Анализ влияния геопотенциала земли на траекторию движения космического тела

АННОТАЦИЯ

В данной статье приводится анализ влияния гравитационных и негравитационных сил на космический аппарат при движении по эллиптической орбите. Получены выражения зональных и тессеральных гармоник геопотенциала Земли на основе частных производных по радиусу вектору. Дифференциальные уравнения возмущенного движения космического тела, учитывающие влияние Луны и Солнца, описывается в работе. Действие атмосферного сопротивления на спутник ERS1 оценивается на основе численных экспериментов. Отклонение наблюденных и вычисленных значений координат получены на основе наблюдений, выполненных на измерительном комплексе “Майданак”. Вычислены топоцентрические расстояния ERS2 на суточном интервале в зависимости от зональных гармоник высоко порядка (J₁₉ )_. Разработанную программу дифференциального уравнения возмущенного движения предлагается использовать при прогнозировании траектории движения космического тела на территории Республики Узбекистан.

ABSTRACT

This article analyzes the results of the effects of gravitational and non-gravitational forces on a spacecraft while moving in an elliptical orbit. The values of zonal and tesseral harmonics of the Earth's geopotential are derived on the basis of partial derivatives with respect to the radius vector. Expressions are obtained for the differential equation of the perturbed motion of a celestial body, taking into account the influence of the Moon and the Sun. The effect of atmospheric drag on the ERS1 satellite is estimated based on numerical experiments. The deviations of the observed and calculated values of coordinates were obtained on the basis of observations carried out at the Maidanak observatory. The topocentric distances of ERS2 are calculated on a daily interval as a function of high-order zonal harmonics (J₁₉). The developed program of the differential equation of the disturbed motion is proposed to be used when predicting the trajectory of a space body on the territory of the Republic of Uzbekistan.

Ключевые слова: гравитационный потенциал, влияние Луны и Солнца, атмосферное сопротивление, световое давление, частные производные.

Keywords: gravitational potential, the influence of the Moon and the Sun, atmospheric resistance, light pressure, partial derivatives.

Траектория движения космического тела испытывает гравитационное притяжение центрального тела и негравитационное влияние атмосферы. Это приводит к тому, что кеплеровские элементы орбиты с течением времени меняются как по угловым, так и по линейным параметрам [1,3]. Естественно, такую орбиту следует уточнять или корректировать периодически через определенные промежутки времени, учитывая все факторы, действующие на спутник. Известно, что равнодействующая сила уменьшается по мере удаления объекта от поверхности Земли. На низких высотах порядка 500-1000 км сопротивление атмосферы оказывает существенное влияние на орбиту. Значительно меньшее воздействие испытывает спутник от Солнца и Луны [6]. Для прогнозирования траектории движения спутника целесообразно использовать разложение геопотенциала по сферическим функциям

   (1)

где  fM - произведение массы Земли на гравитационную постоянную; a_e  - экваториальный радиус Земли; C_nm и D_nm - безразмерные эмпирические коэффициенты разложения; r.j и l - геоцентрический радиус, широта, и долгота; P_nm (x) - присоединенные функции Лежандра.

Первые полиномы Лежандра имеют вид: P₀₀ (x) = 1; P₁₀ (x) = x; P₂₀ (x) = 3/2 x ² - 1/2; P₃₀ (x) = 5/2 x ³ - 3/2 x ²; P₄₀ (x) = 1/8(35x ⁴ - 30x ² + 3).

Наибольшее значение имеет коэффициент J₂, характеризующий сжатие земного эллипсоида [8].

Дифференциальные уравнения невозмущенного и возмущенного движения имеют вид

                            (2)

                            (3)

                        (4)

где ,, , - возмущения от Земли, Луны и Солнца, атмосферного торможения и светового давления.

Для того чтобы определить значения правых частей выражения (4), необходимо найти частные производные зональных и тессеральных гармоник по радиусу вектору. Общий вид уравнения геопотенциала можно записать следующим образом.

                            (5)

Общая формула возмущений по зональным гармоникам имеет вид

Полагая

                            (8)

получим частные производные зональных гармоник

,            (9)

,            (10)

 , (11)

где  

С учетом (9) - (11) получим

 .           (12)

Для тессеральных гармоник запишем следующее выражение

Частные производные получаются в виде

 .          (14)

Окончательно выражение будет иметь вид

,                      (15)

где

=                     (16)

Лунно-солнечное притяжение можно записать так

,                    (17)

                     (18)

                  (19)

Частные производные  выразятся через соотношения

                    (20)

              (21)

где

              (22)

                        (23)

Атмосферное сопротивление и световое давление можно представить без промежуточных преобразований

,                     (24)

                     (25)

Выведенные величины играют важную роль при вычислении точных координат космического тела, полученных численными или аналитическими методами [4,11]. Аналитическое решение уравнения движения очень сложно, т.к. имеется определенное ограничение, а численные методы наиболее полно учитывают влияние сил, действующих на спутник [10]. Поэтому они широко применяются в небесной механике и космической геодезии. Любое численное решение строится последовательным экстраполированием, позволяющим варьировать одновременно порядок метода, длину основного шага интегрирования и количество этапов вычислений [7]. Одинаковой точности вычислений можно добиться, увеличивая порядок метода, либо увеличивая число этапов вычислений или уменьшая длину шага. На практике, влияние ошибки округления растет с увеличением порядка экстраполяции. Интегральная кривая заменяется ломаной, выбранный шаг должен быть достаточно малым, обеспечивая минимальное расхождение между действительной кривой и ломаной линией. Слишком малый шаг может ухудшить решение вследствие неизбежных ошибок округлений. Выбор оптимального шага интегрирования выполняется в результате специальных исследований. Как правило, в целях поиска и обнаружения объекта можно ограничиться разностями четвертого порядка. Например, в методе Рунге-Кутта не требуется никакой информации кроме начальных условий. Правые части уравнений должны вычисляться со всей возможной точностью, но существует такое предельное значение t_n, что при | t | > | t_n | точность решения становится недостаточной. Необходимая точность является следствием не только методических ошибок при построении приближенного решения, но и следствием ошибок начальных данных, правых частей и ошибок округлений [5]. Однако численные решения уравнений движения небесного тела нашли применение, используя одношаговые и многошаговые методы. В задачах прогнозирования движения космических тел наибольшее распространение получил одношаговый метод Рунге-Кутта четвертого порядка [9]. Это обстоятельство, прежде всего, делает метод популярным ввиду его простоты. Но, долгосрочное прогнозирование с использованием четвертого порядка весьма ограничено, поскольку не дает необходимой точности вычислений, либо приводит к накоплению ошибок. В таких случаях алгоритм Эверхарта является наиболее эффективным, в котором контроль осуществляется по величине последнего члена в разложении по степеням независимой переменной. Короткий интервал дуги в методе Рунге-Кутта считается наиболее оптимальным, т.к. при вычислении значений искомых функций требуется вычислять несколько значений правых частей, что достигается большей точности, чем разностные методы.

На примере европейского дистанционного спутника ERS1 выполнено сравнение наблюденных координат с вычисленными значениями (О-С, observation minus calculation). Наблюдения выполнены на территории Китабской широтной станции. В качестве эфемеридных значений азимута (А) и высоты (h) спутника были использованы данные центра управления полетами (ЦУП, Россия). Вычисленные разности топоцентрических координат между наблюденными и вычисленными координатами имеют определенный тренд, связанный с точностью фиксации положения объекта, а также методикой обработки результатов измерений (рис.1).

Рисунок 1. Значения разностей по азимуту и высоте между наблюденными и вычисленными данными для ИСЗ ERS-1

Анализ разности значений наблюденных и вычисленных показывает, точность наблюдения меняется с течением времени. Причина изменения обусловлена собственным движением спутника и влиянием незначительных поправок к осям вращения алидады азимутального зеркального телескопа (АЗТ-24), т.е. имеется постоянная систематическая поправка, которую необходимо определить метрологическим способом.

Разработана алгоритмическая программа по вычислению топоцентрических расстояний, которая учитывает величины зональных гармоник до J₁₉ и сопротивление  атмосферы (рис.2). Численное интегрирование дифференциального уравнения возмущенного движения ERS1 производилось на основе наблюдений, выполненных в Китабе (Узбекистан) на интервале с 2.09.1999 по 17.09.1999. Уравнения движения космического аппарата интегрировались численным методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Рисунок 2. Влияние атмосферы на коэффициенты зональных гармоник

Разработанная программа является более точной и корректной для спутников находящихся на высоте 1000км. Это означает, чем выше степень зональных гармоник, тем точнее определяется расстояние до спутника. Если же разработать частные производные по нормали и трансверсали, то это приведет к более точным вычислениям координат на низких орбитах.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что влияние геопотенциала убывает по мере удаления космического тела, а действие атмосферы распространяется до 1000км от поверхности Земли. Разработанную программу можно использовать во время оптических наблюдений космических тел на территории Республики Узбекистан [2].

Список литературы:

1. Абалакин В.К. Основы эфемеридной астрономии. 1979.
2. Арсланов Р.А., Мирмахмудов Э.Р., Расулов А.Р. О некоторых задачах в области космических исследований Узбекистана /Космические исследования, технологии и конверсия-II: Cб. статей. – Ташкент, 1997. С.17-20.
3. Батраков Ю.В., Горель Г.К., Гудкова Л.А., Чернетенко Ю.А. Результаты обработки Николаевских наблюдений избранных малых планет. Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы. Всероссийская конференция с международным участием. ИТА  РАН, 26-28 ноября 1996. С.-Петербург.
4. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.”Наука”.1984.
5. Идельсон Н.И. Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений М. 1947.
6. Краснорылов И.И., Плахов Ю.В. Основы космической геодезии. М.”Недра”, 1976.
7. Куликов Д.К. Интегрирование уравнений движения небесной механики на ЭВМ по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага. Бюл. ИТА.1960. т.7. № 10.0.770-797.
8. Kyбанцев К.К., Миpмахмудов Э.Р. Численное интегрирование дифференциального уравнения движения космического аппарата " Лагеос-1" и "ERS2" с учетом геопотенциала J2. Проблемы механики. Ташкент: “Фан”. 2000, т.2. С.54-58.
9. Мячин В.Ф., Сизова О.А. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным методом Тейлора-Стеффенсена. Бюл. ИТА. 1970. т.12. № 5(138). C.389-400.
10. Нестеров В.В. Основные алгоритмы спутниковой геодинамики. М. 2001.
11. Таратынова Г.П. Методы численного решения уравнений в конечных разностях. Искусственные спутники Земли. 1960. Т.4.