Выбор оптимальных траекторий движения методом динамического пошагового программирования

АННОТАЦИЯ

Показан пример расчёта по выбору оптимального управления движением поезда на виртуальном участке железной дороги с помощью метода динамического пошагового программирования и алгоритма его реализации.

ABSTRACT

An example of the calculation for the choice of the optimal control of the movement of a train on a virtual section of the railway using the method of dynamic step-by-step programming and an algorithm for its implementation is shown.

Ключевые слова: алгоритм, решение, шаг оптимизации, траектория, условно-оптимальный, реально-оптимальный, идеально-оптимальный.

Keywords: algorithm, solution, optimization step, trajectory, conditionally optimal, real-optimal, ideal-optimal, method.

В настоящем исследовании рассматривается пример расчёта поциклового выбора оптимальных траекторий движения поезда на виртуальном участке железной дороги методом динамического пошагового программирования, алгоритм реализации которого подробно обоснован в работе [1].

Расчёты каждого цикла имеют целью достижения законченного оптимального решения на i - м перегоне, то есть получить оптимальные значения параметра выигрыша , времени хода  поезда по перегонам и управления . После завершения расчётов первого цикла, переходят к расчётам второго цикла.

Расчёты каждого цикла начинают с поиска соответствующей информации, необходимой для построений условно - оптимальной траектории УОТ на i+1-м шаге оптимизации ШО, то есть находят значения , , , ,… и т.д. (рис. 1).

Для лучшей наглядной иллюстрации сказанного, проведём графическое ручное решение задачи оптимизации с использованием метода МПС [4,5] для построения кривой скорости V (S) движения поезда на участке счёта. Ведём счёт в обратном направлении от некоторой начальной точки – скорости  (обычно  =), используя режим п_х холостого хода поезда, обеспечивающий получение условно - оптимальной траектории УОТ_i+1. Построенная таким образом условно - оптимальная траектория УОТ_i+1 (линия --1-) позволяет выявить желательную скорость , в начале i + 1-го шага оптимизации ШО, которой должна быть равна и конечная скорость  на i - м шаге оптимизации ШО (рис. 1). Однако, в общем случае, конечная скорость может быть и отличной от скорости , так при величине V_y2 значение    (см. рис. 1). Зная  и учитывая принятое первое значение V_y1, выполняют построение условно – оптимальной траектории УОТ на i – м шаге оптимизации ШО (линия  – b – c – d – e – f – ). Затем ведут построение реально - оптимальной траектории РОТ на i – м шаге оптимизации ШО в прямом направлении, начиная его построение от известной скорости в начале шага оптимизации ШО -  = .

В стремлении достигнуть условно – оптимальную траекторию УОT_i можно применять любые позиции контроллера машиниста в соответствии с диаграммой удельных равнодействующих сил поезда (рис. 2).

С целью упрощения ручного счёта начинаем построение реально - оптимальной траектории РОТ_i от наименьшей, практически используемой позиции  (на рис. 1 принята позиция  = 7). Расчёт траектории V(S) ведётся на основании решения уравнения (1) [2] выбранным (принятым) численным методом.

В результате получим на i - м шаге оптимизации ШО траекторию V(S) первого варианта (вариант 1 - линия -к-f-е-b-), для которой на i -м шаге оптимизации ШО проводят подсчёты всех необходимых координат положения и состояния поезда, а также значения слагаемых выигрыша (значения Е_к, Э_хк и т.д.). Будет также определена траектория режима Р_т1 (для примера траектория P_т1 показана на рис 1, внизу). Каждому варианту траектории будет соответствовать значение координаты времени процесса на шаге оптимизации (то есть Р_т1→t₁, Р_т2→t₂…), поэтому проведя аналогичные расчёты для нового значения V_у2, V_у3,…, но оставляя позицию  неизменной, можно получить ряд значений В_к1, В_к2,…и построить зависимость В_к = f(t) для i – го шага оптимизации ШО (рис. 3).

Конечное вариационное приращение слагаемой параметра выигрыша В_к будет равно разности значений двух смежных вариантов Δ_σВ_кj = В_кj+1 - В_кj,

где В_кj+1 и В_кj - значения В_к на i – м шаге оптимизации ШО для двух выбранных значений V_уп+1 и V_уп при очередном режиме п_кп = пост;

j – обозначение (номер) очередного варианта траектории, при соответствующих скорости управленияV_уп+1 и режима п_кп.

Рисунок 1. К выявлению оптимальных времени хода t^*_п и режима ведения Р^*_т поезда на участке А – Б – В: на перегоне А-Б – 1. V_у1=20. n_к=7; 2. V_у1=20. n_к=15; 3. V_у2=50, n_к=7; 4. V_у2=20. n_к=15 и на перегоне Б-В – 1. V_у1=20. n_к=7; от ; 2. V_у1=20. n_к=7 от ; 3. V_у2=60, n_к=7 от ; 4. V_у2=60. n_к=15 от

Для двух рассмотренных смежных вариантов траекторий V(S), также находят конечное вариационное приращение слагаемой В_вj - Δ_σВ_вj= В_вj+1 – В_вj, а затем значение  = .

Меняя величину V_у можно найти решение, когда будет иметь место σ_j = - 1, то есть первое локальное решение, соответствующее принятому первому п_кп на шаге оптимизации ШО.

Рисунок 2. Удельные равнодействующие силы поезда в зависимости от скорости движения и позиций управления

Величина первого относительно - экстремального значения В будет  =  + , где величина  =  + 0,5 и  =  + 0,5._.

Аналогичные расчёты выполняют на i - м шаге оптимизации ШО, выбирая уже другие позиции контроллера машиниста п_кп при соответствующем принятом в расчётах V_уп. Затем и при других V_у, выбираемых согласно принятому закону изменения их V_уп+1 = V_уп+ΔV_уп. В результате будут получены ряд относительно - экстремальных значений выигрыша на i - м шаге оптимизации ШО, а именно - , , ,…, из которых очевидно следует выбрать оптимальный вариант, обеспечивающий наибольший выигрыш , который берем как абсолютно - экстремальный. Для этого оптимального варианта будет также получена оптимальная траектория управления  и оптимальное время хода  по перегонам (рис. 2) [1].

В задачах оптимизации перевозочной работы локомотивов, когда для очередного ШО (перегона) задано время, то есть t_n = пост., процесс расчёта ведется аналогично, однако выбор относительно - оптимального решения производится с учётом условия

 +                                               (1)

где  среднее значение времени хода на i – м шаге оптимизации ШО (перегона) для двух очередных смежных вариантов траекторий;

заданное время хода на i – м шаге оптимизации ШО;

Δt_т  допустимое отклонение.

Отклонение при выполнении равенства (1) можно допустить в ±0,5мин.

При соблюдении условия (1) относительно - оптимальное значение  запоминают для всех просматриваемых вариантов, при разных V_у и n_к(S). Окончательное решение производится после выявления наибольшего B_к  из всех просмотренных локальных значений .

На рис. 1. показаны также построения траекторий для вариантов 2, 3 и 4, в которых изменялось значение V_у и n_к.

В табл. 1 и на рис. 3 приведены конкретные результаты оптимизации времени хода по перегонам А - Б - В по следующим параметрам выигрыша - расходу топлива и величине перевозочных затрат.

Описанный порядок смены V_y и n_к может быть проведён другим порядком, когда просчёты вначале ведут при различных п_к, но с неизменным значением V_y. В этом случае необходимые результаты могут быть достигнуты с меньшей затратой времени.