Решение формулы суммы квадратов двух чисел

АННОТАЦИЯ

В настоящей статье нами впервые предложено решение формулы сокращенного произведения, которая может широко применена в решении различных математических задач, равенств и неравенств, а также для упрощения сложных алгебраических выражений, имеющих широкое практическое применение в науке и технике.

ABSTRACT

In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

Ключевые слова: формулы сокращенного произведения, сумма квадратов двух чисел.

Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

Известно, что при решении задач во всех разделах математики очень часто используют формулы сокращенного произведения (ФСУ) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Эти формулы удачно используются при упрощении сложных математических выражений, при решении алгебраических, тригонометрических уравнений, неравенств, геометрических задач, учебных и научных проблем различной сложности. Ниже приведены официально всем известные ФСУ в табличном виде, из учебников Алгебры для 7 класса:

Таблица 1.

Формулы сокращенного умножения

Наглядно видно из таблицы 1, что приведенные в ней формулы 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 являются формулами-парами, которые отличаются нежели только со знаками у отдельных членов в левой части равенства. Однако, решение для урувнения формулой a²+b² (8) до настоящего времени ни в официальных источниках, также в учебной и научной литературе не была приведена [1-7]. Тому можно убедиться после ознакомления в электронных интернет учебниках на английском, так и на других языках. В них формула (8) указана как “not expands” – «не разлагающаяся на члены» [8-10]. Также, во всех учебниках для средних образовательных школ по математике, так и в пособиях для ВУЗов Узбекистана, России и Европейских стран, написанные на узбекском, английком, так и на русском языках, формула (8), до настоящего времени обозначается как, “не разлагающаяся на члены”.

В настоящей статье нами впервые предложена конкретное решение для формулы (8), для разложения суммы квадратов двух чисел на многочлены. Она имеет решение следующего вида:

                                       (8)

Доказательство. Результат последовательного произведения многочленов в правой части формулы (8), должны равняться сумме квадратов двух чисел, в левой части равенства. Для этого применяем правила последовательного умножения для многочленов к выражениям в скобках, в правой части равенства:

Примечание. Члены с одинаковыми абсолютными значениями, но с различными знаками взаимно сокращаются, как показано ниже:

;

;

В результате упрощения получим результат сумму квадратов двух чисел, идентичный, что в левой части равенства a²+b².

Конец доказательства.

Предложенная нами формула для суммы квадратов двух чисел (8) является инновационной, новой и имеет в дальнейшем практическое применение как в математике, информатике, ИТ, в точных науках в целом, так и в других отраслях науки и техники.

Список литературы

1.  Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: под ред. С.А.Теляковского.- М.: «Просвещение». - 2013. - 256 с.
2. Ш.Алимов,О.Р. Холмухамедов, М.А. Мирзаахмедов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: T.: “Укитувчи”. - 2017. -192 c.
3. А.У. Абдухамидов, Х.А.Насимов, Ж.Х.Хусанов. Алгебра и основы математического анализа, I-часть, Учебник для Академических лицеев.: T.: “Укитувчи”. - 2008. - 134-с.
4. Ш.Ш.Ботиров, З.Н.Неъматов, Д.Ф.Орипова. Математика. Сборник тематических вопросов-ответов. Бухара.: “Бухоро”. – 2015. – 24с.
5. Г. Худойберганов, А.Ворисов, Х.Мансуров, Б.Шоимкулов. Лекции по математическому анализу . T.: “Ворис-нашриёт”. - 2010. - 70 с.
6. М. Хушвактов. Матемтический анализ. T.: “Янгиюл Полиграф Сервис”.-2008. – 59 с.
7. П.Е.Данько, А.Г.Паров, Т.Е.Кожевникова. Высшая сатематика в задачах и упражнениях. T.: “Узбек файласуфлари миллий жамияти” – 2007. – 53 с.
8. Short multiplication formulas/ MathForYou.net [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.mathforyou.net/en/formulas/shortmultiplication-formulas/ (Дата обращения 10.08.2020).
9. Формулы сокращенного умножения многочленов / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://math-https://prosto.ru/?page=pages/fsu/short_multiplication_formula.php
10. Short multiplication formulas / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: https://www.emathhelp.net/notes/algebra-2/trigonometry/short-multiplication-formulas/ (Дата обращения:10.08.2020).