К решению дифференциального уравнения вида y'=f(x,y) методом хорд

 

АННОТАЦИЯ

Приводится обоснование предложенного принципа решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом хорд и классификация возможных разновидностей (приёмов) численного и графоаналитического способов решения таких уравнений.

ABSTRACT

The substantiation of the proposed principle for decision ordinary differential equations by the chord method and the classification possible varieties (methods) of numerical and graphic - analytical methods for solution such equations.

 

Ключевые слова: уравнение, численный метод, решение, поезд, задача, переменная, шаг, производная, полином, ряд, начальные условия.

Keywords: equation, numerical method, solution, train, problem, variable, step, derivative, polynomial, series, initial conditions.

 

Настоящие исследования являются продолжением работы [1], в которой были рассмотрены некоторые основные (базовые) численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений видаи посвящены обоснованию метода хорд, предложенного автором [4], сущность которого заключается в следующем.

С определённой точностью можно, производя необходимые построения и приняв соответствующие зависимости линейными в исходных интервалах и , найти средние значения переменных  в искомых (текущих) интервалах и . Нахождение конечных значений  и  на шаге интегрирования, затем производится или по производной для средних значений или пересчётом соответствующих координат.

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение

                                                                      (1)

и известны начальные условия  , за которые принимаются и полученные в процессе решения результаты на соответствующем шаге интегрирования. Полагаем, что на заданном отрезке  решение существует и соблюдается условие Липшица [3].

По начальным условиям имеем

,                                                             (2)

что позволяет при принятом некотором исходном интервале  найти величину

                                                                  (3)

а затем проверить полученное значение по условию

                                                       (4)

где:

 – наибольшая возможная величина исходного приращения, определяемая при значении ;

 – принятая предельная величина исходного приращения. Принятая величина  обеспечивает выбор таких величин  и , в пределах которых принятие соответствующих зависимостей линейными обеспечивает заданную точность расчётов без их усложнения. Последнее приводит также к установлению ограничивающих связей между исходными и искомыми интервалами, то есть

                                                                           (5)

                                                   (6)

В пределах  значение  может быть найдено по тангенсу угла наклона хорды кривой y(x), который определяется производной для средних значений переменных   в пределах искомых интервалов

                                                       (7)

и будет определяться характером заданного уравнения (1), причём хорды кривой y(x) могут располагаться:

а) по линии k - d (рис. 1), что будет при  то есть когда в пределах  производная не меняется;

б) по линии k - a, если  и значения  уменьшается в пределах . Так как угол наклона хорды k - a стал меньше, то в пределах  текущее приращение  и может быть  в зависимости от характера (1), поэтому

                                                              (8)

и очевидно получим , которое останется неизменным для данного исходного шага, а значение  может быть найдено на основе дополнительных построений, о чём будет сказано ниже;

в) по линии k – a₁, если  и значение  увеличивается в пределах рассматриваемого интервала, следовательно, угол α растёт. Учитывая (5) и (6) будем иметь  а  так как значение  может изменяться в зависимости от характера уравнения (1), поэтому

                                                    (9)

откуда

                                                         (10)

где:

 , а значение  необходимо определить на основе дополнительных построений, о чем будет сказано ниже;

г) по k - e, когда  и  Для этого крайнего случая  и

Из произведённого анализа видно, что значения  будут зависеть от закономерностей изменения  в пределах выбранных интервалов.

Изменения  заданного уравнения (1) выявляется путём исследования зависимости  или  в системе  или 0. Так как результаты исследований в зависимостях  и  аналогичны, приведём их для случая .

В пределах половины величины  и  изменения приращения производной будет (рис. 1).

                            (11)

где

 

Рисунок 1. Возможные случаи зависимостей  и приращений переменных x,y в пределах исходных интервалов .

 

Возможные значения и характер изменения  в пределах

a)   и , что соответствует случаю, когда угол наклона хорды кривой y(x) не меняется (линия k - d), поэтому приращение  то есть искомое приращение находят по производной для средних значений  и  в исходных интервалах

б)  то есть , что соответствует случаям увеличения угла наклона хорды кривой y(x), следовательно, на основании (5) и (6), а также см. рис. 1,  а  и будет зависимой переменной, поэтому

                                                        (12)

откуда

                                                        (13)

где  определится по соответствующей формуле, а .

Рассмотренный случай соответствует таким дифференциальным уравнениям, для которых, в исходных интервалах

в)  т.е. угол наклона хорды кривой y(x) уменьшается в рассматриваемых интервалах, что может быть при 

В таких случаях на основании (5) и (6), а также см. рис. 1,  a  будет зависимой переменной, поэтому

                                                      (14)

откуда

                                                     (15)

где:

  

а  определится по соответствующей формуле, полученной по дополнительным построениям;

г)  и тогда , то есть угол наклона хорды стал равен нулю. Ясно, что в этом случае  и

Линию расположения средних точек ( текущих интервалов в зависимости от изменения  в пределах исходных интервалов, можно выявить путём дополнительных построений в системе  по найденным двум крайним точкам d ( и е ().

Точка d – соответствует случаю, когда   и  что позволяет определить положение хорды k - d кривой y(x) тангенсом угла наклона её, то есть

Таким образом, точка d будет средней точкой искомого интервала  в этом случае, так как .

Координаты этой точки всегда могут быть найдены по начальным условиям.

Вторая точка e характеризует второй крайний случай: изменения переменной y нет и производная . В этом случае, по условиям для точки е, имеем  и , в силу выражения(6)  что следует также из

Следовательно, средняя точка этого случая  и находится в точке е (.

В случаях, когда для уравнения (1) зависимость  будет в зоне между линиями n - d и h - e, которую в пределах  принимаем линейной. Положение средних точек будет определяться точками пересечения линии n - a, отражающей изменения  с прямой d – e, принятой за линию изменения положения средних точек искомых интервалов при .

Написав уравнения прямых n - a и d - e можно найти точки пересечения их, по которым и будут найдены средние значения переменной  (ординаты средних точек).

Аналогичные построения можно сделать для случаев , что приведёт к необходимости нахождения  точек пересечения для определения абсцисс, то есть значений

Ордината средней точки текущего интервала определяется следующим порядком.

Для прямой n - a имели откуда

                                                         (16)

где - отрезок, отсекаемый на оси у при продолжении прямой n - a (корень уравнения прямой n - a).

Из соотношения  находим

                                                (17)

Для прямой d - e имеем  откуда

                                                     (18)

Подставив (17) в (16) получим

                                      (19)

Приравняем (19) и (18) и обозначив  получим

                                (19')

Решаем относительно у. Умножим все члены на m и раскрыв скобки получим y= 0 или

 откуда искомая ордината

  или заменив m получим

и окончательно ордината средней точки текущего интервала  приняв y =

                (20)

Конечные значения переменных на шаге интегрирования в рассматриваемых случаях

                                                  (21)

где:

   a 

                                                          (22)

Аналогично, для случаев  абсцисс средней точки текущего интервала  

                                          (23)

Конечные значения переменных

                                                (24)

где:

   и

                                                   (25)

 

На основании принципа решения, использованного в описанном методе хорд, практически можно иметь несколько возможных разновидностей (приёмов) численного метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые реализуются двумя способами – численным и графо – аналитическим. К численным способам относят варианты уточнения метода Эйлера и расчётов по  и , а последние разделяют на приёмы определения  пересчётом и по производной  и  Графоаналитическим способом являются варианты расчётов и построений по z(x,y).

Использование метода хорд к решению уравнений вида  было впервые показано в [4], а для решения дифференциального уравнения движения поезда в [5,6] и использовано авторами [2,7 и другие] при составлении ряда программ по нормированию расхода топлива на тягу поездов, анализу и оценке эффективности перевозочной работы локомотивов в условиях эксплуатации.

 

Список литературы:

1.Аблялимов О. С. Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10713 (дата обращения: 08.09.2020).

2.Аблялимов О. С. О методах исследования перевозочной работы локомотивов [Текст] / О. С. Аблялимов // Науч. – техн. конференция с участием зарубежных учёных «Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте» / Ташкентский ин-т. инж. ж-д транспорта. – Ташкент, 2011. – С. 79 – 85.

3.Березин И. С. Методы вычислений [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков. - Изд. 2-е. – М.: ГИФМЛ, 1962. – Т. 1. – 464 с.

4.Толкачёв А. В. Решение дифференциальных уравнений методом хорд [Текст] / А. В. Толкачёв // Сб. Вычислительная и прикладная математика. ИК с ВЦ АН УзССР, Ташкент, 1972.

5.Толкачёв А. В. О методах решения уравнения движения поезда при расчётах на ЭЦВМ [Текст] / А. В. Толкачёв // Тр. ТашИИТ, вып. 88 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д трансп. – Ташкент, 1972. – С. 79 – 87.

6.Толкачёв А. В. О численном методе решения уравнения движения поезда [Текст] / А. В. Толкачёв // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1972, № 7. – С. 53 – 59.

7.Толкачёв А. В. Исследование возможностей снижения расхода топлива тепловозами на тягу поездов за счёт оптимальных режимов вождения поездов на САЗ ж.д. [Текст] / А. В. Толкачёв, О. С. Аблялимов // Научно - технический отчёт ТашИИТ, ВНИТЦ № 79028894, Инв. № Б836191 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д трансп. – Москва, 1979. – 67 с.