Эффективность решения дифференциальных уравнений вида y'=f(x,y) методом хорд

АННОТАЦИЯ

Обосновывается эффективность решения дифференциальных уравнений вида  y'=f(x,y) разными численными методами расчёта на ЭВМ по критерию ожидаемой погрешности и затрат машинного времени с учётом предельной величины приращения. Доказано преимущество предлагаемого метода хорд.

ABSTRACT

The efficiency of the solution differential equations of the form y'= f (x, y) by different numerical methods of calculation on a computer is substantiated according to the criterion of the expected error and the cost of computer time, taking into account the limiting value of the increment. The advantage of the proposed chord method is proved.

Ключевые слова: уравнение, численный метод, решение, поезд, задача, переменная, шаг, производная, полином, ряд, начальные условия.

Keywords: equation, numerical method, solution, train, problem, variable, step, derivative, polynomial, series, initial conditions.

Эффективность численных методов решения дифференциальных уравнений оцениваем на основании следующих соображений.

1. Зная влияние неточности (ошибки) решения дифференциальных уравнений в поставленной задаче на ожидаемые результаты, намечают допустимую погрешность ε в процентах, а затем находят необходимое значение предельного приращения a_n, при котором обеспечивается заданная погрешность и от которого, в основном, будет зависеть затрата машинного времени, а следовательно и стоимость расчётов. Можно для каждого метода, расчётами на ЭВМ найти соответствующие зависимости затрат машинного времени t_м , мин, и ожидаемые погрешности ε от выбранной предельной величины a_n  исходного приращения, то есть t_м=f (a_n)  и ε = f(a_n). Очевидно, тот метод при котором будет меньшая затрата времени при условии достижения принятой погрешности, следует считать более выгодным.

На рис. 1 приведён пример таких зависимостей, полученных по данным расчётов на ЭВМ. Как видно, приведённые зависимости для метода Эйлера значительно отличаются от таковых же по предлагаемому методу хорд [1], а погрешность метода Эйлера резко возрастает с увеличением a_n.

Например, задана необходимая погрешность расчётов ε = 1,0 процент, то по методу Эйлера необходимо иметь a'_n=1  км/ч и машинное время будет t'_m=7,8 мин. Для предлагаемого метода заданная точность расчётов будет достигнута при a"_n=5 км/час и машинное время потребуется t"_n=1,8 мин.

Таким образом, затрата машинного времени уменьшается в 4,3 раза.

Кроме этого, весьма простой метод Эйлера даёт накапливание ошибок расчёта (см. рис. 2). Величина ошибки на шаге интегрирования h_n  определяется отношением  и доходит при расчётах скорости до 30 процентов (рис. 2), а это оказывает соответствующие влияние на все последующие результаты.

Рисунок 1. Ожидаемая погрешность ε = f(a_n)  и затраты времени t_с=f(a_n) в зависимости от предельной величины приращения a_n.

Рисунок 2. Сравнение кривой скорости движения V=f(S) поезда, построенной методом Эйлера с действительной

2. Выявление и сравнение на основании математических исследований порядка погрешности на шаге интегрирования является одним из основных показателей эффективности метода.

Такие исследования проведены для существующих методов и предварительно сделаны для предлагаемого метода.  В табл. 1 приведён порядок погрешности различных методов решения дифференциальных уравнений вида  y'=f(x,y). Заметим, что оценка погрешности метода Рунге - Кутта затруднительна [3,4] и в практике нередко применяют двойной пересчёт, вначале на шаге h и затем на шаге 2h, чтобы иметь достоверные результаты.

3. Сложность программирования и затрат машинного времени, как правило, пропорционально числу обращений к правой части дифференциального уравнения на каждом шаге интегрирования, по которым можно судить о сложности методов решения (табл. 1). Интересным также является возможность ведения расчётов на переменном шаге интегрирования.   

Таблица 1.

Погрешности различных методов решения дифференциальных уравнений вида y'=f(x,y)

4. Оценку точности различных методов можно производить путём сравнительных расчётов на ЭВМ одного и того же уравнения при различных предельных значениях a_n, так как известно, что при минимальных практически возможных значениях величины a_n  результаты расчётов почти перестают изменяться, асимптотически приближаясь к точному значению.

Например, по методу Эйлера было получено при a_n=0,5 км/ч, почти точное решение уравнения (табл. 1), где приведены также и результаты решения его разными методами при различных значениях предельного приращения a_n .

Ясно, что метод, дающий практически точные результаты, близкие к их абсолютному значению, уже при относительно больших значениях a_n  будет выгодным, так как этот метод не потребует большой затраты машинного времени, а следовательно и будет более эффективным.

Разработанный метод пригоден для большой группы уравнений вида y'=f(x,y), при этом высокая точность результатов достигается с умеренной затратой машинного времени.

Только по решению задач оптимизации, связанных с движением поездов на Узбекских железных дорогах, включающих известное дифференциальное уравнение движения поезда, в настоящее время можно при использовании более совершенных методов решения указанного уравнения, за счёт экономии машинного времени, значительно снизить денежные затраты в течение года, обеспечивая при этом необходимую точность результатов вычислений.

Список литературы:

1. Аблялимов О. С. К решению дифференциальных уравнений вида y'=f(x,y) методом хорд [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10707 (дата обращения: 07.09.2020).
2. Аблялимов О. С. Выбор предварительного шага интегрирования при расчётах на ЭВМ дифференциальных уравнений вида y'=f(x,y) [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10715.
3. Березин И. С. Методы вычислений [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков. - Изд. 2-е. – М.: ГИФМЛ, 1962. – Т. 1. – 464 с.
4. Демидович Б. П. Численные методы анализа [Текст] / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова // Учебное пособие. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1967. - 368 с.