О решении задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов

АННОТАЦИЯ

Анализируется метод решения задачи оптимизации при помощи принципа максимума. Обоснована условно – оптимальная траектория, которая является составной частью искомой оптимальной траектории управления.

ABSTRACT

The method for solving the optimization problem using the maximum principle is analyzed. The conditionally optimal trajectory, which is an integral part of the desired optimal control trajectory, has been substantiated.

Ключевые слова: исследование, оптимизация, метод, динамическое программирование, решение, выбор, режим, теория, принцип максимума.

Keywords: investigation, optimization, method, dynamic programming, optimality principle, decision, choice, mode, theory, maximum principle.

Одной из особенностей задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов является необходимость выявления оптимального решения по параметру В, связанного многоступенчатой зависимостью с координатами положения и управления на участках значительной протяжённостью. Указанные, а также и другие обстоятельства заставляют применять пока только численные методы с использованием ЭВМ. Принятый при этом порядок решения должен быть основан на определённой системе выраженной комплексом оптимизации К_о. Можно опробовать различные К_о и выбрать наилучший. В процессе решения поставленной задачи было опробованы два К_о, из которых первый [2] обеспечивал частичную оптимизацию. Второй К_о обеспечивает полную оптимизацию на выбранном шаге оптимизации (ШО), а также на участке счёта и выбран как основной, рекомендуемый для использования.

Общая постановка задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов формулируется следующим образом. Имеем поезд (объект), фазовые координаты которого описываются вектором, включающим координаты положения и состояния О = (П,С). Необходимо переместить поезд с начальными координатами О_о в новое положение с фазовыми координатами О₁, выбрав при этом ведение процесса таким образом, чтобы определённая координата или некоторый вектор, принадлежащий вектору объекта О и определяющих выигрыш В, принимал бы оптимальное значение (max B или min B) с соблюдением положенных ограничений. Эта цель может быть достигнута при условии применения соответствующего оптимального управления, а в общем случае, соответствующего оптимальных траекторий координат управляющих факторов (УФ).

Таким образом, необходимо О_о = (П_о,С_о) переместить в О₁ = (П₁,С₁) так, чтобы иметь В*→УФ*.

Для упрощения процесса будем пользоваться "плоским" фазовым пространством [1] с аргументной координатой (осью) O_а. Учитывая, что на шаге оптимизации ШО координата или вектор П_о = пост, а меняться будет О_т и Р_т (которые должны соответствовать данному П_о) можно зависимость изменения параметра В на шаге оптимизации выразить так

В(О_а) = [О(О_а),Р(О_а)]                                                                                            (1)

Эту зависимость можно выявить, если знаем закон изменения процесса объекта, использую описание его, системой дифференциальных уравнений, выразив производные от фазовых координат через сами фазовые координаты и траектории управляющих параметров.

Для поставленной задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов траектория режима управления заранее нам неизвестна, она может быть выявлена лишь в процессе решения задачи, в связи с чем, необходимо определить общую стратегию отыскания траектории управления.

Общую стратегию решения задачи можно выявить, используя принцип максимума, как это, например, сделано в работе [3], основные положения которой приводим ниже.

Приняты траектории координат вектора поезда

                                                                                                (2)

где:

 О'(t) - координата пути;

О²(t) - координата скорости;

О³(t) - координата времени.

Регулируемой величиной считают [3] ускорение a, которое плавно регулируется между небольшим ускорением для тяги а_р и наибольшим замедлением при торможении а_т.

В анализе берут нормированное ускорение а = а_р / а_т, значения которого находятся в пределах

                                                                                                      (3)

Условие минимизации расхода энергии на тягу, при условии задания времени хода по перегону t_п = пост, записано в соответствии с рекомендацией Коалса 

Е_к = (a→| a |)                                                                                      (4)

и задача формулируется так: необходимо найти такую функцию а, которая при условии минимизации интеграла (4) переводила бы вектор фазовых координат поезда O(t) из заданного положения O_н в конечное О_к положение, учитывая при этом соответствующие ограничения условий по скорости и ускорению движения поезда.

Необходимое для решения проблемы уравнение движения поезда

                                                                            (5)

где:

m - масса поезда,

СО² – сопротивление движению поезда, принимаемое пропорциональным скорости, то есть величина С = пост;

Ка - сила тяги или торможения, принимаемая пропорциональной ускорению, то есть К = пост;

Приняв С / m = К / m, а также выразив О²(t) = dO'(t) / dt вместо (5) будет

                                                                            (6)

Принимая далее в целях упрощения, наличие остановки поезда на конечной станции, можно, поместив начало отсчёта координат в точке соответствующей этой станции получить

O'(t) = O²(t) = 0                                                                                       (7)

что вместе с ограничением скорости образует систему ограничений для O'(t) и O²(t):

0 ≤ О²(t) ≤ V^or                                                                                       (8)

O'(t) ≤ 0

Для координаты времени, отсчёт времени ведут как разницу между заданным временем прибытия на конечную станцию и текущим временем, то есть

O³(t) = t_n - t                                                                                        (9)

Вектор текущего фазового состояния поезда при движении по участку является трёхмерным

                                                                                                    (10)

и в конечном пункте он равен

                                                                                              (11)

В соответствии с принципом максимума оптимальной является такая траектория О(t), которая максимизирует гамильтониан

H = ∑λ_iO_i - ?_o(O,a)                                                                              (12)

где ?_o(O,a) = 0,5(а + | а |)O²dt, а вспомогательные переменные λ_i должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений в частных производных

                                         (13)

В этой системе ?_k = dO^к/dt, причем i и k могут независимо друг от друга принимать значения 1,2 и 3.

Применяя соотношения (4), (6) и (7), можно выражение (13) переписать

  = 0;                                     (14)

с граничными условиями

  = -   = -  = -                           (15) 

где коэффициенты ,  необходимо отыскать.

С учётом систем (3) и (8) можно гамильтониан H (12) переписать, а именно:

             (16)

Откуда следует, что максимум гамильтониана Н совпадает с максимумом, зависящим от а и О² частичной суммы, то есть

            (17)

Рассматривая ограничения по а и О² , соответствующие выражениям (3) и (8), получим закон оптимального управления в функции от вспомогательной переменной

                                      (18)

Из (18) следует, что оптимальная стратегия управления включает режим разгона с максимальным ускорением, выбег и торможение с максимальным замедлением, а также решения для переменных λ₂ = 0 и  λ₂ = О², при которых значения ускорения являются неопределенными и рассматриваются как сингулярные решения.

Изложенное содержание работы [3], основанной на ряде упрощений (например, сила тяги принята пропорциональной ускорению и другие ) всё же даёт рекомендации по выбора оптимальной стратегии решения, которые нами использованы при разработке нового метода решения.

Аналогичные выводы можно сделать из анализа выражения, определяющего удельный (на тонну веса поезда) расход  энергии для создания касательной  механической работы силы тяги, то есть

                                                               (19)

После ряда преобразований выражение (19) приводится к виду

                                      (20)

Минимизация выражение (20) - l_k = 0 достигается при f(O²) = 0, то есть при холостом ходе.

Из сказанного следует, что в идеальном случае, движение на холостом ходу является рациональным решением, к которому необходимо по возможности стремиться.

В разработанном методе решения поставленной задачи выявляется указанная траектория, как условно - оптимальная, которую необходимо считать составной частью искомой оптимальной траектории управления.

Список литературы:

1. Аблялимов О.С. К формулировке математических методов оптимальных решений [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10667 (дата обращения: 28.08.2020).
2. Толкачёв А.В. Факторы, управляющие выбором технологии ведения и времени хода поездов [Текст] / А. В. Толкачёв // Тр. ТашИИТ, вып. 53 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д транспорта. – Ташкент, 1968. – С. 53 – 61.
3. Hozh Peter «Ȕber die Auwendung des Maximum Prinzips von Pontrjagin zur Ermittlung von Algorithmen fȕr line energie optimule Zugstouerung». Wissz Hochsch. Verkehrsn Dusden, 1971, 18 № 4, 919 - 934 (немец.). Экспресс информация «Техническая эксплуатация подвижного состава и тяга поездов», № 29, 9.VIII.1972.