К формулировке математических методов оптимальных решений

АННОТАЦИЯ

Приводятся основные положения математической теории оптимального управления и постановка общей задачей оптимизации с учётом критерия эффективности организации перевозочного процесса.

ABSTRACT

The main provisions of the mathematical theory of optimal control and the formulation of a general optimization problem are given, taking into account the criterion of the effectiveness of the organization of the transportation process.

Ключевые слова: исследование, оптимизация, метод, принцип максимума, принцип оптимальности, решение, выбор, режим, теория.

Keywords: investigation, optimization, method, maximum principle, optimality principle, decision, choice, mode, theory.

Среди крупных достижений современной математики, получивших широкое применение и дающих высокую эффективность, особое место занимает математическая теория оптимальных процессов, в которой обозначались два основных направления, опирающихся на принцип оптимальности Р. Беллмана [1] и принцип максимума Л.С. Понтрягина [2].

На основании вышеуказанных работ, основные положения общей теории оптимизации представляются в следующем виде.

Фазовые координаты, того или иного объекта (поезда и пр.), определяющие его положение и состояние можно выразить вектором объекта

О = (О', …,Оⁿ)                                                                    (1)

где О', …,Оⁿ - координаты вектора объекта в n - мерном фазовом пространстве.

Некоторая часть координат вектора О определяет положение объекта в пространстве и времени, что выразим вектором положения П = (П', …,Пⁿ), а другая часть будет определять состояние объекта C = (С', …,Сⁿ).

Таким образом, имеем О = (П,С) = (П', …,Пⁿ, С', …,Сⁿ).

Изменение фазовых координат объекта происходит под воздействием управляющих факторов, которые можно выразить через вектор управления или режима, то есть

Р = (Р', …,Р^r)                                                                          (2)

где Р', …,Р^r -координаты вектора управления (режима ) в r - мерном пространстве.

Возможное изменение вектора Р описывается векторной функцией Р(О_n) = Р'(О_а),…,Р^r(О_а), что также можно записать Р_т = (Р'_т,…, Р^r_т)

где: 

О_а - та или иная координата вектора O, принимаемая за аргумент;

Р_т - вектор траекторий управления (режима).

Во многих практических задач координата О_а относится или к координате, выражающей путь S, или время t.

Линия, описываемая фазовой точкой ( объектом )  в фазовом пространстве, является фазовой траекторией, которую можно выразить зависимостью через ту или иную фазовую аргументную координату вектора, то есть О(О_а) или О(О_а) = {О'(О_а),…,Оⁿ(О_а)}, что также можно записать О_т = (О'_т,…,Оⁿ_т).

Пара векторных функций О(О_а) и Р(О_а) определяет ход процесса, то есть изменение фазовых координат объекта.

Процесс полностью определится, если заданы начальное состояние О_о = О_о(О_а) и управление Р(О_а) при О_а ≠ О_аo. Выбирая различные Р(О_а) можно получить множество процессов, а затем выбрать наилучший (наивыгоднейший). Общей задачей оптимизации является отыскание оптимального процесса, то есть O*(O_a) и Р*(О_а) в пределах заданного изменения вектора О_а = Оⁱˏ обеспечивающего наибольшую эффективность процесса, что обосновывается максимальной величиной выигрыша В.

За параметр выигрыша В может быть принята та или иная координата вектора О на рассматриваемом участке, то есть В = О^b которую выбирают исходя из целенаправленности и сущности рассматриваемого явления.

Координаты вектора O имеют n - мерное пространство, а координаты вектора Р являются r - мерными. Наглядное изображение объекта в общем случае является весьма сложным.

Можно применить приём изображения текущих координат объекта в зависимости от предшествующих координат, то есть Oⁱ(O^i-1) = {O^'(O^o), O²(O¹),…,Oⁿ(O^n-1)}, что наглядно представлено на рис. 1. Однако, в ряде случае применяют "плоское" изображение фазового процесса, в этом случае O(O_a) = {O'(O_a),…,Oⁿ(O_a)}, что представлено на рис. 2 и является удобным и часто применимым в практических условиях.

Поскольку параметр В является одной из координат вектора О, то общую функциональную связь можно записать в следующем виде

В = В{О_т, Р(О_а)}                                                                       (3)

Рисунок 1. Объёмная фазовая траектория n - мерного вектора объекта (n = 5)

Рисунок 2. Плоская фазовая траектория n - мерного вектора объекта (n = 5)

Для выявления аналитического выражения (3) необходима знать закон изменения координат вектора О (то есть закон движения фазовой точки и фазовом пространстве с учётом воздействия управляющего параметра) и закон выбора траектории вектора управления, что является наиболее сложным.

Часто закон изменения координат вектора объекта описывается дифференциальными уравнениями, дающими выражения производных от фазовых координат через сами фазовые координаты и управляющие параметры, что запишется в векторной форме так

Ȯ = ƒ(О, Р)                                                                            (4)

или системой уравнений

                                                  (5)

Здесь ƒ(О, Р) - вектор, координатами которого являются правые части системы (5). Система уравнений (5) может быть решена, если известен закон изменения вектора управления Р(О_а), что позволит, решая аналитическое выражение системы (5), получить интегральные зависимости О(О_а), а затем и величину параметра В согласно аналитической зависимости (3).

Задание управление Р(О_а) и начального фазового состояния О_о однозначно определяют фазовую траекторию О(О_а) при О_ао ≠ О_а1. Сказанное вытекает из теоремы о существовании и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5].

Таким образом, задача оптимизации при решении аналитического выражения (3) заключается в выборе таких траекторий О (О_а) и Р (О_а), при которых будет получено оптимальное значение параметра выигрыша В* для реализации чего применяются различные принципы и методы, сущность и особенности которых будут раскрыты автором в последующих исследованиях.

Список литературы:

1. Беллман Р. Динамическое программирование [Текст] / Р. Беллман. - М.: Иностранная литература, 1960, 400 с.
2.  Понтрягин Л.    С. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1983, 393 с.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Л. С. Понтрягин. - М.: Наука, 1974, 331 с.