журнал, Выпуск 12(69), 2019 г., декабрь,  часть 1, стр.68-71