Дифракция плоской продольной гармонической волны на препятствие квадратного сечения в сплошной упругой среде

Own diffraction of a plane longitudinal harmonic wave by an obstacle of a square section in a continuous elastic medium
Цитировать:
Салиева О.К., Эргашев Б.Т., Шарипова Н.Р. Дифракция плоской продольной гармонической волны на препятствие квадратного сечения в сплошной упругой среде // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 12(81). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/11017 (дата обращения: 24.06.2021).
Прочитать статью:

 

АННОТАЦИЯ

В данной работе решается задача дифракции упругих волн на препятствии квадратного сечения в упругой среде с помощью метода компенсирующих нагрузок. Решение представляется в виде суммы двух решений-основного и компенсирующего.  

ABSTRACT

In this paper, we solve the problem of diffraction of elastic waves by a square obstacle in an elastic medium using the method of compensating loads. The decision is presented as the sum of two decisions - the main one and the compensating one.

 

Ключевые слова: Дифракция упругих волн, упругая среда, напряженное состояние, продольные и поперечные волны.

Keywords:  Diffraction of elastic waves, elastic medium, stress state, longitudinal and transverse waves.

 

Рассмотрим приложение метода компенсирующих нагрузок [1] к решению задачи о дифракции упругих волн на препятствии квадратного сечения в упругой среде. Сущность метода заключается в том, что заданная область, заменяется расширенной областью, как правило, неограниченной. Решение представляется в виде суммы двух решений-основного и компенсирующего. Основное решение удовлетворяет дифференциальным уравнениям задачи, граничным условиям для расширенной области и особенностям задачи, связанным с характером приложенных нагрузок. Компенсирующие решение удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи и совместно с основным решением-граничным условиям на контуре заданной области. Как правило, компенсирующее решение представляет собой результат воздействия некоторых нагрузок, специальным образом подобранных и расположенных вне заданной области.

Дифференциальные уравнения, описывающие напряженное состояние упругой среды при дифракции волн на препятствиях сводится к системе двух уравнений Гельмгольца относительно запаздывающих потенциалов φ и ψ: 

                                                              (1)

где      C1 и С2 - скорость распространения продольных и поперечных волн в упругой сплошной среде, ω – круговая частота колебаний.

Падающее возмущение, которое мы называем здесь основным решением, представляет собой плоскую волну:

   (2)

Решение (1) симметрично относительно оси X и обратно- симметрично относительно оси Y, поэтому его можно разбить на 4 группы, каждая из которых имеет один и тот же вид во всех 4-х контактах системы координат. Представляя каждую из групп в виде ряда, получаем:

  (3)

Компенсирующее решение должно удовлетворять принципу излучения Зоммерфельда, применительно к дифракционным задачам. Это решение также представляется в виде продольного и поперечного запаздывающих потенциалов, разделенных на 4 группы аналогично (3):

                                    (4)

где

       (5)

  (6)

                 (7)

                  (8)

Задача решается в линейной постановке, решение строится для каждой из 4-х групп (3) и (4), а окончательный результат представляет собой сумму отдельных решений.

Неизвестные коэффициенты в рядах (5) - (8) находятся из граничных условий на контуре полости. Поскольку контур полости не является одной из координатных линий, можно лишь приближенно удовлетворить граничным условиям. Граничные условия удовлетворяются только в отдельных точках контура. Если на одной стороне квадрата берется n точек, то вследствие симметрии каждой из групп потенциалов (5) - (8) граничные условия будут точно удовлетворены в 4n точек.

На практике встречаются препятствия квадратного сечения с острыми углами: как правило, углы квадратов бывают закругленными. С целью учета влияния таких закруглений угол квадрата заменяется некоторой сопрягающей окружностью радиуса r1. В центре этой окружности прикладывается компенсирующее решение в виде потенциалов (для первого угла):

   (3.2.9)

Неизвестные коэффициенты C01, C11, D11 определяются из граничных условий на участке сопряжения. При этом в падающей волне (3) ограничиваемся только 2-мя членами ряда:

                          (10)

Введенные таким образом дополнительные компенсирующие решения учитываются в дальнейшем при уточнении неизвестных коэффициентов Аn и Bn. Подробно вся методика построения решения рассматривается на конкретных задачах.

Дифракция упругих волн на абсолютно-жестком закрепленном включении в сплошной упругой среде. Для этого случая граничные условия заключаются в равенстве нулю смещений на границе препятствия:

                      (11)

На каждой из сторон квадрата выбираем 3 точки, в которых граничные условия удовлетворяются точно (j=M,N,P; K=0,1,2 ).

В каждой группе дополнительных потенциалов (5) - (8) получаем 6 уравнений для определения 6-ти неизвестных коэффициентов.

Система этих уравнений имеет вид (для каждого ):

                                          (12)

После того, как определены коэффициенты А и В переходим к определению потенциалов (9). С этой целью падающему возмущению (10) добавляем уже известные дополнительные потенциалы (5) - (8). Воспользовавшись формулами сложения для цилиндрических функций, переходим от начала координат, совпадающего с центром квадрата, к началу координат, совпадающему с центром сопрягающей окружности, оставляя в получающихся разложениях по два члена ряда:

  (13)

Удовлетворяя граничным условиям (11) на контуре сопрягающей окружности, получаем выражения для неизвестных коэффициентов С01, С11, D11:

                                      (14)

После того, как определены потенциалы (9), определяются уточненные значения коэффициентов Ak+4n, Bk+4n для чего потенциалы (9) переводятся к началу координат, совпадающему с центром квадрата, и рассматриваются при решении уравнений (12) как дополнительная нагрузка. Используя формулы сложения для цилиндрических функций, переходим к решению (9) в начале координат, совпадающем с центром квадрата:

                    (15)

Формулы (15) имеют не совсем обычный для формул сложения вид, поэтому ниже приводится их подробный вывод применительно к угловой точке (Рис.1)

                                                 (16)

аналогично:

где

В формулах (16) r→r0a, обозначения углов ясны из рисунка 1.

 

Рисунок 1. Зависимость контура напряжения от волновых чисел

 

Все выкладки, проделанные выше касались учета влияния вершины квадрата О1. При рассмотрении влияния вершин О2, О3, О4 учитывается симметрия относительно осей X или Y (в каждом конкретном случае). Только после того, как в центре О приложены (как дополнительные) потенциалы от всех 4-х вершин, можно вычислить второе приближение для коэффициентов Ak+4n, Bk+4n.

Для вычисления второго приближения необходимо, как уже указывалось, перейти к началу координат, совпадающему с центром квадрата О. При этом следует сразу учесть влияние О4 и оставить в окончательном разложении члены симметричные относительно оси Х для φ и обратно симметричные относительно оси Y – для ψ удвоив их.

Окончательный результат имеет вид:

                                  (22)

При необходимости весь расчет можно повторить, т.е. в начале найти второе приближение для коэффициентов C0, C1, C2, D1, D2  и потом, перейдя к началу О, третье приближение для коэффициентов Ak+4n, Bk+4n.

 

Список литературы:

  1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев.: Наукова думка, 1968-887с.
  2. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан,  1992 - 250с.
  3. Салиева О.К. Шарипова Н.Р. Собственные крутильные колебания цилиндрической оболочки в упругой среде. UNIVERSUM: «Технические науки», Научный журнал, Выпуск 12(69), 2019 г., декабрь,  часть 1, стр.68-71
Информация об авторах

канд. техн. наук, доцент, Бухарский инженерно-технологический институт, Узбекистан, г. Бухара

candidate of technical Sciences, associate Professor Bukhara engineering and technological Institute, Uzbekistan, Bukhara

старший преподаватель Бухарский инженерно-технологический институт, Узбекистан, г. Бухара

Senior Lecturer Bukhara engineering and technological Institute, Uzbekistan, Bukhara

ассистент, Бухарский инженерно-технологический институт, Узбекистан, г. Бухара

Assistant, Bukhara engineering and technological Institute, Uzbekistan, Bukhara

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), регистрационный номер ЭЛ №ФС77-54434 от 17.06.2013
Учредитель журнала - ООО «МЦНО»
Главный редактор - Ахметов Сайранбек Махсутович.
Top