О существовании наилучших кубатурных формул общего вида над пространством С.Л. Соболева W(m)2 (Tn)

АННОТАЦИЯ

Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для n- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.

ABSTRACT

The main result of this paper is Theorem 1, presented below, which states that for an n-dimensional torus there exist in a number of cases the best cubature formulas in space. Its periodic analogue is also established, Theorem 2.

Ключевые слова: квадратурные формулы, функционал ошибок, пространство , последовательность натуральных чисел.

Keywords: quadrature formulas, error functional, space, sequence of natural numbers.

Задача нахождения квадратурных формул, имеющих минимальную норму функционалов ошибок в пространствах  среди формул с заданным количеством узлов, была рассмотрена в работе [1]. Эти формулы в нашей статье назовем наилучшими. Обстоятельный обзор исследований по наилучшим квадратурным формулам дан в работах [2], [3].

Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для n- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.

Методы доказательств этих теорем отличаются от методов доказательств сходных результатов для одномерного случая [3], использованием рефлексивной пространств и свойств обобщенных функций  с точечными носителями. Пусть m,n,r – числа, натуральные,   - n-мерное евклидово пространство;  - n – мерный тор т.е. ограниченная область в ; P – функция суммируемая в ;  - множество         финитных бесконечно дифференцируемых в  с функций;  - обозначает векторы из  с целыми неотрицательными компонентами;   если  - функция или обобщенная функция[6],

Определение 1.

Пространство  определяется как линейное нормированное пространство, состоящее из функций , для которых введена следующая норма[4,5]:

где

                                                           (1)

а производные в (1) понимается как обобщенные производные:

линейное нормированное пространство, индуцированное на функциях из  полунормой (1);  - пространства, сопряженные к .

Рассматриваем кубатурные формулы общего вида

,                                                               (2)

где                             постоянные,  - точки из  с функционалом ошибок :

                                                            (3)

Через  обозначим совокупность функционалов  вида (3) удовлетворяющих условиям  при . Ниже считаем число  таким, что  - не пусто. Положим

.

Замечание. Величина  оценена в работе [8], где было показано, что при     

где  - константа, не зависящая от , .

Определение 2. Кубатурная формула (2) с функционалом ошибок  называется наилучшей, если

.

Теорема 1.  Наилучшие кубатурные формулы общего вида (2), над пространством  существуют, если  - не целое число.

Доказательство теоремы 1.

В ходе доказательства теоремы 1 придерживаемся изложенными методиками, которые приведены в работе [8,9].

Из определения  следует, что при всех  существуют функционала 

при

 - постоянные;  - точки из ) такие, что

                                              (4)

Так как область  ограниченная, то существует последовательность натуральных чисел

и точки  - такие, что при

                                                   (5)

Положим

Ниже используем известные свойства рефлексивных пространств, связанных со слабой сходимостью функционалов в этих пространствах, доказательства которых приведены в работах [2], а также рефлективностью [6,7].

Пространство  рефлексивное как пространство сопряженное к рефлексивному. Так как  ограничена в рефлексивном пространстве , то из нее можно извлечь под последовательность  со следующими свойствами: существует функционал  - такой, что для любого элемента  из  выполняется:

                                                      (6)

и

                                   (7)

Из формулы (6) вытекает, что для любой

                                                     (8)

формулы (7) и (4) дают:

                                                         (9)

Пусть  - функционалы:

 при                                      (10)

                                                              (11)

Из теоремы Соболева о вложении  в пространство непрерывных функций следует, что . Отсюда, из (11) и принадлежности   к  вытекает что [8,9].

Формулы (5), (8) и (11) показывают, что

 ,                                                      (12)

где    .

Докажем, что  представима в виде

,                                     (13)

где    - постоянные,  - обобщенная функция Дирака. Если (13) справедливо, то из него и из равенств (10) и (11) вытекает, что .

Отсюда и из (9) будет следовать теорема 1.

Определение 2. Кубатурная формула с функционалом ошибок  - называется периодически наилучшей, если .

Теорема 2. Периодически наилучшие кубатурные формулы общего вида над пространством  - существует, если  - не целое.

Данная теорема доказывается аналогично теореме 1.[10]

Список литературы:

1.  Жалолов О.И. Верхная оценка нормы функционала погрешности кубатурной формуы типа Эрмита в пространстве С.Л.Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. -№3,2017. С.70-78.

2.  Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности оптимальных интерполяционных формул в пространстве периодических функций С.Л.Собовева . Проблемы вычислительной и прикладной математики. // Научный журнал. №2, 2015. С.-53-58.

3.  Жалолов О.И.  Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной формуле в пространстве  //Молодой учёный. № 13 (117),2016.

4.  Жалолов О.И., Боборахимова М. И. Алгоритм построения дискретного аналога одного оператора // Молодой учёный. № 11 (145), 2017.

5.  Жалолов О.И, И.Ф. Жалолов. Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле // Молодой учёный. № 10 (114), 2016.

6.  Жалолов О.И, Ибрагимов С.И., Абдуллаев Б.Р. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор- пространством Соболева // WORLD Science "Topical researches of the World science" —June 20 – 21, 2015, —Dubai, UAE).

7.  Жалолов О.И, Косимов А.А. Оптимальные по порядку сходимости  весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве  // Узбекский математический журнал.  №3, 2015. С.24- 33.

8.  Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// Academy. 2020. № 6(57). C9.

9.  Никольский С.М. Квадратурные формулы. М., «Наука», 1979, 254с.

10.  Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., «Наука», 1974. 808c.

11.  Хаятов, Х. У. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева// Молодой ученый. — 2016. — № 13 (117). — С. 58-60.

12.  Хаятов Х.У. Некоторые вопросы теоремы вложения в классах периодических обобщенных функций в пространств // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016.  — № 4 (32). — С. 51-57.

13.  Хаятов Х.У., Очилова Н.Т. Об одном погрешности весовых кубатурных формул в Пространстве  // Сибирский федеральный университет. — 2011.

14.  Хаятов Х.У. Об одной погрешности весовых кубатурных формул в пространстве // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016.  — № 4 (32). — С. 58-62.

15.  Шадиметов ХМ., Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности и построение оптимальных по порядку сходимости весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. №1, 2016. С.100-106.

16.  Khaitov U.Kh.. The level of Information and communication technologies in general secondary schools // Solid State Technology. USA-2020. Volume: 63 Issue: 6. P. 478-489.