Numerical solution of a mixed problem, posed on a vector wave equation in a domain with an angle

АННОТАЦИЯ

Получена априорная оценка в пространстве Соболева решения смешанной задачи для векторного волнового уравнения в угловом пространстве. Получение априорной оценки основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В данной статье построена разностная схема для численного решения смешанной задача для волнового уравнения в области с углом, доказывается её устойчивость.

ABSTRACT

An a priori estimate in the Sobolev space of the solution of the mixed problem for the vector wave equation in angular space is obtained. Obtaining an a priori estimate is based on the construction of a “dissipative energy integral”. In the article a difference scheme for numerical solution of mixed problem for wave equation in wiz corner is constructed. The difference scheme stability is proved.

Ключевые слова: смешанная задача, матрица, разностная схема, устойчивость, комплекс, вектор, условия Лопатинский.

Keywords: mixed problem, matrix, difference scheme, stability, complex, vector, Lopatinskiy terms.

Математико-физические задачи очень обширны и неразрывно связаны с изучением различных физических, механических, биологических и других процессов. Математико-физические уравнения направлены на изучение трех классических: эллиптических, параболических, гиперболических классов. В тех случаях, когда аналитическое выражение решений математико–физических уравнений найти невозможно, приходится находить их числовые решения. Для уравнения векторной волны в угловой области, относящейся к типу симметричных Т-гиперболических уравнений, программа численного решения смешанной задачи используется при изучении задач механики сплошных сред.

Рассмотрим следующую задачу:

Найти решение уравнение векторной волны

в среде  

удовлетворяющее при  

при  

граничным условиям и

начальным условиям.

Здесь -размерные фиксированные комплексные матрицы. В монографии [1] получена априорная оценка решения этих задач. Оценка Априора основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В задачах   полярные координаты  проходят

в области

здесь

 эрмитовые матрицы, которые их любые элементы связаны с .

Построим параметрическую разностную схему, аппроксимирующую смешанную задачу .

Для этого произведём замену  в системе  и напишем в следующей форме:

Умножаем системы - на матрицу  слева. Сложим полученные системы и формируем систему:

На рассматриваемой области построим сетку с соответствующими шагами  по осям.

         Введем следующие обозначения:

Теперь мы построим параметрическое разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение :

da                                 

da                               

da    

Теорема. Предположим, что выполнено ровное условие Лопатинского. Тогда для  разностная схема  будет устойчив при энергетической норме , здесь  

Доказательство.

Вышеперечисленную систему уравнений с правой стороны скалярно умножаем на вектор, который составители состоят из единиц.

здесь  и т.д. Получим уравнения:

Из этих уравнений получаем соотношения

Эту соотношению умножаем на  и сложим по  от 0 до и по  от  до .

Введя обозначение  и принимая во внимание в  получим уравнение

На основе [2] можно доказать неравенство:

А из этого получим соотношение

.

Это полностью доказывает теорему.

В статье показано приближенное решение смешанной задачи поставленного векторного волнового уравнения на угловом пространстве.

Список литературы:

1. Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в координатных областях. Получение априорных оценок для смешанных задач для многомерного волнового уравнения. // Вычислительные технологи. Т.1, № 1,2. 1996, с.13-37, 26-46.
2. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Использование инновационных технологий на уроках информатики// Наука, техника и образование. 2018.10 (51).С. 28-31.
3. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Построениe двухмерных графиков на уроках информатики средствами Excel//ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. 2017. №12(30).
4. Исроилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. 1-қисм.-Тошкент, Ўзбекистон нашриёти, 2003.
5. Исмоилова М.Н., Имомова Ш.М. Интерполяция функции// ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ 2020. №3(81). Часть 3. С5.
6. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// ACADEMY. 2020. № 6(57). C9.
7. Худойберганов М.У. Устойчивость разностных схем для векторного волнового уравнения.//Труды Международной научной конференции. Дифф. урав. частными производными и родственные проблемы анализа и информатики.-Ташкент. 2004, с.305-308.