About calculation of structural elements layed on salted soils

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается вопрос расчета элементов конструкции, уложенных на засолённых грунтах используя нелинейная модель, которая учитывает физико-механические свойства этих грунтов. В рамках этой модели рассматривается расчет прямоугольной пластины методом последующего приближения. 

ABSTRACT

The article discusses the issue of calculating structural elements laid on saline soils using a nonlinear model that takes into account the physical and mechanical properties of these soils. Within the framework of this model, the calculation of a rectangular plate by the method of subsequent approximation is considered.

Ключевые слова: засолённых грунт, расчетной модель, нелинейная модель, дифференциальное уравнение изгиба пластин, метод малых параметров.

Keywords: saline soils, computational model, nonlinear model, differential equation of plate bending, method of small parameters.

Известно, что одна из важнейших задач теории расчета конструкций – разработка теории, в большей степени отвечающая действительным физико-механическим свойствам грунтов. Учесть эти весьма сложные механические свойства грунтов практически полностью нельзя. Поэтому приходится вводить значительную схематизацию природных механических процессов, протекающих в грунтах, что возможно после замены основания сооружением некоторой расчетной механической моделью /1/.

Выбор модели является важным этапом проектирования любой конструкции на грунтовом основании, так как от степени соответствия модели действительному основанию  зависит степень достоверности расчета, следовательно надежность и долговечность сооружения.

При расчете систем на упругом основании традиционно применяются модель Винклера-Фаусса-Циммерона, или ее простейшие обощения – модель  Рейсснера-Власова-Филоменко-Бородича /2/.

Такие модели приемлемы для малых перемещений. При больших перемещениях имеются некоторые отклонения от действительности. В большинстве случаев эти отклонения существенные /3/. Одной из моделей, учитывающая эти недостатки,  является нелинейная модель типа /3/.

где

p -   отпор основания

ω -   перемещение системы

A₁ и А₂    -   коэффициенты, зависящие от физико-механических свойств грунта.

Ниже в рамках этой модели рассматривается расчет прямоугольной пластины  с размерами а,b   шарнирно опертую по оси  x   и жестко заделенную по оси   у    на пластину.

В этом случае дифференциальное уравнение изгиба пластин имеет вид /4/

где

D  -  цилиндрическая жесткость  пластины

Здесь

E - модуль упругости;

д - толщина пластины;

н - коэффициент Пуассона;

Ñ  - оператор Лапласа от двух переменных;

q - нагрузка действующая на пластину.

Подставляя значение отпора основания (1) в дифференциальное уравнение изгиба пластины  (2) , получим

где      

Граничные условия имеют  вид:

- для шарнирной опоры:

- для заделенного края:

Решение (3) ищем в виде ряда /5/

Подстановка этого решения в /3/ дает после  приравнивания выражений при одинаковых  степенях малого параметра

…      …        …

Первое уравнение в (6) отыскивает порождающее решение, все последующие уравнения дают поправочные функции.

Для нахождения решения в нулевом приближении (т.е. порождающие) уравнение поверхности  прогибов принимаем в виде /4/

,

 где Y_m=Y_m(y ) - функции одного аргумента y подлежащие определению.

Для определения Y_m предварительно разложим нагрузку  q(x,y) в одинарный ряд

,

где      

По формуле (9) при q=const найдем

Подставив теперь в уравнение изгиба пластины третий член из (7) и из (8) и сократив обе части равенства на  получим

где  а штрихами обозначены производные по y.

Общий интеграл этого уравнения состоит из решения однородного уравнения, когда в правой  части стоит ноль и частное решение, которое подбирается так, чтобы при подстановке в это уравнение получилось равенство, т.е. оно непосредственно зависит от вида функции q_m(y).

После некоторых математических операций получим порождающее решение (решение в нулевом приближении)

где    C₁, C₂, C₃    - константы, определяемые из граничных условий (4) и (5).

Подставляя (11) в равную части (6) и разрешая их относительно первого, второго и т.д. приближений (эти уравнения и их решение не приведены в виду их громоздкости), получим решение поставленной задачи.

Произведен численный эксперимент при следующих характеристиках пластин и нагрузки

при       показывает что

Расчеты показывают, что последующие приближение  не оказывает существенного влияния, поэтому можно ограничиваться с первыми тремя приближениями.

Таким образом, поправка, вносимая нелинейностью значительна и она составляет до 15% от  общего  перемещения пластин.

Поэтому не учет нелинейности деформирования грунтовых оснований приводит к значительной погрешности в определении напряженно-деформированного состояния сооружений на снижаемом основании.

Список литературы:

1. Ширинкулов Т.Ш., Зарецкий Ю.К.   Ползучесть и консолидация грунтов. – Ташкент. «Фан», 1986.-390 с.
2. Власов В.В, Леонтьев Н.Н.   Балки, плиты и оболочки на упругом основании. –М.:Физматгич, 1960 – 550 с.
3. Кузьмин С.Е., Мурзаханов Н.Х., Остонов Т.К.   Модель реактивного сопротивления загипсованных грунтов. – М.МГМИ, 1989, рук.деп. в ВИНИТИ 21.07.89 г.  №4897-В89
4. Александров А.В.  Потапов В.Д.   Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа. 1990-400 с.
5. Камке Э.  Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М. : Наука, 1970-580 с.