РАСЧЁТ ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛЫ ВОДОРОДА В РАМКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

АННОТАЦИЯ

Данная работа относится к области физической химии. При помощи формул электрической ёмкости и электрической энергии сферического конденсатора из классической электродинамики в работе рассчитан диаметр молекулы водорода, форма которой близка к сферической. Также в ходе вычислений были использованы энергия Хартри (абсолютное значение электрической потенциальной энергии атома водорода) и энергия диссоциации молекулы водорода. Полученный в работе диаметр молекулы водорода (1,8 Å) близок к так называемому кинетическому диаметру, определённому через длину свободного пробега молекулы (2,3 Å).

ABSTRACT

This work is related to the field of physical chemistry. Using formulas of electric capacity and electric energy of spherical capacitor from classical electrodynamics, the diameter of hydrogen molecule whose shape is almost spherical has been calculated. The Hartree energy (the absolute value of the hydrogen atom electric potential energy) and the hydrogen molecule dissociation energy have been taken into account in the calculations as well.  The hydrogen molecule diameter obtained in the work (1,8 Å) is a close to the so-called kinetic diameter, defined through mean free path of the molecule (2,3 Å).

Ключевые слова: молекула водорода, эффективный диаметр, энергия Хартри, энергия диссоциации молекулы, ёмкость сферического конденсатора, энергия конденсатора, теорема вириала, длина свободного пробега молекулы.

Keywords: molecular hydrogen, effective molecular diameter, Hartree energy, bond-dissociation energy, capacity of a spherical capacitor, capacitor energy, virial theorem, mean free path.

Введение

Молекула водорода является простейшей двухатомной молекулой с ковалентной неполярной химической связью [2]. Достаточно точно вычислены среднее межъядерное расстояние в молекуле водорода [9], а также энергия диссоциации молекулы [6] (то есть энергия, необходимая для диссоциации одной молекулы, не находящейся во взаимодействии с другими молекулами). Однако размеры молекулы водорода известны недостаточно точно. Эффективный диаметр молекулы водорода принято оценивать по длине свободного пробега молекулы [1] (расстоянию, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями).

Средняя длина свободного пробега молекулы водорода определяется по формуле:

,                                                                              (1)

где  n – концентрация молекул водорода, которую можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона:    

                                                                                     (2)

(p – давление водорода, равное 10⁵ Па; T – температура водорода по абсолютной шкале, равная 273 К; k = 1,38 · 10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана).

Подставив концентрацию молекул водорода в формулу средней длины свободного пробега молекулы водорода, можно найти диаметр молекулы:

                                                                             (3)

При длине свободного пробега = 0,16 мкм диаметр молекулы водорода равен   d = 23·10^-11 м = 2,3 Å.

Целью данной работы является расчёт эффективного диаметра молекулы водорода принципиально новым способом.

Метод состоит в использовании положений квантовой физики (энергия Хартри), теоретической физики (теорема вириала), экспериментальной химии (энергия диссоциации молекулы водорода), классической физики (электрическая энергия и ёмкость конденсатора), Евклидовой геометрии (обоснованное приближение формы молекулы водорода сферой).

Расчет эффективного диаметра молекулы водорода

 (Энергия Хартри) – потенциальная энергия атома водорода в основном состоянии, равная 27,211 эВ [12; 11] (речь идет о модуле этой энергии). Применим теорему вириала [8], имеющую широкое применение в квантовой химии [4]. Согласно теореме о вириале для случая электрического поля (для которого потенциальная энергия взаимодействия заряженных частиц обратно пропорциональна первой степени расстояния между ними) средняя кинетическая энергия системы равна половине модуля средней отрицательной потенциальной энергии. Тогда полная энергия системы равна половине потенциальной энергии. По теореме о вириале модуль полной энергии атома водорода будет равен

                                                                              (4)

Тогда модуль полной энергии молекулы водорода будет складываться из двух полных энергий атома водорода (их абсолютных значений) и энергии диссоциации молекулы водорода:

,          (5)

где   = 4,477 эВ – энергия диссоциации молекулы водорода.

По теореме о вириале потенциальная энергия молекулы водорода равна удвоенной полной энергии молекулы водорода:

                                                  (6)

Отношение потенциальных энергий молекулы водорода и атома водорода будет равно:

                                                             (7)

С другой стороны, атом водорода и молекулу водорода можно представить в виде сферических конденсаторов. Равновесное межатомное расстояние в молекуле водорода, равное 0,74 Å, превышает боровский радиус, равный 0,53 Å. Это означает глубокое перекрытие электронных облаков атома. Поэтому форма граничной поверхности общего электронного облака молекулы близка к сферической. Используя формулы энергии заряженного сферического конденсатора [3] и электрической ёмкости сферического конденсатора [7], запишем потенциальные энергии для атома и молекулы водорода в виде:

 потенциальная энергия атома водорода,                           (8)

где  e – заряд электрона,  – электрическая ёмкость атома водорода, равная

                                                                          (9)

 – электрическая постоянная,  – боровский радиус [10]).

Подставив электрическую ёмкость атома водорода в формулу потенциальной энергии атома водорода, получим:

                                                                        (10)

Потенциальная энергия молекулы водорода будет равна:

                                                                       (11)

где  e – заряд электрона,  – электрическая ёмкость молекулы водорода, равная

                                                                    (12)

(d – эффективный диаметр молекулы водорода).

Подставив электрическую ёмкость молекулы водорода в формулу потенциальной энергии молекулы водорода, получим:

                                                                  (13)

Найдём отношение потенциальных энергий молекулы водорода и атома водорода:

                                          (14)

Тогда эффективный диаметр молекулы водорода равен:

                                            (15)

Полученное значение диаметра молекулы водорода близко к значению, вычисленному по формуле (3), а полученное значение полной энергии молекулы очень близко к значениям, полученными другими методами [5].

Заключение

 Молекула водорода является квантово-механической системой, однако нелинейные эффекты квантовой электродинамики существенны на маленьких расстояниях, сравнимых с комптоновской длиной волны электрона. Поэтому в работе был проведён расчёт диаметра молекулы водорода с использованием методов классической электродинамики. Это позволило получить результат, близкий к общепринятому, что подтверждает корректность применённых методов.

Список литературы:

1. Алешкевич В.А. Курс общей физики. Молекулярная физика. – М. : Физматлит, 2016. – С. 281–283.
2. Барковский Е.В., Ткачев С.В., Петрушенко Л.Г. Общая химия. – Минск : Вышэйшая школа, 2013. – С. 58.
3. Бобрович О.Г., Тульев В.В. Физика в 5 ч. Ч. 2. Электростатика. Постоянный электрический ток. – Минск : БГТУ, 2011. – С. 57.
4. Ермаков А.И. Квантовая механика и квантовая химия. Ч. 2. Квантовая химия : учебник и практикум для вузов. – М. :  Юрайт, 2022. – С. 14.
5. Институт теоретической химии / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://itchem.ru/energiya_molekuly_vodoroda.
6. Никольский Б.П., Рабинович В.А. Справочник химика. Т. 1. Общие сведения. Строение вещества. Свойства важнейших веществ. Лабораторная техника. –  М. –Л. : Химия, 1966. – С. 338.
7. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика : учеб. пособие. – М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. – С. 93.
8. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. – М. : Физматлит, 2005. – C. 148.
9. Стась Н.Ф. Справочник по общей и неорганической химии : учеб. пособие. – Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – С. 26.
10. URL: https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bohrrada0.
11. URL: https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hrev.
12. WolframAlpha / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hartree.