Nonlinear deformation model for strength assessment of a prestressed centrally compressed member subjected to bending based on its normal cross-section

УДК 621.315

Аннотация

Предлагается практический метод оценки прочности нормальных сечений предварительно напряженных конструкций по нелинейной деформационной модели, основанный на нормативных диаграммах деформирования материалов и способа итерационных процедур. Спецификой метода оценки прочности нормальных сечений элемента по нелинейной деформационной модели является переход от несложных зависимостей метода расчета по предельным состояниям, построенных на эмпирических формулах, на деформационную модель расчета прочности конструкций, основанный на диаграммах деформирования бетона и арматуры. В деформационным методе расчета переменной величиной является положение нейтральной линии, связанное с жесткостью конструкции, из-за чего возникают трудности в решении нелинейных уравнений, для упрощения решений которых можно использовать численный метод последовательных приближений. Универсальность деформационной модели заключается в возможности проведения контрольных тестов, например, для верификации конструктивных расчетов в стадии проектирования. Рассматриваемый деформационный метод оценки несущей способности преднапряженных элементов допускает контроль за изменением напряженно-деформированного состояния нормального сечения от начала загружения до момента разрушения, а также дает возможность выяснить признак потери несущей способности элемента – «по бетону или арматуре». Прикладные возможности предлагаемого метода установлены на примере оценки прочности нормального сечения предварительно напряженной стойки безопалубочного формования для опор высоковольтных линий, которая эксплуатируется как консольная балка при действии знакопеременных моментов. Цель исследования – прикладное применение нелинейной деформационной модели в практике проектирования при оценке прочности нормальных сечений предварительно напряженных изгибаемых элементов итерационными процедурами в вычислительной среде Microsoft Excel.

Abstract

A practical method for assessing the strength of normal cross-sections of prestressed structures using a nonlinear deformation model is proposed. The method is based on standard stress–strain diagrams for structural materials and iterative procedures. The specific feature of the proposed method for assessing the strength of normal cross-sections is the transition from relatively simple limit-state design relationships based on empirical formulas to a deformation-based approach for structural strength analysis using stress–strain diagrams for concrete and reinforcement.

In the deformation-based method, the variable parameter is the position of the neutral axis, which is related to the stiffness of the structure. This results in difficulties in solving nonlinear equations; therefore, a numerical method of successive approximations can be used to simplify their solution. The versatility of the deformation model lies in its ability to perform verification tests, for example, to validate structural design calculations at the design stage.

The considered deformation-based method for assessing the load-bearing capacity of prestressed members makes it possible to monitor changes in the stress–strain state of a normal cross-section from the beginning of loading to failure. It also makes it possible to identify the mode of loss of load-bearing capacity of the member, i.e., whether failure occurs due to concrete or reinforcement.

The practical applicability of the proposed method is demonstrated by assessing the strength of the normal cross-section of a prestressed pole manufactured by a formwork-free production method for high-voltage transmission line supports. The pole operates as a cantilever beam under the action of alternating bending moments.

The aim of the study is the practical application of the nonlinear deformation model in design practice for assessing the strength of normal cross-sections of prestressed bending members using iterative procedures in the Microsoft Excel computational environment.

Ключевые слова: железобетон; деформация; напряжение; модуль деформации; центр тяжести; кривизна; итерационные процедуры.

Keywords: reinforced concrete; strain; stress; deformation modulus; center of gravity; curvature; iterative procedures.

Введение

В нормативных документах [13, с. 30; 11, с. 17-19] предусматриваются два метода к расчету прочности нормального сечения обычных и предварительно напряженных железобетонных конструкций:

• по предельным усилиям;
• по нелинейно деформационной модели (НДМ).

Согласно методу предельных усилий, прочность элемента считается обеспеченной, если усилие от внешних нагрузок и воздействий, в том числе с учетом предварительного напряжения арматуры не превышает предельного усилия , воспринимаемого элементом в рассматриваемом сечении. Предельным усилием для изгибаемого элемента является предельный момент , который приводит к потере его несущей способности. Одной из предпосылок расчета является представление о равномерном распределении напряжений в бетоне сжатой зоны, где напряжения принимаются равными расчетному сопротивлению бетона сжатию . Такой принцип обеспечивает определение прочности, но не дает возможность вычислить деформации и кривизну сечения элемента. В связи с этим, расчет по деформациям для определения прогиба элемента проводится по непрактичным формулам с большим количеством эмпирических коэффициентов. Основным преимуществом метода расчета по предельным усилиям считается возможность выполнения расчетов с использованием калькулятора.

Основой метода оценки прочности элемента по НДМ является применение диаграмм деформирования бетона и стальной арматуры, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями . Для высокопрочной проволочной арматуры используется трехлинейная диаграмма состояния арматуры с условным пределом текучести [1, с. 26]. Для бетона допустимо использовать аналитические двух-, трехлинейные диаграммы. Такие диаграммы для бетона базируются на основе параметра прочности и соответствующих ему деформациях . Расчеты по НДМ могут осуществляться с использованием программных комплексов, реализующих метод конечных элементов [3, с. 50–51]. Однако создание расчетных моделей является трудоемким процессом, поскольку возникает необходимость моделирования взаимодействия бетона и арматуры и использования достоверных экспериментальных данных для верификации расчетной модели [3, с. 51–53]. Вместе с тем НДМ является практичным методом, позволяющим оценивать эффективность разрабатываемых конструктивных решений [11, с. 128–130]. По сравнению с методом предельных усилий, метод расчета по НДМ допускает контролировать нелинейное изменение напряженно-деформированного состояния сечения не только в предельном, но и в допредельном и запредельном состояниях.

В последние годы к проблеме методики оценки прочности по нормальным сечениям железобетонных конструкций по НДМ проявляется значительный интерес [14, с. 172; 2, с. 18–19; 16, с. 80; 8, с. 93–95; 9, с. 44–46; 10, с. 38–40], так как в нормативных методических документах не имеется способов ее численной реализации, что приводит проектировщиков к затруднениям при определении способа для их решения. Хотя НДМ формально рассматривается как достоверный метод расчета железобетонных элементов, но доказательная база для этого отсутствует [5, с. 128–130; 4, с. 5–7]. В работах [1, с. 51–53; 16, с. 80–83; 8, с. 26–30] отмечается, что расчет железобетонных конструкций по НДМ можно отнести к проверочным методам оценки прочности элемента, что обуславливает значимость рассматриваемой проблемы. НДМ эффективно использовать тогда, когда уже проведен расчет конструкции по предельным усилиям, а также при известных расчетных параметрах (геометрия сечения, классы бетона и арматуры, эксплуатационные нагрузки и воздействия). В дальнейшем представляется перспективным использование НДМ для единого расчета железобетонных элементов, в том числе предварительно напряженных, по различным группам предельных состояний [17, с. 13-14].

При оценке прочности на основе НДМ учитывается нелинейное деформирование бетона и арматуры, а численная реализация модели позволяет более детально оценивать напряженно-деформированное состояние и несущую способность железобетонных элементов [2, с. 144–149], создавая основу для безопасного и рационального проектирования конструкций [19, с. 211–212; 18, с. 605–614]. При этом применяется итерационный метод вычислений. Задача итерационных вычислений состоит в определении значений относительных деформаций в бетоне растянутой и сжатой зон и арматуре, при которых определяется кривизна сечения элемента [12, с. 22–24; 14, с. 164–166]. Кривизна сечения определяется с учетом изменения деформационных характеристик бетона и арматуры [14, с. 165–166; 15, с. 172–174]. При каждой итерации уточняется положение нейтральной линии. Критерием оценки прочности по НДМ является величина относительных деформаций бетона сжатой зоны и арматуры растянутой зоны, полученных расчетным путем, и сравнение их с критериальными параметрами, допускаемыми нормами.

Для численной реализации оценки прочности нормальных сечений железобетонных конструкций по НДМ применима программа Microsoft Excel с использованием VBA (язык программирования Visual Basic for Applications), прикладное использование которого описано в работе [20, с. 1-2].

Объектом расчетно-аналитического исследования является предварительно напряженная центрально-обжатая стойка для опор высоковольтных линий для напряжений 0,4 – 10 кВ, производимая по технологии стендового безопалубочного формования, и работающая как консольная балка при действии знакопеременного момента [6, с. 50-51].

Характерной особенностью предварительно напряженных центрально-обжатых элементов (), работающих на изгиб, является сниженная величина предельной прочности сечения, по сравнению с предварительно напряженными изгибаемыми элементами, у которых обычно значение составляет (0…0,2) .

Анализ ориентировочных (оценочных) численных примеров расчета прочности стоек, армированных только напрягаемой проволочной арматурой класса , показал следующее: чем больше величина армирования сжатой зоны сечения по отношению к количеству арматуры растянутой зоны, тем меньше несущая способность стойки. На рис. 1 приведен график зависимости предельной несущей способности стойки от значения соотношения площадей сечения арматуры сжатой и растянутой зон сечения (. График показывает, что при высоких уровнях соотношений площади сечения арматуры сжатой зоны относительно арматуры растянутой зоны показатели прочности (несущей способности) стойки уменьшенные.

Такая закономерность расчетной оценки прочности изгибаемых элементов с высокими уровнями обжатия бетона элементов напрягаемой арматурой, показывает, что в таких случаях, есть вероятность неоправданного риска, т.е. угрозы аварийности с непредсказуемыми последствиями. Поэтому такой «негативный» фактор следует учитывать при расчете предварительно напряженных изгибаемых элементов, армированных только двойной ненапрягаемой арматурой (особенно, когда при проектировании имеется необходимость принятия решения о высоком уровне обжатия напрягаемой арматурой не только растянутой от внешней нагрузки зоны, но и сжатой зоны сечения элемента).

График показывает, что с увеличением соотношения показатели прочности стойки снижаются. Отношение (при

, где количество стержней в сжатой и растянутой зонах ) к (при n ) составляет 0,682 – снижение прочности на 31,8%.

Учитывая такой фактор, определена зависимость изменения при увеличении количества арматуры для схемы симметричного армирования (рис. 2).

Вышеотмеченные факторы также повышают интерес к использованию НДМ для практической оценки прочности предварительно напряженных центрально-обжатых элементов, работающих на изгиб.

Цель исследования – практическое применение НДМ при оценке прочности по нормальным сечениям предварительно напряженных изгибаемых элементов в вычислительной среде Microsoft Excel.

Материалы

Поперечное сечение стоек стендового безопалубочного формования представляет собой трапецию, у которой размер верхнего основания меньше нижнего, что способствует сохранению конфигурации свежеотформованного бетона стоек при изготовлении безопалубочным формованием.

Трапецеидальное сечение стойки приводится к прямоугольному сечению, у которого ширина принимается равной меньшему значению основания трапеции (), в связи с тем, что стойка испытывает знакопеременный момент от действия внешних нагрузок (рис. 3).

Исходные данные

Бетон класса В40: ; ; Арматура класса .

усилие от предварительного напряжения арматуры;

момент от усилия обжатия;

прочность нормального сечения, рассчитанный по предельным усилиям (.

момент, воспринимаемый сечением, без момента , возникающего от усилия обжатия.

краевые напряжения в бетоне при обжатии усилием P₍₂₎

напряжения в арматурных стержнях после всех потерь.

На рис. 4 показана схема напряженно-деформированного состояния после обжатия стойки предварительно напряженной арматурой (после всех потерь напряжения в арматуре).

Методы исследования

При оценке прочности сечений по НДМ предусматривается дискретизация поперечного сечения элемента, т. е. бетонное сечение условно разбивается по высоте на малые участки (рис. 5). По такому же принципу в армировании выделяются отдельные стержни с своей площадью сечения. Напряжения в пределах малых участков принимаются усредненными (равномерно распределенными по высоте).

Поскольку, модуль деформаций переменный показатель, то с увеличением действия нагрузки на элемент значение модуля деформаций снижается (стремится с нулю), а деформации достигают своих предельных значений. Расчет по НДМ показывает более точные значения относительных деформаций и напряжений сжатого бетона и растянутой арматуры, и отчетливо отображает существенные изменения напряженно-деформированного состояния по высоте сечения элемента в форме эпюры нормальных напряжений. Поэтому расчетом по НДМ можно проверить достоверность результатов расчета по предельным усилиям. Исходя из этого, при расчете по НДМ следует знать предельный момент размеры сечения (b x h), диаметр и количество арматурных стержней, а также прочностные и деформационные показатели материалов.

Надо полагать, что при оценке прочности элемента по НДМ при первой итерации, а также изменяющийся при второй и последующих итерациях модуль деформации условно реализует функцию внешней нагрузки при испытаниях этого элемента. По сути, при каждом изменении модуля деформаций материалов, у проектируемого элемента накапливается определенная величина приращений в деформациях, т.е. у рассматриваемого изгибаемого элемента увеличиваются прогибы.

Следует подчеркнуть, что расчеты конструкций как по предельным усилиям, так и по НДМ проводятся с применением гипотезы плоских сечений.

Поперечное сечение стойки разбивается на 20 малых участков (рис. 5). Начало нумерации участков принимается с нижней растянутой зоны сечения. После разбивки определяются расстояния и от нижнего растянутого волокна до центра тяжести всех малых участков бетона и арматуры.

В табл. 1 представлены следующие параметры приведенного сечения стойки для итерационных расчетов: порядковый номер малого участка; соответственно высота, ширина, площадь -го малого участка бетона; расстояние от крайнего волокна нижней растянутой зоны до центра тяжести -го малого участка бетона; модуль деформации бетона, а коэффициент «0,85» принимается к при непродолжительном действии нагрузки – при определении кривизны элемента без трещин в бетоне растянутой зоны; расстояние от крайнего волокна бетона нижней растянутой зоны до центра тяжести -ой арматуры; площадь сечения и модуль упругости -ой арматуры; положение нейтральной линии при -ой итерации.

Таблица 1.

Параметры малых участков приведенного сечения для итерационных расчетов

Для итерационных расчетов используются следующие формулы

Центр тяжести приведенного сечения

Новое положение нейтральной линии определяется при выполнением следующих итерационных процедур

Приведенная площадь сечения

Приведенный статический момент

Новое положение нейтральной линии

(1)

Кривизну элемента определяют по следующей формуле, основанной на известной формуле:

где:

изгибная жесткость приведенного поперечного сечения элемента.

где:

расстояние от нейтральной линии до центра тяжести -го малого участка бетона или арматуры.

Наибольшая (предельная) кривизна элемента обеспечивается при условии

Расчетные деформации малых участков:

где:

и начальные деформации бетона и арматуры от усилия предварительного напряжения на уровне центра -го малого участка бетона и арматуры.

В зависимости от вычисленных деформаций малых участков определяются напряжения в бетоне и арматуре (в сжатой и растянутой зонах сечения). Напряжения и модули деформаций для класса бетона В40 растянутой и сжатой зонах определяются по диаграмме, предложенной на рис.6.

При растянутом бетоне в пределах:

При сжатом бетоне в пределах:

Напряжения и модули деформаций арматуры класса Вр1400 в растянутой и сжатой зонах сечения элемента устанавливается по диаграмме, приведенной на рис. 7. При растяжении арматуры в упругой стадии работы с учетом ее предварительного напряжения, когда деформации устанавливаются в пределах величин:

Если деформации оказываются в пределах

то напряжения определяется из следующего равенства (см. рис. 7)

Наибольшая величина деформаций арматуры при напряжениях близких к критериальной величине (см. рис. 7) устанавливается из следующего равенства

где:

При значениях расчетных деформаций, оказавшихся в пределах

, напряжения и модуль деформаций определяются из равенств:

Следует отметить, что для проволочной арматуры, расположенной в сжатой зоне сечения связь между деформациями и напряжениями при нагружении стойки следующая:

где:

предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь напряжений. При расположении проволочной арматуры в растянутой зоне сечения ():

Проверяется условие прочности по деформациям

где:

предельные нормируемые значения для бетона и арматуры – см. рис. 4 и 5.

Условие прочности по усилиям, воспринимаемыми малыми участками сечения балки, устанавливается по следующей формуле, с использованием соответствующих значений параметров, полученных при итерации, где наибольшая кривизна элемента обеспечивается при условии (3)

Первая итерация проводится при соблюдении условия упругой работы бетона и арматуры в нормальном сечении балки. По формуле (1) определяется новое положение нейтральной линии, хотя фактически при первой итерации центр тяжести всего сечения (положение нейтральной линии) не меняется, т.е. (табл.2). При известном значении нейтральной линии определяются расстояния от нейтральной линии до центра тяжести всех малых участков бетона и арматуры (). По формуле (2) определяется кривизна балки . В конце итерации по формуле (4) вычитаются деформации малых участков с учетом начальных деформаций бетона и арматуры от усилия предварительного напряжения, а затем напряжения малых участков. Вычисленные деформации и напряжения малых участков бетона и арматуры сечения стойки при 1-ой итерации представлены в табл. 2.

Таблица 2.

Первая итерация ( =1)

В начале второй итерации (и всех последующих) определяются модули деформаций в зависимости от вычисленных величин деформаций малых участков при 1-ой итерации, которые используются для определения нового положения нейтральной линии ().

Результаты и обсуждение

Важно отметить, что во 2-ой итерации (табл. 3) положение нейтральной линии относительно высоты сечения снижается, т.е. значение уменьшается. Хотя при имитации нагружения стойки должно увеличиться. Это происходит из-за того, что в 1-ой итерации деформации от нагружения стойки накладываются на деформации от предварительного напряжения, что приводит к снижению значения при 2-ой итерации.

Таблица 3.

Вторая итерация ( =2)

В табл. 4 приведены расчетные значения деформационных характеристик сечения при 9-ой итерации. Здесь кривизна удовлетворяет, которые соответствуют условию прочности по деформациям (3). Значит итерация можно считать последней.

Таблица 4.

Девятая итерация ( =9)

Изменение напряженно-деформированного состояния сечения при имитации 1-го этапа загружения до момента разрушения отражается эпюрами деформаций и напряжений полученных при 1-ой и 9-ой итерациях, приведенных на рис. 9.

Определяется прочность сечения () по формуле (5), используя соответствующие параметры, вычисленные в 9-ой итерации (см. табл.4).

Таким образом, если прочность сечения по методу предельных усилий то прочность сечения, вычисленная по НДМ, равна 35,1кНм.

Опытные испытания двух стоек рассматриваемой конструкции, показали прочность, в среднем, (разрушение по бетону сжатой зоны).

Заключение

1. Прочность нормального сечения стойки по результатам расчета по НДМ согласуется с соответствующей величиной прочности, вычисленных по предельным состояниям, а также с результатами опытных испытаний стоек, что свидетельствует о достоверности рассмотренной инженерной методики расчета железобетонных предварительно напряженных элементов по НДМ на основе итерационных процедур.
2. Представляется, что использование итерационных процедур можно считать простым и эффективным средством в практической реализации, что может оказать существенную помощь проектировщикам, специализация которых связана с железобетонными конструкциями.
3. Предлагаемый деформационный метод оценки прочности предварительно напряженных конструкций на основе итерационных процедур, дает возможность:

• анализировать изменения, происходящие в элементе в процессе возрастания нагрузки, и следить за изменением напряженно-деформированного состояния нормального сечения от начала загружения до момента разрушения;
• учитывать предыдущие нагружения и накопления повреждений (деформаций), что дает более точную оценку работы конструкции;
• автоматизации расчетов для удобства и простоты вычислений – даже с использованием простейших программ (например, MS Excel).

Список литературы

References