Выбор предварительного шага интегрирования при расчётах на ЭВМ дифференциальных уравнений вида y'=f(x,y)

АННОТАЦИЯ

Приводится уравнение движения поезда и анализ существующих численных методов его решения, свидетельствующий о необходимости разработки новых численных методов решения для практической реализации на ЭВМ и в работе специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

ABSTRACT

An equation of train motion and an analysis of existing numerical methods for its solution are given, indicating the need to develop new numerical solution methods for practical implementation on a computer and in the work of specialists of the locomotive complex of railways.

Ключевые слова: уравнение, численный метод, решение, поезд, задача, переменная, шаг, производная, полином, ряд, начальные условия.

Keywords: equation, numerical method, solution, train, problem, variable, step, derivative, polynomial, series, initial conditions.

В исследованиях [1,2] рассматривались вопросы, касающиеся уравнения движения поезда, анализа и оценки существующих базовых численных методов его решения, которые показали определённую их несостоятельность, то есть некоторые сложности и трудности в практическом использовании последних.

Авторами [2-4] обосновывается новый подход к решению дифференциальных уравнений вида  – метод хорд, для реализации которого при расчётах на ЭВМ вначале необходимо произвести (выполнить) выбор предварительного шага интегрирования по независимой переменной.

Решение известного дифференциального уравнения движения поезда (1) [1] обычно производят, принимая за независимую переменную "путь", так как в зависимости от пройденного пути меняются элементы профиля, ограничения скоростей движения, оси раздельных пунктов и т.д. Только в отдельных случаях интегрирование следует производить по переменной "скорость", что удобно делать в пределах того или иного элемента профиля, когда приращение скорости больше предельного значения .

Однако, во всех случаях выявляют предварительный шаг интегрирования по пути [5], учитывая все возможные изменения условий движения – смену профиля пути, ограничивающих скоростей, абсцисс станции и т.д. Только в отдельных случаях интегрирования ведут на фиксированном, заранее определённом шаге , что имеет место при отыскании точек смены режима работы (ведения поезда) для силовых энергетических установок локомотивов.

Остановимся на алгоритме выбора предварительного шага при интегрировании по независимой переменной "путь".

Для общего случая, процесс выбора предварительного шага при тех или иных возможных условиях работы на перегоне (рис. 1) производится в такой последовательности.

Рисунок 1. К выбору предварительного шага интегрирования . Разные случаи значений : ; ;  

1. Проверяется  если да, то  2 (необходимо учесть конец текущего перегона по его абсциссе , а предтормозные и тормозные расчеты на отрезке  будут производить перед станцией); если нет, то  7 (расчеты на , если нужно, будут производиться на перегоне в пределах текущей длины отрезка пути , с ограничивающей скоростью ).

2. Проверка  если да, то  3 (будет остановка, что условно отражаем наличием знака “минус” перед ); если нет, то  7 (движением будет без остановки на текущей станции).

3. Проверка P{ если да, то  4 (необходимо определение участка  по разности абсцисс станций  и длины отрезка пути с ограничивающей скоростью предыдущего случая . Если нет  5 (значение  принимается равным некоторому заданному в исходной информации ).

Таблица 1.

Результаты решения уравнения  Начальные условия  и

Таблица 2.

Результаты решения уравнения  при начальных условиях  и  предлагаемым методом, а также по точной формуле, при

 и запомнить

 и запомнить

   и запомнить , выход к 13

7. Проверить , если да, то  8 (торможения не будет); если нет, то  9 (необходимо учесть возможность торможения, определив соответствующее расстояние D).

. Заполним , выход к 13

9. Проверить P{  , если да, то  10 (определено наименьшее возможное значение  ); если нет, то  11 (принимаем ).

10.     запомнить  

Таблица 3.

Данные решения уравнения  некоторыми методами при  и  = 0. Величина

11.   запомнить    

12. Найти  и запомнить  и выход к 13.

13. Проверить наличие признака торможения , если да, то  14, (надо изменить знак величины  на обратный, что позволяет продолжать расчеты торможения); если нет, то  15 (производим выбор предварительного шага для прямого хода).

 запомнить

15. Сравнить   и взять из этих значений наименьшее

Здесь длина элементов профиля, включённых в текущий расчёт.

16. Найти предварительный шаг

   запомнить

Здесь - общее пройденное расстояние (сумма пройденных шагов). Во всех случаях, когда , будут расчёты торможения, вырабатывается признак торможения  и прекращаются расчёты прямого хода. На расстоянии  будут произведены соответствующие расчёты на фиксированном шаге интегрирования и определены точки смены режимов ведения поезда.

В результате обоснования выбора предварительного шага интегрирования по одной из независимой переменной можно сделать следующие выводы.

Найденная, таким образом, величина предварительного шага интегрирования по пути , затем используется в последующих расчётах. Так как величина упомянутого шага  переменная, то выбранный для решения дифференциального уравнения вида метод интегрирования должен позволять производить решение и на переменном шаге.

Список литературы:

1.Аблялимов О. С. Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10697 (дата обращения: 07.09.2020).

2.Аблялимов О. С. К решению дифференциальных уравнений вида  методом хорд [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10707 (дата обращения: 07.09.2020).

3.Толкачёв А. В. О численном методе решения уравнения движения поезда [Текст] / А. В. Толкачёв // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1972, № 7. – С. 53 – 59.

4.Толкачёв А. В. Решение дифференциальных уравнений методом хорд [Текст] / А. В. Толкачёв // Сб. Вычислительная и прикладная математика. ИК с ВЦ АН УзССР, Ташкент, 1972. – С. 67 – 75.

5.Толкачёв А. В. Некоторые вопросы алгоритмизации тяговых расчётов [Текст] / А. В. Толкачёв, С. Г. Упадышева // Тр. ТашИИТ, вып. 55 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д трансп. – Ташкент, 1968. – С. 81 – 87.