К формулировке математических методов оптимальных решений

To formulation of mathematical methods for optimal solutions
Цитировать:
Аблялимов О.С. К формулировке математических методов оптимальных решений // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 9(78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10667 (дата обращения: 21.09.2021).
Прочитать статью:

 

АННОТАЦИЯ

Приводятся основные положения математической теории оптимального управления и постановка общей задачей оптимизации с учётом критерия эффективности организации перевозочного процесса.

ABSTRACT

The main provisions of the mathematical theory of optimal control and the formulation of a general optimization problem are given, taking into account the criterion of the effectiveness of the organization of the transportation process.

 

Ключевые слова: исследование, оптимизация, метод, принцип максимума, принцип оптимальности, решение, выбор, режим, теория.

Keywords: investigation, optimization, method, maximum principle, optimality principle, decision, choice, mode, theory.

 

Среди крупных достижений современной математики, получивших широкое применение и дающих высокую эффективность, особое место занимает математическая теория оптимальных процессов, в которой обозначались два основных направления, опирающихся на принцип оптимальности Р. Беллмана [1] и принцип максимума Л.С. Понтрягина [2].

На основании вышеуказанных работ, основные положения общей теории оптимизации представляются в следующем виде.

Фазовые координаты, того или иного объекта (поезда и пр.), определяющие его положение и состояние можно выразить вектором объекта

О = (О', …,Оn)                                                                    (1)

где О', …,Оn - координаты вектора объекта в n - мерном фазовом пространстве.

Некоторая часть координат вектора О определяет положение объекта в пространстве и времени, что выразим вектором положения П = (П', …,Пn), а другая часть будет определять состояние объекта C = (С', …,Сn).

Таким образом, имеем О = (П,С) = (П', …,Пn, С', …,Сn).

Изменение фазовых координат объекта происходит под воздействием управляющих факторов, которые можно выразить через вектор управления или режима, то есть

Р = (Р', …,Рr)                                                                          (2)

где Р', …,Рr -координаты вектора управления (режима ) в r - мерном пространстве.

Возможное изменение вектора Р описывается векторной функцией Р(Оn) = Р'(Оа),…,Рr(Оа), что также можно записать Рт = (Р'т,…, Рrт)

где: 

Оа - та или иная координата вектора O, принимаемая за аргумент;

Рт - вектор траекторий управления (режима).

Во многих практических задач координата Оа относится или к координате, выражающей путь S, или время t.

Линия, описываемая фазовой точкой ( объектом )  в фазовом пространстве, является фазовой траекторией, которую можно выразить зависимостью через ту или иную фазовую аргументную координату вектора, то есть О(Оа) или О(Оа) = {О'(Оа),…,Оⁿ(Оа)}, что также можно записать От = (О'т,…,Оⁿт).

Пара векторных функций О(Оа) и Р(Оа) определяет ход процесса, то есть изменение фазовых координат объекта.

Процесс полностью определится, если заданы начальное состояние Оо = Оо(Оа) и управление Р(Оа) при Оа Оаo. Выбирая различные Р(Оа) можно получить множество процессов, а затем выбрать наилучший (наивыгоднейший). Общей задачей оптимизации является отыскание оптимального процесса, то есть O*(Oa) и Р*(Оа) в пределах заданного изменения вектора Оа = Оiˏ обеспечивающего наибольшую эффективность процесса, что обосновывается максимальной величиной выигрыша В.

За параметр выигрыша В может быть принята та или иная координата вектора О на рассматриваемом участке, то есть В = Оb которую выбирают исходя из целенаправленности и сущности рассматриваемого явления.

Координаты вектора O имеют n - мерное пространство, а координаты вектора Р являются r - мерными. Наглядное изображение объекта в общем случае является весьма сложным.

Можно применить приём изображения текущих координат объекта в зависимости от предшествующих координат, то есть Oi(Oi-1) = {O'(Oo), O2(O1),…,On(On-1)}, что наглядно представлено на рис. 1. Однако, в ряде случае применяют "плоское" изображение фазового процесса, в этом случае O(Oa) = {O'(Oa),…,O(Oa)}, что представлено на рис. 2 и является удобным и часто применимым в практических условиях.

Поскольку параметр В является одной из координат вектора О, то общую функциональную связь можно записать в следующем виде

В = В{От, Р(Оа)}                                                                       (3)

 

Рисунок 1. Объёмная фазовая траектория n - мерного вектора объекта (n = 5)

 

Рисунок 2. Плоская фазовая траектория n - мерного вектора объекта (n = 5)

 

Для выявления аналитического выражения (3) необходима знать закон изменения координат вектора О (то есть закон движения фазовой точки и фазовом пространстве с учётом воздействия управляющего параметра) и закон выбора траектории вектора управления, что является наиболее сложным.

Часто закон изменения координат вектора объекта описывается дифференциальными уравнениями, дающими выражения производных от фазовых координат через сами фазовые координаты и управляющие параметры, что запишется в векторной форме так

Ȯ = ƒ(О, Р)                                                                            (4)

или системой уравнений

                                                  (5)

Здесь ƒ(О, Р) - вектор, координатами которого являются правые части системы (5). Система уравнений (5) может быть решена, если известен закон изменения вектора управления Р(Оа), что позволит, решая аналитическое выражение системы (5), получить интегральные зависимости О(Оа), а затем и величину параметра В согласно аналитической зависимости (3).

Задание управление Р(Оа) и начального фазового состояния Оо однозначно определяют фазовую траекторию О(Оа) при ОаоОа1. Сказанное вытекает из теоремы о существовании и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5].

Таким образом, задача оптимизации при решении аналитического выражения (3) заключается в выборе таких траекторий О (Оа) и Р (Оа), при которых будет получено оптимальное значение параметра выигрыша В* для реализации чего применяются различные принципы и методы, сущность и особенности которых будут раскрыты автором в последующих исследованиях.

 

Список литературы:

  1. Беллман Р. Динамическое программирование [Текст] / Р. Беллман. - М.: Иностранная литература, 1960, 400 с.
  2.  Понтрягин Л.    С. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1983, 393 с.
  3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Л. С. Понтрягин. - М.: Наука, 1974, 331 с.
Информация об авторах

канд. техн. наук, старший научный сотрудник, и.о. профессора кафедры «Локомотивы и локомотивное хозяйство» Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, Узбекистан, Ташкент

doctor of philosophy, chief scientific worker, acting professor of the chair «Loсomotives and locomotive economy» Tashkent institute of railway transpоrt engineering, Uzbekistan, Tashkent

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), регистрационный номер ЭЛ №ФС77-54434 от 17.06.2013
Учредитель журнала - ООО «МЦНО»
Главный редактор - Ахметов Сайранбек Махсутович.
Top