доцент, Бухарский государственный университет, Республика Узбекистан, г. Бухара
О существовании наилучших кубатурных формул общего вида над пространством С.Л. Соболева W(m)2 (Tn)
АННОТАЦИЯ
Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для n- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.
ABSTRACT
The main result of this paper is Theorem 1, presented below, which states that for an n-dimensional torus there exist in a number of cases the best cubature formulas in space. Its periodic analogue is also established, Theorem 2.
Ключевые слова: квадратурные формулы, функционал ошибок, пространство , последовательность натуральных чисел.
Keywords: quadrature formulas, error functional, space, sequence of natural numbers.
Задача нахождения квадратурных формул, имеющих минимальную норму функционалов ошибок в пространствах среди формул с заданным количеством узлов, была рассмотрена в работе [1]. Эти формулы в нашей статье назовем наилучшими. Обстоятельный обзор исследований по наилучшим квадратурным формулам дан в работах [2], [3].
Основным результатом настоящей работы является теорема 1, приводимая ниже, утверждающая для n- мерного тора существует в ряде случаев наилучшие кубатурные формулы в пространстве . Устанавливается также ее периодический аналог теорема 2.
Методы доказательств этих теорем отличаются от методов доказательств сходных результатов для одномерного случая [3], использованием рефлексивной пространств и свойств обобщенных функций с точечными носителями. Пусть m,n,r – числа, натуральные,
- n-мерное евклидово пространство;
- n – мерный тор т.е. ограниченная область в
; P – функция суммируемая в
;
- множество финитных бесконечно дифференцируемых в
с функций;
- обозначает векторы из
с целыми неотрицательными компонентами;
если
- функция или обобщенная функция[6],
Определение 1.
Пространство определяется как линейное нормированное пространство, состоящее из функций
, для которых введена следующая норма[4,5]:
где
(1)
а производные в (1) понимается как обобщенные производные:
линейное нормированное пространство, индуцированное на функциях из
полунормой (1);
- пространства, сопряженные к
.
Рассматриваем кубатурные формулы общего вида
, (2)
где
постоянные,
- точки из
с функционалом ошибок
:
(3)
Через обозначим совокупность функционалов
вида (3) удовлетворяющих условиям
при
. Ниже считаем число
таким, что
- не пусто. Положим
.
Замечание. Величина оценена в работе [8], где было показано, что при
где - константа, не зависящая от
,
.
Определение 2. Кубатурная формула (2) с функционалом ошибок называется наилучшей, если
.
Теорема 1. Наилучшие кубатурные формулы общего вида (2), над пространством существуют, если
- не целое число.
Доказательство теоремы 1.
В ходе доказательства теоремы 1 придерживаемся изложенными методиками, которые приведены в работе [8,9].
Из определения следует, что при всех
существуют функционала
при
- постоянные;
- точки из
) такие, что
(4)
Так как область ограниченная, то существует последовательность натуральных чисел
и точки - такие, что при
(5)
Положим
Ниже используем известные свойства рефлексивных пространств, связанных со слабой сходимостью функционалов в этих пространствах, доказательства которых приведены в работах [2], а также рефлективностью [6,7].
Пространство рефлексивное как пространство сопряженное к рефлексивному. Так как
ограничена в рефлексивном пространстве
, то из нее можно извлечь под последовательность
со следующими свойствами: существует функционал
- такой, что для любого элемента
из
выполняется:
(6)
и
(7)
Из формулы (6) вытекает, что для любой
(8)
формулы (7) и (4) дают:
(9)
Пусть - функционалы:
при
(10)
(11)
Из теоремы Соболева о вложении в пространство непрерывных функций следует, что
. Отсюда, из (11) и принадлежности
к
вытекает что
[8,9].
Формулы (5), (8) и (11) показывают, что
, (12)
где .
Докажем, что представима в виде
, (13)
где
- постоянные,
- обобщенная функция Дирака. Если (13) справедливо, то из него и из равенств (10) и (11) вытекает, что
.
Отсюда и из (9) будет следовать теорема 1.
Определение 2. Кубатурная формула с функционалом ошибок - называется периодически наилучшей, если
.
Теорема 2. Периодически наилучшие кубатурные формулы общего вида над пространством - существует, если
- не целое.
Данная теорема доказывается аналогично теореме 1.[10]
Список литературы:
1. Жалолов О.И. Верхная оценка нормы функционала погрешности кубатурной формуы типа Эрмита в пространстве С.Л.Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. -№3,2017. С.70-78.
2. Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности оптимальных интерполяционных формул в пространстве периодических функций С.Л.Собовева . Проблемы вычислительной и прикладной математики. // Научный журнал. №2, 2015. С.-53-58.
3. Жалолов О.И. Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной формуле в пространстве //Молодой учёный. № 13 (117),2016.
4. Жалолов О.И., Боборахимова М. И. Алгоритм построения дискретного аналога одного оператора // Молодой учёный. № 11 (145), 2017.
5. Жалолов О.И, И.Ф. Жалолов. Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле // Молодой учёный. № 10 (114), 2016.
6. Жалолов О.И, Ибрагимов С.И., Абдуллаев Б.Р. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор- пространством Соболева // WORLD Science "Topical researches of the World science" —June 20 – 21, 2015, —Dubai, UAE).
7. Жалолов О.И, Косимов А.А. Оптимальные по порядку сходимости весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве // Узбекский математический журнал. №3, 2015. С.24- 33.
8. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// Academy. 2020. № 6(57). C9.
9. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М., «Наука», 1979, 254с.
10. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., «Наука», 1974. 808c.
11. Хаятов, Х. У. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева// Молодой ученый. — 2016. — № 13 (117). — С. 58-60.
12. Хаятов Х.У. Некоторые вопросы теоремы вложения в классах периодических обобщенных функций в пространств // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016. — № 4 (32). — С. 51-57.
13. Хаятов Х.У., Очилова Н.Т. Об одном погрешности весовых кубатурных формул в Пространстве // Сибирский федеральный университет. — 2011.
14. Хаятов Х.У. Об одной погрешности весовых кубатурных формул в пространстве // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии — 2016. — № 4 (32). — С. 58-62.
15. Шадиметов ХМ., Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности и построение оптимальных по порядку сходимости весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве Соболева // Проблемы вычислительной и прикладной математики. Научный журнал. №1, 2016. С.100-106.
16. Khaitov U.Kh.. The level of Information and communication technologies in general secondary schools // Solid State Technology. USA-2020. Volume: 63 Issue: 6. P. 478-489.