Численное решение смешанной задачи, поставленное на векторном волновом уравнении в области с углом

Numerical solution of a mixed problem, posed on a vector wave equation in a domain with an angle
Цитировать:
Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Численное решение смешанной задачи, поставленное на векторном волновом уравнении в области с углом // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 10(79). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10828 (дата обращения: 22.04.2024).
Прочитать статью:

 

АННОТАЦИЯ

Получена априорная оценка в пространстве Соболева решения смешанной задачи для векторного волнового уравнения в угловом пространстве. Получение априорной оценки основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В данной статье построена разностная схема для численного решения смешанной задача для волнового уравнения в области с углом, доказывается её устойчивость.

ABSTRACT

An a priori estimate in the Sobolev space of the solution of the mixed problem for the vector wave equation in angular space is obtained. Obtaining an a priori estimate is based on the construction of a “dissipative energy integral”. In the article a difference scheme for numerical solution of mixed problem for wave equation in wiz corner is constructed. The difference scheme stability is proved.

 

Ключевые слова: смешанная задача, матрица, разностная схема, устойчивость, комплекс, вектор, условия Лопатинский.

Keywords: mixed problem, matrix, difference scheme, stability, complex, vector, Lopatinskiy terms.

 

Математико-физические задачи очень обширны и неразрывно связаны с изучением различных физических, механических, биологических и других процессов. Математико-физические уравнения направлены на изучение трех классических: эллиптических, параболических, гиперболических классов. В тех случаях, когда аналитическое выражение решений математико–физических уравнений найти невозможно, приходится находить их числовые решения. Для уравнения векторной волны в угловой области, относящейся к типу симметричных Т-гиперболических уравнений, программа численного решения смешанной задачи используется при изучении задач механики сплошных сред.

Рассмотрим следующую задачу:

Найти решение уравнение векторной волны

                                                                                   

в среде  

удовлетворяющее при  

                                                                 

при  

                                                                

граничным условиям и

                                                             

начальным условиям.

Здесь -размерные фиксированные комплексные матрицы. В монографии [1] получена априорная оценка решения этих задач. Оценка Априора основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В задачах   полярные координаты  проходят

в области

                                                   

                                                         

                                                        

                                                          

здесь

 эрмитовые матрицы, которые их любые элементы связаны с .

Построим параметрическую разностную схему, аппроксимирующую смешанную задачу .

Для этого произведём замену  в системе  и напишем в следующей форме:

                                          

                                                     

Умножаем системы - на матрицу  слева. Сложим полученные системы и формируем систему:

                      

На рассматриваемой области построим сетку с соответствующими шагами  по осям.

         Введем следующие обозначения:

Теперь мы построим параметрическое разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение :

   

  

da                                 

da                               

da    

Теорема. Предположим, что выполнено ровное условие Лопатинского. Тогда для  разностная схема  будет устойчив при энергетической норме , здесь  

Доказательство.

Вышеперечисленную систему уравнений с правой стороны скалярно умножаем на вектор, который составители состоят из единиц.

здесь  и т.д. Получим уравнения:

Из этих уравнений получаем соотношения

Эту соотношению умножаем на  и сложим по  от 0 до и по  от  до .

Введя обозначение  и принимая во внимание в  получим уравнение

На основе [2] можно доказать неравенство:

А из этого получим соотношение

.

Это полностью доказывает теорему.

В статье показано приближенное решение смешанной задачи поставленного векторного волнового уравнения на угловом пространстве.

 

Список литературы:

  1. Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в координатных областях. Получение априорных оценок для смешанных задач для многомерного волнового уравнения. // Вычислительные технологи. Т.1, № 1,2. 1996, с.13-37, 26-46.
  2. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Использование инновационных технологий на уроках информатики// Наука, техника и образование. 2018.10 (51).С. 28-31.
  3. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Построениe двухмерных графиков на уроках информатики средствами Excel//ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. 2017. №12(30).
  4. Исроилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. 1-қисм.-Тошкент, Ўзбекистон нашриёти, 2003.
  5. Исмоилова М.Н., Имомова Ш.М. Интерполяция функции// ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ 2020. №3(81). Часть 3. С5.
  6. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// ACADEMY. 2020. № 6(57). C9.
  7. Худойберганов М.У. Устойчивость разностных схем для векторного волнового уравнения.//Труды Международной научной конференции. Дифф. урав. частными производными и родственные проблемы анализа и информатики.-Ташкент. 2004, с.305-308.
Информация об авторах

старший преподаватель Бухарского государственного университета, Узбекистан, г. Бухара

Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara

старший преподаватель Бухарского государственного университета, Узбекистан, г. Бухара

Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), регистрационный номер ЭЛ №ФС77-54434 от 17.06.2013
Учредитель журнала - ООО «МЦНО»
Главный редактор - Ахметов Сайранбек Махсутович.
Top