Особые случаи решения системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов для уточнения орбит небесных тел

АННОТАЦИЯ

В данной статье приведены результаты обработки оптических наблюдений космического тела методом наименьших квадратов. Получены формулы связывающие коэффициенты условных уравнений при особых случаях движения небесного тела. Разработаны формулы для вычисления ковариационной матрицы и средней квадратической ошибки результатов уточнения орбиты. Вычислены начальные координаты и компоненты скорости небесного тела по результатам наблюдений, выполненных в 25 обсерваториях. Произведен анализ точности уточняемых параметров орбиты при использовании результатов наблюдений двух обсерваторий. Предлагается использовать модифицированный метод наименьших квадратов для промежуточных орбит.

ABSTRACT

The results of processing optical observations of a space body by the least squares method are given in this paper. The coefficients of the conditional equations for special cases of motion of a celestial body were obtained here. Formulas for calculating the covariance matrix and the root mean square error of the orbit refinement results have been developed. The initial coordinates and velocity components of a celestial body are calculated based on the results of observations carried out at 25 observatories. An analysis of the accuracy of the improved orbital parameters using the results of observations of two observatories is carried out.

Ключевые слова: ковариационная матрица, условные уравнения, метод наименьших квадратов, изохронные производные, точность координат.

Keywords: covariance matrix, conditional equations, least square method, isochronous derivatives, coordinate accuracy.

Наблюдение космических тел обычно производится в период оппозиции и охватывает узкую дугу орбиты. Соответственно, фиксация интервала времени для такого отрезка орбиты будет незначительной по сравнению с периодом обращения вокруг центрального тела. Определение надежной орбиты по такой дуге и интервалу времени считается приближенной [11]. Поэтому предпочитают использовать измерения, выполненные в нескольких оппозициях, которые распределены равномерно по орбите с привлечением большего количества обсерваторий (рис.1).

Рисунок 1. Наблюдение космического тела (много станций)

На начальном этапе необходимо сравнить наблюдения, выполненные в оппозициях, с эфемеридными значениями, вычисленными на основе предварительных элементов орбиты. При этом следует учесть поправки за параллакс, аберрацию, прецессию и нутацию, а также за собственные движения опорных звезд [1]. Поскольку моменты наблюдений фиксируются во всемирном времени, то их следует редуцировать на эфемеридное время. Резкий скачок между наблюденными и вычисленными значениями говорит об ошибочных результатах наблюдений, которые отбрасывают или же вводят с уменьшенным весом. Данные, полученные в разных климатических условиях, представляют неравномерное распределение вдоль орбиты [6]. Например, когда неблагоприятные погодные условия не позволяют наблюдать на всех обсерваториях, тогда приходится иметь дело с наблюдениями одной или двух обсерваторий (рис.2).

Рисунок 2. Наблюдение спутника ( две станции)

Прежде всего, наблюдения должны охватывать по возможности большую дугу орбиты. При большом числе наблюдений целесообразно использовать нормальные места. Когда имеется длинный ряд наблюдений, то трудно решить, является ли изменение следствием ошибки наблюдений, неточности исходных координат или же вызвано реальным изменением этой величины с течением времени. В случае исследования ошибок звездных каталогов желательно использовать реальные наблюдения, дающие большую информацию об ошибках, когда же улучшают орбиту, то выгоднее использовать нормальные места [10]. В качестве нормальных мест можно применять и системы элементов, определенные по наблюдениям с коротким интервалом времени. Однако это может привести к плохой обусловленности системы нормальных уравнений. Для полной характеристики обусловленности системы необходимо произвести весьма громоздкие вычисления “собственных чисел” матрицы коэффициентов и найти “собственные решения”. Практически это неприемлемо. В таком случае плохую обусловленность системы нормальных уравнений можно решить, применив регуляризацию системы, что является не простой задачей [5].

Нахождение неизвестных параметров в задаче улучшения орбит сводится к решению избыточной системы линеаризованных условных уравнений вида

                           (1)

где А – матрица коэффициентов условных уравнений, Х - матрица неизвестных параметров, E - матрица ошибок или невязок измеренных величин, L - матрица поправок измеренных величин. Если n – число уточняемых параметров, а N  – число измерений, то матрицы (1) будут иметь вид

,                  (2)

Если допустить, что e _k подчиняется нормальному закону, то система (1) решается методом наименьших квадратов. Согласно этому методу, решением максимального правдоподобия (1) будет Х, удостоверяющее условию минимума квадратичной формы.

,                    (2)

где Р – матрица весов измерений, знак "т" означает транспонирование. Условию минимума (2) дает нормальную систему уравнений [4]

,                         (3)

где , – симметричная n х n - матрица. Если определитель   не нуль, то получаем решение

                      (4)

Далее находим матрицу ковариации – , и ошибку единицы веса -  .  

                          (5)

Для составления матрицы А достаточно знать частные производные от текущих значений параметров движения по их начальным значениям. При улучшении орбит космических тел. не имеющих тесных сближений с массивными телами, матрицу изохронных производных обычно вычисляют по формулам невозмущенного движения. В случае же тесных сближений  с массивным телом, изохронные производные необходимо вычислить с учетом возмущений [3,7].

.                 (6)

В астрономической практике встречаются случаи, когда один или несколько из неизвестных параметров зависят от всех остальных параметров, в таких случаях используется метод наименьших квадратов при наличии связей. Рассмотрим решение системы нормальных уравнений в случае связи

                            (7)

где

,                 (8)

Составим функцию Лагранжа

                      (9)

Дифференцируем (9) по X

              (10)

Находим X как функцию k

          (11)

где

                   (12)

Получим окончательное выражение для k  и X

                       (13)

,                      (14)

.                      (15)

.            (16)

Матрица ковариации будет иметь вид

,                  (17)

где

,                (18)

.                       (19)

Уточнение орбит малых тел на основе промежуточных орбит методом наименьших квадратов при учете связи делает результат более корректным, чем без такого учета [2].

Для оценки точности наблюдений, полученных в 25 и 2 обсерваториях, были использованы 198 наблюдения космического тела с 1963 по 1979 (Таб.1). Уточненные начальные координаты и компоненты скорости космического тела на эпоху Т = 1972 01 20.0 ЕТ (JD = 2 441 336.5) были вычислены методом численного интегрирования Эверхарта 19 порядка [8,9]. В качестве опорной орбиты использована промежуточная орбита, полученная на основе фиктивной массы центрального тела.

Таблица 1.

Начальные координаты и скорости

Из таблицы 1 видно, что точность улучшения координат и компонент скоростей с использованием 2 наземных обсерваторий имеет почти близкое значение с точностью улучшения по 25 обсерваториям, что говорит о надежности наблюдений при ограниченном числе станций наблюдений.

Таким образом, использование метода наименьших квадратов при наличии связей для уточнения орбит небесных тел является наиболее приемлемым в случае тесного сближения космического тела с массивным телом. Критерием точности орбиты является ковариационная матрица и средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Список литературы:

1. Абалакин В.К. и др. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Недра. 1971.- 584 с.
2. Batrakov Yu.V., Mirmakhmudov E.R. On effectiveness of using intermediate orbits for computing the perturbed motion / Proceedings of the 1 SPAIN-USSR Workshop on positional astronomy and celestial mechanics. Held at Valencia.Spain.March.11-15.1991, P.71-73.
3. Бахшиян Б.Ц. и Суханов А.А. Об изохронных производных первого и второго порядка в задаче двух тел / Космические исследования. 1978, т.16, №4. С.481.
4. Большаков В. Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М.:Недра,1977. – 368с.
5. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основа теории обработки наблюдений. М.:Физматгиз, 1966. – 336c.
6. Мирмахмудов Э.Р. Анализ точности оптических методов наблюдений космических тел в Узбекистане. Вопросы науки и образования. Москва. 2020. №30 (114). С. 45-57.
7. Мирмахмудов Э.Р. О пригодности результатов наблюдений одной  или двух обсерваторий для улучшения орбит малых планет. Материалы 2 -Всесоюзной Астрономической школы по программе "Орбита". Тираспольский ГПИ им. Шевченко. Тирасполь.1990,С.27.
8. Mirmakhmudov E. Summary  report  of the  Astronomical Institute investigations on the small bodies during 1922-1995//Memoria della Societa ‘Astronomica Italiana‘.2002.Vol.73, № 3. P.655-657.
9. Мирмахмудов Э.Р. Построение промежуточных орбит небесного тела с касаниями второго и третьего порядка. The scientific heritage. Budapest, Hungary. 2020. V.1, №53, P.36-41.
10. Никольская Т.К. Об одном способе составления нормальных мест. Бюлл. ИТА.1972,т.3,N4.С.220-224.
11. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Недра,1968. –800c.