АКТУАРНАЯ УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ЧАСТОТЫ РАСТОРЖЕНИЙ ДОГОВОРОВ СТРАХОВАНИЯ

АННОТАЦИЯ

В результате проведенной работы предложена модель оценки резервов на примере упрощенной модели частоты расторжений договоров страхования. Данная модель позволит актуариям детализировать прогноз расторжений договоров страхования по периодам заключения и уточнить расчет математического ожидания количества будущих расторжений по уже заключенным договорам. Также сфера применения может быть расширена на другие актуарные задачи (например, резервирование убытков по договорам, действие которых началось).

ABSTRACT

As a result of the work carried out, a model for assessing reserves was proposed based on a simplified model of the period of termination of insurance contracts. This model will allow actuaries to make a forecast of the termination of insurance contracts by periods of conclusion and to clarify the calculation of the mathematical expectation of future terminations for already concluded contracts. In addition, the scope of application can be expanded to other actuarial tasks (for example, reserving losses under contracts that have commenced).

Ключевые слова: актуарные расчеты, резерв убытков, обобщенная линейная модель, вероятность расторжения, частота расторжений, оценка резервов, актуарная математика, математическое ожидание.

Keywords: actuarial calculations, reserve of losses, generalized linear model, probability of termination, frequency of termination, estimation of reserves, actuarial mathematics, mathematical expectation.

Введение

Существующие актуарные методы оценки резервов убытков основаны на статистических «треугольниках» развития убытков. Эти методы интересны в плане их развития и трансформации с учетом меняющихся экономических реалий. Данные методы рассматриваются в рамках существовавшей на момент их интенсивного развития концепции в системе координат «период события – период развития выплат», и они предполагают наличие одинаковых объемов риска в каждом периоде развития.

Так, например, у Т. Мака описана простейшая базовая модель независимых нормированных приращений убытков с математическим ожиданием (1) [2, c. 205]:

,                                   (1)

где  – математическое ожидание нормированного приращения убытков в периоде развития с номером ,

 - нормированное приращение убытков от периода события с номером  в периоде развития с номером ,

 – объем риска в периоде события с номером ,

 – оператор математического ожидания.

,                                  (2)

 – параметр, характеризующий дисперсию приращения убытка единичного риска из всего объема в периоде развития с номером ,

 – оператор дисперсии.

Если описывать постулаты (1,2)  словами, то предполагается, что нормированное приращение убытков для периода развития с номером  имеет одинаковое для всех периодов событий распределение вероятности с математическим ожиданием  и дисперсией . То есть дисперсии нормированных приращений убытков отличаются по периодам событий только из-за различий в объемах риска. При этом дисперсия «условного» единичного риска  всегда постоянна и одинакова для всех рисков объема.

В терминах треугольника развития убытков, применяемого в актуарной практике, эта ситуация представлена в табл.1,2.

Таблица 1.

Треугольник развития убытков

Таблица 2.

Треугольник объемов риска по периодам развития убытков

Как наглядно видно из табл.2, объемы риска одинаковы в каждой «ячейке» треугольника развития убытков для одного периода события.

Очевидно, что данные методы неприменимы в ситуации, когда необходимо смоделировать приращения некоей величины  в условиях, при которых объемы  меняются в рамках одной «строки» треугольника развития.

Пример такой практической задачи: прогнозирование частоты расторжений договоров страхования. 

Часть I. Моделирование частоты расторжений договоров страхования по треугольникам развития расторжений. Упрощенная модель

В качестве системы координат здесь предлагается выбирать «период заключения по договорам (календарный год, квартал, месяц) – период развития расторжений договоров».

Теоретические вводные.

1.  – количество расторжений договоров страхования, заключенных в периоде с номером  (3):

,                                   (3)

 – приращение количества расторжений договоров от периода с номером  в периоде развития с номером .

2.  – объем риска на начало периода развития с номером  от периода заключения договоров с номером  (количество не расторгнутых договоров страхования, на начало периода ).

3.

,                                 (4)

где  – математическое ожидание нормированного на объем риска приращения количества расторжений в периоде развития с номером .

4.

,                             (5)

 – параметр, характеризующий дисперсию бинарной величины единичного риска из всего объема в периоде развития с номером ,

 – оператор дисперсии.

Введем обозначение (6):

,                                                   (6)

 – нормированное на объем риска приращение количества расторжений договоров от периода с номером  в периоде развития с номером . Назовем этот показатель «частота расторжений» договоров от периода с номером  в периоде развития с номером .

Предположение 1. Пусть ,…,…, независимые случайные величины с математическими ожиданиями ,…,… и дисперсиями ,.. ,….

Необходимо отметить, что для периодов развития  объем риска в момент оценки известен только для периодов . Это количество не расторгнутых договоров по периодам их заключения на конец общего периода наблюдений. Рассмотрим динамику объемов  в зависимости от , учитывая, что количество не расторгнутых договоров на начало периода уменьшается с каждым периодом развития на количество расторжений предыдущего периода.

.                 (7)

Таким образом для любой пары периода заключения и развития с номером  справедливо:

.     (8)

Задача прогноза будущих расторжений может быть сформулирована в виде (9).

(9)

Из предположения 1 следует (10):

.                   (10)

Рассмотрим математическое ожидание объемов риска и ковариацию из второго уравнения выражения (9). Принимая во внимание (10), математическое ожидание:

. (11)

Из предположения 1 следует, что ковариация:

. (12)

Таким образом выражение (9) для ожидаемого объема расторжений от параметров, требующих оценки, можно записать в виде (13):

.       (13)

То есть из (13) следует, что задача оценки будущих расторжений сводится фактически к оценке вектора параметров ,…,….

В рамках данной упрощенной модели в качестве оценки параметра для конкретного периода развития предлагается использовать оценку (14):

.                                       (14)

Оценка (14) является несмещенной. Показано ниже (15):

.     (15)

Оценка (14) является состоятельной. Показано ниже (16):

.     (16)

Из выражения (16) видно, что при росте объема  дисперсия оценки  строго убывает и стремится к нулю при стремлении  к бесконечности, что с учетом неравенства Чебышева доказывает состоятельность несмещенной оценки [1, С. 301]. 

Часть II. Пример применения упрощенной модели

Рассмотрим пример практической реализации модели. Допустим имеется статистика по расторжениям долгосрочных договоров в зависимости от года заключения договора и года, в котором договоры были расторгнуты (пример условный, в качестве интервала времени может браться месяц или квартал, а статистика не ограничиваться долгосрочными договорами).

Таблица 3.

Данные о расторжениях долгосрочных договоров страхования

Поля таблицы, выделенные серым, приводятся как данные. «Не тонированная» часть вычислена.

На следующем этапе формируются «треугольники» развития расторжений и объемов риска.

Таблица 4.

«Треугольник» развития расторжений

Таблица 5.

«Треугольник» объемов риска

Вектор оценок  можно получить сразу делением строки итога табл.4 на строку итога табл.5.

Получаем табл.6.

Таблица 6.

Вектор оценок

Далее для выполнения прогноза высчитываем объемы риска на конец общего периода наблюдений  в целях применения формулы (13), вычитая из побочной диагонали «треугольника» объемов риска побочную диагональ «треугольника» развития расторжений.

Таблица 7.

Итоговая таблица прогноза количества расторжений

В табл.7 по столбцу «Общий итог» вычислены прогнозные расторжения договоров по годам их заключения. Результаты расчетов по формуле (13) приведены в виде заполненных элементов квадратной матрицы размерностью четыре ниже побочной диагонали.

Выводы

В результате проведенной работы предложена модель оценки резервов на примере упрощенной модели частоты расторжений договоров страхования. Данная модель позволит актуариям детализировать прогноз расторжений договоров страхования по периодам заключения и уточнить расчет математического ожидания количества будущих расторжений по уже заключенным договорам. Также сфера применения может быть расширена на другие актуарные задачи (например, резервирование убытков по договорам, действие которых началось). Разработанная модель названа упрощенной, так как не предполагает никакой дифференциации в прогнозах частоты расторжений по периодам заключения договоров. Хотя такая детализация возможна. В качестве продолжения исследований в рамках данной тематики будет рассмотрена обобщенная линейная модель частоты расторжений договоров страхования с периодом заключения договоров в качестве фактора.

Список литературы:

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 С.
2. Мак Т. Математика рискового страхования. – М.: Олимп-Бизнес, 2005. – 432 С.