СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ВЕРХНЕЙ КОНЕЧНОСТИ КАК АЛЬТЕРНАТИВА ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЕЁ МАССЫ

УДК 611.06

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается проблема определения масс-инерционных характеристик верхней конечности человека. Показано, что классическая задача нахождения веса конечности путём взвешивания принципиально неразрешима без априорного знания положения её центра масс. В качестве альтернативы предложен переход к измерению непосредственно доступного и биомеханически значимого параметра — статического момента силы тяжести относительно плечевого сустава. Целью работы является разработка и апробация практической методики измерения и расчета статического момента силы тяжести верхней конечности как одной из характеристик её масс-инерционных свойств у лиц-декстралов юношеского возраста. Разработана и апробирована двухточечная методика прямого измерения этого момента, основанная на мысленном эксперименте с моделью жёсткой однородной балки. В исследовании приняли участие 13 практически здоровых девушек-правшей в возрасте 17–20 лет. Для каждой конечности проводились измерения силы в двух точках на плече (дистальной и проксимальной) с последующим расчётом статического момента и оценкой погрешности. Установлено, что средняя погрешность между измерениями составила 13,1% для правой и 12,5% для левой руки, что свидетельствует о приемлемой воспроизводимости результатов. Средние значения момента оказались равными 0,567 кгс·м для правой и 0,574 кгс·м для левой руки, различие не превысило 1,2%. Применение критерия Уилкоксона для связанных выборок не выявило статистически значимой внутрииндивидуальной асимметрии (W=44, p>0,05). Выявленная значительная межиндивидуальная вариабельность моментов подтверждает необходимость персонализированного подхода в биомеханических расчётах. Предложенная методика может найти применение в спортивной медицине, реабилитологии и при проектировании экзоскелетов.

ABSTRACT

The paper addresses the problem of determining the mass-inertial characteristics of the human upper limb. It is shown that the classical task of finding the limb’s weight by direct weighing is fundamentally unsolvable without prior knowledge of the position of its centre of mass. As an alternative, a shift is proposed towards measuring a directly accessible and biomechanically significant parameter — the static moment of gravity relative to the shoulder joint. The aim of this work is to develop and test a practical methodology for measuring and calculating the static moment of gravity of the upper limb as one of the characteristics of its mass‑inertial properties in right‑handed individuals of young adult age. A two‑point method for the direct measurement of this moment, based on a thought experiment with a rigid beam model, has been developed and tested. The study involved 13 practically healthy right‑handed female volunteers aged 17–20 years. For each limb, force measurements were taken at two points on the arm (distal and proximal) followed by calculation of the static moment and assessment of measurement error. It was found that the average discrepancy between measurements was 13.1% for the right arm and 12.5% for the left arm, indicating acceptable reproducibility of the results. The mean static moment values were 0.567 kgf·m for the right arm and 0.574 kgf·m for the left arm, with a difference not exceeding 1.2%. Application of the Wilcoxon signed‑rank test for paired samples revealed no statistically significant intra‑individual asymmetry (W = 44, p > 0.05). The considerable inter‑individual variability of the moments that was found confirms the necessity of a personalised approach in biomechanical calculations. The proposed methodology may find application in sports medicine, rehabilitation, and the design of exoskeletons.

Ключевые слова: статический момент силы тяжести, верхняя конечность, анатомия человека, масса верхней конечности.

Keywords: static moment of gravity, upper limb, human anatomy, mass of an upper limb.

Введение. Изучение масс-инерционных характеристик сегментов тела человека является фундаментальной задачей биомеханики. Знание этих параметров необходимо для построения адекватных динамических моделей опорно-двигательного аппарата, расчёта нагрузок в суставах, анализа спортивных движений и проектирования средств реабилитации [1, 2, 3]. Традиционные методы определения массы и положения центра масс сегментов, основанные на анализе трупного материала или сложных радиоизотопных исследованиях, обладают высокой точностью, но малоприменимы в рутинной клинической практике [4]. Антропометрические уравнения регрессии, хотя и более доступны, несут в себе погрешность, связанную с усреднением популяционных данных и не учитывают индивидуальных особенностей распределения тканей.

Простая механическая модель, в которой верхняя конечность рассматривается как жёсткая балка одним с шарнирно фиксированным концом и вторым свободным, позволяет предположить, что её вес можно определить, уравновешивая момент силы тяжести моментом внешней приложенной силы. M = F · d · sin(α) = P · x(цм), где M – момент силы тяжести; F – внешняя сила, приложенная под углом (α) к оси самой балки для удержания её в статичном положении на расстоянии d от точки крепления (плечо силы), P – вес балки (как произведение её массы на ускорение свободного падения P = m · g), x(цм) – расстояние от точки крепления до центра масс балки.  Однако применение этой модели к живой конечности наталкивается на фундаментальные ограничения, главным из которых является априорная неизвестность положения центра масс верхней конечности. Это превращает одно уравнение равновесия в уравнение с двумя неизвестными (центр масс и самой массы (веса) верхней конечности), делая задачу определения веса принципиально неразрешимой без дополнительных, трудноверифицируемых допущений.

В связи с этим, актуальным представляется смещение фокуса исследования с поиска абсолютного значения веса конечности на измерение непосредственно доступной и биомеханически значимой величины — статического момента силы тяжести конечности относительно проксимального сустава (в данном случае речь о плечевом суставе).

Цель исследования. Целью работы является разработка и апробация практической методики измерения и расчета статического момента силы тяжести верхней конечности как одной из характеристик её масс-инерционных свойств у лиц-декстралов юношеского возраста, а также анализ полученных данных на предмет выявления феномена внутрииндивидуальной асимметрии между правой и левой верхними конечностями.

Материалы и методы. Теоретической основой работы служит мысленный эксперимент с моделью жёсткой однородной балки. Рассмотрим однородную балку длиной L и весом P, шарнирно закреплённую одним концом. Так как балка однородна на всём протяжении, то ее центр масс будет расположен на середине ее длины L, то есть x(цм) = L/2. Для удержания балки в горизонтальном положении (α = 90⁰, тогда sin(α) = 1) необходимо приложить вертикальную силу F в точке, расположенной на расстоянии d от шарнирно закрепленного конца. Условие равновесия моментов в данном случае имеет вид: P · L/2 = F · d. Из этого уравнения следует, что при приложении силы на свободном конце (d = L) показание весов составит P/2 (где P = m · g), при приложении в центре масс (d = L/2) — P, а при приложении ближе к оси вращения (d < L/2) — более, чем P (рисунок 1). Таким образом, показания весов не являются константой, а зависят от точки приложения силы.

Рисунок 1. Визуализация мысленного эксперимента с моделью однородной жёсткой балки

Перенос этой модели на верхнюю конечность человека сопряжён с рядом сложностей. Во-первых, конечность неоднородна по своей структуре, и её плотность не является постоянной величиной. Во-вторых, положение её центра масс неизвестно и индивидуально. В этих условиях единственным параметром, который может быть непосредственно измерен, является статический момент силы тяжести конечности M относительно оси вращения в плечевом суставе. Согласно условию равновесия, в любом положении этот момент равен моменту, создаваемому внешней силой: M = F · d. Следовательно, измерив силу F, необходимую для удержания конечности в заданном положении, и плечо её приложения d, можно получить величину M.

В исследовании приняли участие практически здоровых 13 девушек-правшей в возрасте от 17 до 20 лет, не занимающихся направленно каким-то видом спорта. Для исключения влияния фактора моторной доминанты на морфологические характеристики в исследование включались исключительно правши, что подтверждалось результатами стандартизированного опросника функциональной мануальной асимметрии [6]. Критериями исключения служили наличие в анамнезе травматических повреждений верхних конечностей, хронических заболеваний опорно-двигательного аппарата, а также врожденных аномалий развития. Все участники были проинструктированы о ходе эксперимента и дали добровольное информированное согласие на участие в нём. Измерения проводились в положении лёжа на спине на жёсткой кушетке. Исследуемая рука при этом свободно свисала с края кушетки. Для обеспечения пассивности конечности и исключения сгибания в локтевом суставе предплечье находилось в положении супинации, при котором локтевой сустав блокируется за счёт своего естественного костного упора.

На коже участников водорастворимым маркером наносились следующие анатомические ориентиры: проекция головки плечевой кости (точка O), расположенная условно на середине линии между передним краем подмышечной впадины и акромионом; проекция линии локтевого сустава (точка E), определяемая на середине линии, соединяющей медиальный и латеральный надмыщелки плечевой кости. С помощью сантиметровой ленты измерялось расстояние d₁ от точки O до точки E, а также расстояние d₂ (отмечалось как точка K), равное половине d₁ (рисунок 2).

Рисунок 2. Распределение анатомических ориентиров на верхней конечности участника исследования

Затем, используя электронные весы тензометрического типа с мягкой петлёй (массой которой можно пренебречь), плавно поднималась пассивная рука участника до положения, при котором она фиксировалась горизонтально (перпендикулярно оси туловища, в супинированном положении, угол относительно вертикальной оси – 90⁰). Петля весов последовательно устанавливалась в двух точках: в точке Е (на расстоянии d₁ от точки О) и в точке, соответствующей середине расстояния d₁ (точка K, удаленная от точки О на расстоянии d₂). В каждом положении фиксировалось показание весов (F₁ и F₂ соответственно) с точностью до 0,01 кг (рисунок 3, рисунок 4).

Рисунок 3. Момент измерения массы верхней конечности участника в точке Е

Рисунок 4. Момент измерения массы верхней конечности участника в точке K

Учитывая, что измерения проводились в статических условиях, показания весов в килограммах интерпретировались как килограмм-сила (кгс). Для перевода полученных значений момента в систему СИ (Н·м) все рассчитанные величины M, следует умножить на 9,81 м/с² (g). Для каждой точки приложения рассчитывался статический момент: M₁ = F₁ · d₁ и M₂ = F₂ · d₂. Для оценки симметрии развития аналогичные измерения проводились как для правой, так и для левой верхней конечности. Разница в показателях между  конечностями (фактически, асимметрия) рассчитывалась как абсолютная разность полученных моментов, отнесённая к их среднему значению, выраженная в процентах (см. комментарий к таблице 2).

Результаты и их обсуждение. Ключевым критерием корректности предложенной методики являлась сходимость результатов, полученных при расчете М в двух различных точках (d₁ и d₂). В идеальных условиях, при строго горизонтальном положении верхней конечности и вертикальном направлении вектора силы, произведение силы на плечо должно быть одинаковым для обеих точек (M₁ = M₂), поскольку оно отражает один и тот же статический момент силы тяжести конечности. Результаты проведенных измерений и расчетов отражены в таблицах (таблица 1, таблица 2).

Таблица 1.

«Измерение моментов силы на расстоянии d(1) и d(2) правой и левой верхней конечностей»

Комментарий: d(1) – расстояние от точки О до точки Е (в метрах), d(2) – расстояние от точки О до точки К (в метрах); F(1) – показания весов на расстоянии d(1) (в килограммах, далее в расчетах это же число подразумевалось как килограмм-сила (кгс), F(2) – аналогично на расстоянии d(2); dex, sin – обозначение стороны («право» и «лево» соответственно).

Таблица 2

«Расчет моментов силы (М) для правой и левой верхней конечности»

Комментарий: Момент силы тяжести (М) рассчитывался как среднее значение, между М(1) = F(1)*d(1) и M(2)=F(2)*d(2). Так как в идеальных условиях М(1)=М(2), был рассчитан процент погрешности (разницы) между М(1) и М(2) – модуль выражения ((М(1) – М(2))/М(2))*100%. Процент разницы (асимметрии) между М для правой и левой верхней конечности был рассчитан как модуль выражения    .

Анализ индивидуальных значений погрешности, рассчитанной как относительная разница между моментами, полученными для двух точек, показал, что для правой руки значения погрешности варьировали от 4,37% до 18,77%, для левой – от 6,96% до 20,60%. Средняя погрешность для правой руки составила 13,1%, для левой – 12,5%. Наибольший разброс наблюдался у отдельных испытуемых, что может быть связано с трудностью точного позиционирования ремня весов или с неполным расслаблением мышц, особенно для доминантной конечности. Тем не менее, в целом полученные значения свидетельствуют о приемлемой воспроизводимости результатов и подтверждают адекватность модели жесткой однородной балки для описания верхней конечности в условиях эксперимента даже на такой относительно малой выборке.

Средние значения статического момента для правой и левой руки, рассчитанные по индивидуальным данным, составили: для правой конечности – 0,567 кгс·м, для левой – 0,574 кгс·м. Различие между средними величинами не превышает 1,2%, что указывает на отсутствие систематического смещения в группе в целом. Индивидуальные значения момента варьировали в широком диапазоне: от 0,34 кгс·м до 1,0 кгс·м для правой руки и от 0,32 кгс·м до 0,95 кгс·м для левой. Такой разброс отражает индивидуальные антропометрические особенности испытуемых, такие как тотальные размеры тела, развитость мускулатуры и распределение жировой ткани, и согласуется с данными литературы о значительной межиндивидуальной изменчивости компонентного состава тела в юношеском возрасте [5].

Для ответа на вопрос  «существует ли статистически значимая внутрииндивидуальная асимметрия между правой и левой рукой» был применен критерий Уилкоксона (Wilcoxon test) для связанных выборок. Данный непараметрический критерий выбран, поскольку он не требует предположения о нормальности распределения разностей парных наблюдений и устойчив к возможным выбросам. В качестве исходных данных использовались пары значений средних моментов для каждого из 13 участников. Рассчитанное значение критерия составило W = 44. Для выборки объёмом n = 13 при двустороннем уровне значимости p = 0,05 критическое значение Wкр составляет 21. Поскольку W = 44 (больше, чем W(кр) = 21), нулевая гипотеза не отвергается. То есть наблюдаемые различия между аналогичными показателями для правой и левой руки статистически не значимы (p > 0,05). Это вполне ожидаемо, поскольку у лиц, не занимающихся асимметричными видами спорта и не имеющих неврологических или ортопедических нарушений, присутствующие индивидуальные колебания, наблюдаемые в выборке, будут носить скорее случайный или сугубо внутрииндивидуальный характер и не сформируют выраженного направленного сдвига в пользу какой-либо из сторон относительно всей выборки в целом.

Заключение. В ходе проведенного исследования на небольшой выборке практически здоровых лиц юношеского возраста была разработана и апробирована методика определения статического момента силы тяжести верхней конечности, позволяющая перейти от принципиально неразрешимой задачи определения массы (веса) конечности без знания положения её фактического центра масс к измерению непосредственно доступной и биомеханически значимой величины. Предложенная двухточечная схема измерений в целом подтвердила свою применимость, несмотря на выявленные погрешности измеренных моментов в точках d₁ и d₂. Это указывает на необходимость тщательного контроля условий проводимых измерений и учёта возможных ошибок интерпретации результатов при некорректном позиционировании или недостаточном расслаблении мышц плечевого пояса. Проведённое исследование на группе здоровых девушек-правшей юношеского возраста также показало, что внутрииндивидуальная асимметрия среди средних статических моментов силы тяжести между правой и левой верхней конечностью внутри исследованной выборки статистически не значима (W = 44 (больше, чем W(кр) = 21), p > 0,05). Выявленная значительная межиндивидуальная вариабельность средних значений момента силы тяжести свидетельствует о необходимости персонализированного подхода в биомеханических расчётах и ограниченной применимости усреднённых популяционных данных.

Список литературы:

1. Zatsiorsky, V.M. Biomechanics of Skeletal Muscles / V.M. Zatsiorsky, B.I. Prilutsky – United States of America, Champaign: Human Kinetics, 2012. – 536 p.
2. Загревский В.И. Влияние изменения масс-инерционных характеристик моделируемой биосистемы на биомеханические параметры большого оборота назад на перекладине / Загревсикй В.И., Загревский О.И. // Российский журнал биомеханики – 2005 – 9(1) – С. 96-108.
3. Саад С. Динамическая модель верхних конечностей и ее применение: систематический обзор / Саад С., Ибрагим Н., Осман Н.А.А.  // Российский журнал биомеханики. – 2023. – Т. 27, № 1. – С. 87–97.
4. Мартиросов Э.Г. Тeхнологии и методы определения состава тела человека / Мартиросов Э.Г., Николаев Д.В., Руднев С.Г. // М.: «Наука», 2006 – 248 с.
5. Семенов А.А. Динамика изменений компонентного состава тела юношей и девушек в период прохождения обучения на первом курсе военного медицинского вуза / Семенов А.А., Гайворонский И.В., Криштоп В.В. // Оренбургский медицинский вестник – 2023 – 1(41) – С. 53-57.
6. Хохлов, Н.А. Опросник функциональной мануальной асимметрии "МГУ-2013" / Н.А. Хохлов, С.П. Большакова, М.С. Ковязина и др. – М.: Генезис, 2013. – 28 с.
7. Каралин, А. Н. Биомеханика плечевого пояса и плечевого сустава / А. Н. Каралин, А. З. Волков // Здравоохранение Чувашии. – 2013. – № 4. – С. 40-43.
8. Исследование амплитуд движений в крупных суставах верхних и нижних конечностей и сочленениях позвоночника при использовании промышленных экзоскелетов / А. М. Герегей, Е. В. Бондарук, И. С. Малахова [и др.] // Российский журнал биомеханики. – 2020. – Т. 24, № 4. – С. 475-490.
9. Зарипова, Ж. Анатомия и физиология плечевого сустава / Ж. Зарипова, А. Джумаева, Д. Рейимова // Научные исследования и разработки 2025 : сборник статей Международной научно-практической конференции, Пенза, 23 января 2025 года. – Пенза: Наука и Просвещение (ИП Гуляев Г.Ю.), 2025. – С. 217-219.
10. Асимметрия мышечной массы отдельных сегментов тела у волейболистов в зависимости от спортивного стажа / Р. В. Кучин, Н. Д. Нененко, Н. В. Черницына, М. В. Стогов // Теория и практика физической культуры. – 2022. – № 2. – С. 86-87.

References:

1. Zatsiorsky, V.M. Biomechanics of Skeletal Muscles / V.M. Zatsiorsky, B.I. Prilutsky – United States of America, Champaign: Human Kinetics, 2012. – 536 p.
2. Zagrevsky, V.I. The influence of the variations of modelled biosystem inertional characteristics on biomechanical parameters of the horizontal bar grand circle backward / Zagrevsky V.I., Zagrevsky O.I. // Russian Journal of Biomechanics – 2005 – 9(1) – P. 96-108. (In Russ.)
3. Saad, S. Dynamic model of upper extremity and its application: a systematic review / Saad S., Ibrahim N., Osman N.A.A. // Russian Journal of Biomechanics – 2023. – Vol. 27, № 1. – P. 87–97. DOI: 10.15593/RJBiomech/2023.1.08 (In Russ.)
4. Martirosov, E.G. Technologies and methods of human body composition assessment / Martirosov E.G., Nikolaev D.V., Rudnev S.G.. — M.: Nauka, 2006. — 248 p. — ISBN 5-02-035624-7. (In Russ.)
5. Semenov, A.A. Dynamics of changes in the component composition of the body of boys and girls in the period of training in the first year of a military medical university / Semenov A.A. Gaivoronsky I.V., Chrishtop V.V. // Orenburg Medical Bulletin. – 2023. – Vol.11, №1(41). – P. 53-57. (In Russ.)
6. Khokhlov, N.A. Functional manual asymmetry questionnaire "MSU-2013": methodological guide / Khokhlov N.A. Bol'shakova S.P., Kovyazina M S., Enikolopova E.V. – Moscow: Genesis – 2013. – 28 p. (In Russ.)
7. Karalin, A.N. The biomechanics of the shoulder girdle and shoulder joint / Karalin A.N., Volkov A.Z. // Health care of Chuvashia – 2013. – № 4. – P. 40-43. (In Russ.)
8. Geregey, A.M. Study of motion amplitudes in large joints of upper and lower limbs and spine joints when using industrial exoskeletons / Geregey A.M., Bondarchuk E.V., Malahova I.S. [et al.] // Russian Journal of Biomechanics – 2020. – Vol. 24, № 4. – P. 475-490. DOI 10.15593/RZhBiomeh/2020.4.06. (In Russ.)
9. Zaripova, J. Anatomy and physiology of the shoulder joint / Zaripova J., Jumayeva A., Reyimova J. // Nauchnyye issledovaniya i razrabotki 2025: Sbornik statey Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii – Penza: Nauka i Prosveshcheniye (IP Gulyaev G.Yu.) – P. 217–219.  EDN DZMANW. (In Russ.)
10. Kuchin, R.V. Muscle mass asymmetry rating in body segments versus sports experience of junior volleyball players / Kuchin R.V., Nenenko N.D., Chernitsyna N.V., Stogov M.V. // Theory and Practice of Physical Culture – 2022. – № 2. – P. 86-87. EDN YJRLTY. (In Russ.)