Краткий обзор определения элементов орбит небесных тел в Узбекистане

АННОТАЦИЯ

В данной статье приводится анализ определения орбит небесных тел  методом Ламберта-Гаусса, где основное внимание уделено на получение зависимости между геоцентрическим расстоянием и отношением площади сектора к площади треугольнику. Кратко изложены исследования профессора Субботина по решению уравнения Ламберта и видоизменению методики Гаусса. Отмечается роль сотрудников Ташкентской астрономической обсерватории при создании теории движения малых тел по оптическим наблюдениям. Упоминаются работы в области оптимизации расчетов движения космического тела, выполненных в Ташкентском государственном университете в 1970-1995гг. Введение фиктивной массы центрального тела для вычисления траектории движения описано в данной статье. Определение элементы промежуточной орбиты кометы Энке вблизи перигелия детально анализируется. Предлагается использовать метод промежуточных орбит при вычислении экваториальных координат космических тел.

ABSTRACT

This article analyzes the determination of the orbits of celestial bodies by the Lambert-Gauss method. The main focus of the work is to obtain the relationship between the geocentric distance and the ratio of the sector area to the area of the triangle. The research of Professor Subbotin on the solution of the Lambert equation and modification of the Gauss method is briefly outlined. The role of the staff of the Tashkent Astronomical Observatory in the creation of the theory of motion of small bodies based on optical observations is noted. The work in the field of optimization of calculations of the motion of a space body, carried out at the Tashkent State University in 1970-1995, is mentioned. The introduction of a fictitious mass of the central body for calculating the trajectory of movement is described in this article. The determination of the elements of the intermediate orbit of Comet Encke near the perihelion is analyzed. It is proposed to use the method of intermediate orbits to calculate the equatorial coordinates of small bodies.

Ключевые слова: элементы орбиты, метод Гаусса, уравнение Ламберта, экваториальные координаты, эфемерида, промежуточная траектория.

Keywords: orbital elements, Gauss method, Lambert equation, equatorial coordinates, ephemeris, intermediate trajectory.

Для прогнозирования траектории движения небесного тела необходимо иметь начальные параметры орбиты, которые были разработаны основоположниками классической механики Ньютоном, Галилеем, Кеплером. С помощью этих параметров можно произвести вычисление координат объекта на длительном интервале времени при отсутствии возмущающих факторов. В действительности, на небесные тела действуют гравитационные силы от Солнца и других планет. Поэтому насколько точно будут определены значения исходных данных, настолько долго по времени можно прогнозировать траекторию движения. Однако реальное движение небесного тела будет отличаться от кеплеровской орбиты из-за недостаточности наблюдательных данных и отсутствием точной методики вычисления элементов орбит. Возникает проблема о разработке способов, обеспечивающих минимальное отклонение истинной орбиты относительно оскулирующей. Определению и уточнению элементов орбиты посвящено очень много работ за рубежом и в странах СНГ, но в данной работе приведены некоторые результаты работ в Узбекистане по исследованию знаменитого метода Гаусса и принципа решения системы уравнений Ламберта.

Для определения движения небесного тела нужно знать прямое восхождение и склонение (или же азимут и высоту) объекта, полученных на определенном интервале времени. Каждое такое наблюдение дает возможность записать соотношение:

                                                 (1)

где α, δ – прямое восхождение и склонение, ρ – геоцентрическое расстояние, x, y, z – гелиоцентрические координаты объекта, X,Y,Z – геоцентрические координаты центрального тела.

Классическое определение орбиты по трем наблюдениям распадается на две части: нахождение геоцентрических расстояний и вычисление элементов орбиты по наблюдениям. Решение первой части основана на идее Лагранжа, а вторая была разработана Гауссом. Сферические координаты светила, полученные из наблюдений, дают направляющие косинусы:

                                                (2)

Определение геоцентрических расстояний производится на основе решения системы уравнений:

               (3)

После нахождения экваториальных координат, задача заключается в определении элементов орбиты с целью расчета траектории движения. В 1800 году Гаусс разработал оптимальный метод нахождения расстояний и элементов орбит по угловым измерениям. После многочисленных экспериментов, его метод принимал свою окончательную форму по мере того, как каждый этап испытывался на практике, в результате отпадала надобность пользоваться другими данными и библиографическими источниками. Основное внимание Гаусс уделял на получение зависимости между геоцентрическим расстоянием r и отношением площади сектора к площади треугольнику (n_1, n₂) в первом приближении (рис.1). Для получения во втором и следующих приближениях

Рисунок 1. Схема определения орбиты по отношению площади сектора к треугольнику

предложил производить вычисления бесконечными рядами. Последовавшие затем открытия малых планет дали много разнообразных случаев. Позже, пришли к выводу, что можно внести полезные изменения в методе Гаусса, учитывающие различные варианты наблюдений. Гаусс, разработавший свой метод, указал на возможность иного решения, основанного на употреблении уравнения Ламберта. Одним из инициаторов совершенствования и изменений был профессор М.Ф. Субботин.

В 1922-1930гг. М.Ф. Субботин, работавший директором Ташкентской Астрономической обсерватории (ТАО) и профессором Среднеазиатского государственного университета, видоизменил метод Гаусса для объектов, движущихся по орбитам с большим эксцентриситетом. Хуже дело обстояло с применением уравнения Ламберта к определению орбит планет солнечной системы. М.Ф. Субботин в своих исследованиях начал с новой формы уравнения Ламберта, которая давала возможность совершенно точно и сравнительно просто решать это уравнение относительно большой полуоси. Для  эллиптического движения он преобразовал уравнение Ламберта к виду [8]:

                                 (4)

 Это выражение имеет большое значение для корректного решения уравнения с целью получения практически ощутимых преимуществ по сравнению с методом Гаусса. Уравнение (4) можно представить в следующем виде:

                                       (5)

Для эллиптического движения М.Ф. Субботин вывел следующие формулы:

,                                      (6)

                       (7)

,                                   (8)

где h  -  отношение площади треугольника к площади сектора.

Практическое приложение этих формул чрезвычайно затруднительно присутствием в правых частях этих выражений отношений двух малых величин соответственно второго и первого порядков. Новая формула эффективна не только при определении элементов первоначальной орбиты, но и при улучшении орбит. В середине 1930г. М.Ф.Субботин оставил работу в Ташкенте в связи с переходом в Пулковскую астрономическую обсерваторию. Дальнейшее развитие работ нашли отражение в работах его учеников Л.Л.Маткевича, Н.В.Воронова, Я.П.Цукерваника и С.М.Козик, работавшие в Ташкентской астрономической обсерватории (ТАО) в 1920-1950гг.

Н.В.Воронов на основе своих наблюдений, произведенных на нормальном астрографе ТАО, выполнил оригинальные исследования по прогнозированию движения малых тел [3]. Разработанный метод успешно был применен к орбитам с большими эксцентриситетами и наклонами к эклиптике. Исследование касается теории движения некоторых астероидов, для которых была разработана методика вычисления с точностью до величин третьего порядка относительно масс. Например, траектория астероида 4 Веста по теории Н.В. Воронова оказалась в полтора раза точнее, чем по данным Лево, Хергета, и Данхема [12]. А если взять значения по прямому восхождению, то величины получаются два раза точнее (рис.2).

Рисунок 2. Эфемериды по прямому восхождению для 4 Весты:

… Воронов, --- Лево,  Хергет

Не менее значительные исследования были выполнены профессором Л.Л. Маткевич в период работы в Ташкенте, где он исследовал движение кометы Энке, применяя метод вариации произвольных постоянных с учетом возмущений от шести планет (Меркурия – Сатурна). В процессе вычислений использовал три тесных сближения кометы Энке с Меркурием и Юпитером для того, чтобы выяснить ход изменения коэффициента векового ускорения (рис.3). Возмущения от планет были вычислены по теории Вильева, где Л.Л.Маткевич использовал не время, а эксцентрическую аномалию [2,5]. Такой выбор имеет свои преимущества, т.к. скорость движения небесного объекта в различных частях ее орбиты различна, что приводит к переменности шага численного интегрирования дифференциального уравнения. Если же за независимое переменное принять эксцентрическую аномалию, то шаг интегрирования при любом положении кометы в орбите может оставаться постоянным. Он сравнил свои наблюдения и вычисления с результатами, полученными профессором Идельсоном [13] на интервале 1934.07-1934.10 (рис.3).

Рисунок 3. Разность значений координат кометы Энке, полученных Идельсоном и Маткевич

Стоит упомянуть работы по исследованию движения небесных тел, которые были выполнены Я.П.Цукерваник [9]. Он вычислил траекторию движения 6 малых планет за интервал времени с 1900 по 1923г. методом вариаций. Для этих планет вычислены точные положения в экваториальной системе координат, полученные на нормальном астрографе.

Следует обратить внимание на еще одну необычную работу по определению параболической орбиты небесного тела 1939аб, предложенной С.М.Козик. Видоизменение дифференциального способа исправления параболической орбиты привело к попытке отказаться от традиционного определения элементов орбиты, разработанных Гауссом. Положение орбиты определено не обычными кеплероскими элементами - наклоном i, долготой восходящего узла W  и расстоянием перигелия от узла w, а векторными элементами Р и Q. В связи с этим при исправлении орбиты выгоднее искать именно поправки векторных элементов. Изложенный способ был применен к уточнению орбиты кометы 1939аб [4]. Предварительная орбита была вычислена по трем наблюдениям обычным способом, а все последующие улучшения получались способом дифференциальных поправок по мере накопления наблюдательного материала.

В 1965-1970гг. появились исследования А.С. Суфияновой по улучшению элементов орбит путем исправления начальных координат и составляющих скорости при численном интегрировании дифференциального уравнения возмущенного движения.

В 1970-1990гг. на кафедре общей механики Ташкентского Государственного Университета профессорами А.Г.Азизовым, Н.А.Коршуновой и Д. Азимовым разработан способ оптимизации расчетов движения космического тела до выведения на инерциальную орбиту [1]. Эти работы играют важную роль на начальном этапе движения космического тела.

Автор данной работы также работал над вычислением координат небесных тел по оптическим наблюдениям. Получил более 100 фотоснимков с изображениями космических тел и выполнил 300 наблюдений спутников по программе “Атмосфера”. Используя свои наблюдения, им был разработан алгоритм редукции координат наземных станций (рис.4).

Рисунок 4. Схема редукции наблюдений

Используя итерационные способ вычисления расстояний, можно достичь определенного предела разности расстояний между предыдущим и последующим значениями, после которой величина разности изменяется незначительно по мере увеличения количества итераций. Были определены элементы Ω₀, ω₀, а₀, е₀, i₀, τ₀  и топоцентрическое расстояние ρ₀. Численные расчеты показали, что введение переменной массы позволяет вычисленную орбиту приблизить к реальной орбите [6,11].

На практике начинают из того, что из совокупности всех наблюдений выбирают минимально необходимое число измерений. Очень важно, чтобы полученные на этом этапе предварительные элементы были как можно точнее. Несоблюдение этого требования затрудняет или делает невозможным уточнение орбиты с привлечением дополнительных наблюдений. Для определения первоначальной орбиты желательно использовать по возможности точные наблюдения и при этом дуга орбиты, охваченная наблюдениями, не должна быть слишком малой. Так как пять элементов орбиты имеют геометрическую интерпретацию, то последний n, характеризующий среднее движение, был модифицирован автором для траектории движения малой планеты 1566 Икар, которая сближалась с Землей в 1968г. (Табл.1).

 Таблица 1.

Результаты вычисления параметров орбит №1566

Поскольку параметр   был преобразован на , то кеплеровская орбита преобразовалась в промежуточную орбиту и стала ближе к реальной орбите (рис.5) на основе дифференциального уравнение движения, где в качестве массы центрального тела была использована фиктивная масса m^*. Тогда дифференциальное уравнение невозмущенного движения будет:

                                              (9)

где  и  - радиус вектор и вектор ускорения невозмущенного движения,  - гравитационный параметр, умноженный на фиктивную массу.

Рисунок 5. Схема орбиты малого тела

В 1987 - 1990 годы автором данной работы были проведены исследования кометы Энке численным интегрированием дифференциального уравнений возмущенного движения 19 порядка методом Эверхарта на интервале с 1934 по 1937гг. Было использовано 2 появления кометы для того, чтобы негравитационные силы меньше влияли на результаты расчетов [7,10]. В процессе обработки массива измерений вычислены коэффициенты корреляции и нормальных уравнений, а также составляющие геоцентрического радиуса вектора и компоненты скоростей (Табл.2).

Таблица 2.

Начальные координаты и компоненты скорости

Таким образом, из вышеописанного можно сделать вывод, что исследование в области определения орбит играет важную роль при прогнозировании траектории движения космического тела. Если учесть, что в Узбекистане приняты ряд законов и постановлений по развитию космической инфраструктуры, то становиться очевидным важность научных разработок, выполненных в ТАО и Национальном университете Узбекистана имени Мирзо Улугбека на интервале 1922 - 2000гг.[14].

Список литературы:

1. Азизов А.Г., Мирмахмудов Э.Р. О некоторых исследованиях по небесной механике в Узбекистане / Научная конференция: Механика и  ее применение. ТАШГУ. Ташкент-1993.
2. Вильев М.А. Абсолютные возмущения (1) Cеres от Юпитера, Сатурна и  Марса // Известия Николаевской Главной астрономической обсерватории. 1916, т.7, №73.
3. Воронов Н.М. Новые элементы планеты (713)//Циркуляр ТАО.1933,№21,с.2.
4. Козик С.М. Об одном видоизменении дифференциального способа исправления параболической орбиты // Бюллетень ТАО. 1939,т.II. №2, c.75.
5. Маткевич Л.Л. Эфемериды кометы Энке //Астрономический циркуляр.1941, №7.С.1-2.
6. Мирмахмудов Э.Р. Об использовании промежуточных орбит для определения движения малого тела //Кинематика и физика небесных  тел. Киев.1990, т.6, №4.
7. Мирмахмудов Э.Р. Результаты исследования движения кометы Энке  в двух появлениях с 1934-1937гг./Кометный циркуляр КГУ-ГАО АН УССР. Киев.1990, № 411.
8. Субботин М.Ф. Новая форма уравнения Эйлера-Ламберта и ее применение  при вычислении орбит // Русский астрономический  журнал.1924, т 1, №1.
9. Цукерваник Я.П. Новые оскулирующие элементы 6 малых планет//Циркуляр ТАО.1935. №40.c.1.
10. Batrakov Yu.V., Chernetenko Yu.A. On nongravitational effects in the comet Encke motion. - Dynamics of comets: Their origin and evolution. 1985, p.381.
11. Batrakov Yu., Mirmakhmudov E.R. On effectiveness of using intermediate orbits for computing the perturbated motion/Proceedings of the 1 SPAIN-USSR WORKSHOP on positional astronomy and celestial mechanics. Spain, 1991.
12. Herget P. Rectangular coordinates of Ceres, Pallas, Juno, Vesta 1900-1980// Astronomical papers.1980, pt.3.Pp.341-385.
13. Idelson N. La Comete d'Encke en 1924-1934 // Journ.des Observ.1935, №18. С. 133-140.
14. Mirmakhmudov E. Summary report of the Astronomical Institute investigations on the small bodies during 1922-1995 // Memoria della Societa “Astronomica Italiana”. 2002, v.73, № 3, Pp.655-657.