К методу решения задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов

АННОТАЦИЯ

Привод ится анализ метода решения задачи по оптимизации перевозочной работы локомотивов. Показана несостоятельность метода динамического программирования для практического использования в эксплуатации.

ABSTRACT

The analysis of the method for solving the problem of optimizing the transportation work of locomotives is given. The inconsistency of the dynamic programming method for practical use in operation is shown.

Ключевые слова: исследование, оптимизация, метод, динамическое программирование, решение, выбор, режим, теория.

Keywords:investigation, optimization, method, dynamic programming, optimality principle, decision, choice, mode, theory.

Передвижение поездов является основным производственным процессом, связанным с созданием продукции транспорта, от которого во многом зависит производительность железной дороги. Удельный вес затрат по передвижению поездов колеблется от 50 до 75 % всех расходов железнодорожного транспорта.

Процесс перевозочной работы локомотивов (ПРЛ) включает цепь преобразований, связанных с механикой, энергетикой и экономикой, при этом в конкретных условиях того или иного участка появляются свои специфические особенности этих преобразований, влияющие на результаты. Только детальные расчёты с учётом всех факторов, влияющих на результаты перевозочной работы локомотивов, позволяют выявить истинные закономерности процесса, чему способствует применение ЭВМ и специальных разделов математики.

В результате стало возможным приступить к решению широкого круга вопросов по оптимизации перевозочной работы локомотивов (ОПРЛ) с разработкой математических моделей процессов последней. Известно, что математическое обеспечение требует большого внимания и поглощает до 50 процентов расходов на решение задач, но это быстро окупается за счёт достижения более совершенных решений и улучшение процесса расчётов.

Рассмотренные автором общие положения теории оптимизации процессов [1-3] позволяют наметить порядок решения поставленной конкретной задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов, как одного практически важного технического вопроса.

Комплекс соответствующих координат поезда (объекта) можно, помимо указанного представления в [1], объединить в дополнительные группы. Некоторая часть координат О будет характеризовать материальную базу процесса (М_б), другая часть организацию работ (О_р), а оставшаяся часть координат – результаты процесса – продукцию (П_р) и затраты (З). Кроме этого, из координат объекта можно выделить такие, которые при решении являются определёнными, известными и заданными в виде дискретных значений или определённых зависимостей. Эта группа координат определяет условия протекания процесса и называется координатами условий (У). Оставшаяся часть координат (П_о) может принимать соответствующие значения по ходу расчетов также как и траектория режима управления, то есть быть независимыми переменными или управляющими факторами, принимая при правильном решении оптимальные значения.

Принятое позволяет записывать координаты поезда следующим образом

О = (М_б, О_р, П_р, З)                                                              (1) 

а также                             

О = (У, П_о)                                                                   (2) 

В свою очередь  

М_б = [S,H,H_ф,N_k(V,п_к),F_k(V,п_к),G(V,п_к),g_x,w_o(V,q_o),i_k(S),V^or(S),X_c(S),..]                   (3)

Op= (Q,m,tn,tc,Z,…….)                                                    (3 a)

Пр=(QL,QL^y , Г,…..)                                                     (3 б)

З=(t,E,Эх,Эг,Мл,Мв,…….)                                                    (4)

У=(Мб,Ор, Пр,…..)                                                         (5)

П_о  =(О-У)                                                               (6)

В выражениях (1) – (6) обозначено: S – пройденный поездом путь; H - изменение положения центра тяжести поезда по вертикали; Н_ф - изменение положения центра тяжести поезда по горизонтали, за счёт кривых или равносильное изменение от фиктивного подъёма по вертикали; N_k (V,п_k) - мощность локомотива в зависимости от скорости V и позиции контроллера машиниста (режима) п_k; P_o - вес (масса) локомотива; F_k (V,п_k) - касательная сила тяги локомотива в зависимости от скорости V и позиции режима п_k; G (V,п_k) - расход энергии в единицу времени в зависимости от скорости V и позиции режима п_k; g_x - расход энергии в единицу времени при холостом ходе поезда и на стоянках; w_o (V,q_o) - основное удельное сопротивление поезда в зависимости от скорости V и нагрузки на ось q_o; i_k(S) - зависимость величины приведённого подъёма от пути; V^or(S) - зависимость допустимой скорости движения поезда от пути; X_c(S) - зависимость абcцисс осей раздельных пунктов от пути ; Q - вес (масса) состава; m - число осей в состава; t_п - время движения поезда по перегону; t_c - время стоянок поезда на промежуточных станциях; t - общее время движения поезда на участке; QL - перевозочная работа локомотива за поездку; Г - заданный годовой грузопоток на участке; Е - расход энергии (дизельного топлива или электроэнергии) на участке; Э_х - расход денежных средств по передвижению поезда на участке; Э_г- годовые, приведённые, народно - хозяйственные затраты на участке; М_л и М_в - затрата локомотивов и вагонов на участке; z - число остановок.

Любая из координат О может иметь соответствующие ограничения её величины, что указывается в условиях задачи.

В сложной цепи расчётов величина выигрыша В зависит при сложившихся условиях работы на участке от выбора независимых переменных, то есть УФ, оптимальные траектории которых (УФ*) определяет и параметр В*. В качестве независимых переменных могут быть соответствующие траектории координат П_о и обязательно соответствующие траектории режима управления Р_т, оптимальное значение которой должно соответствовать оптимальной траектории и оптимальным координатам П_о*.

Если же все координаты вектора О уже приняты, то оптимальное решение будет соответствовать оптимальным траекториям О_т* и Р_т*.

Таким образом, имеем  

В = В(По,От,Рт) = В(УФ)                                                   (7) 

где (УФ) = (П_о,О_т,Р_т) - вектор траекторий управляющих факторов, включающий векторы П_о, О_т, и Р_т.

Особенностью координат П_о является их неизменность на выбранном шаге расчётов, иначе говоря на шаге оптимизации, тогда как, координаты Р_т будут изменяться по соответствующим зависимостям.

Решением задачи оптимизации будет выбор соответствующих  оптимальных значений УФ*, то есть

                                                          (7)

Если оптимизируется комплекс координат П_о, то при решении будем иметь соответствие  

В*→(П¹*_о,…,Пⁱ*_о) → О*_т,Р*_т                                            (8) 

Таким образом, при оптимизации элементов М_б и O_р им должны соответствовать свои оптимальные траектории О*_т и Р*_т. Если элементы М_б и O_р не оптимизируются, то решение состоит в отыскании О*_т, Р*_т и тогда будет соответствие 

В*→ О*_т,Р*_т                                                         (9) 

Таким образом, в любых случаях необходим выбор оптимальных траекторий объекта О_т и режима управления Р_т, что и является основным вопросом решения задачи оптимизации (ЗО). Выбор из всех возможных траекторий оптимального варианта, позволит найти параметр выигрыша В* и решить поставленную задачу. Следует иметь в виду, что в общем случае зависимость В(О_т,Р_т) в соответствии с условиями задачи оптимизации может быть без экстремального, одно и многоэкстремального вида.

Координаты УФ являются независимыми переменными функционала, определяющего параметр В. При решении задачи оптимизации необходимо в определенной области расчёта "пробегать" участок счёта для возможного множества траекторий УФ, что в принципе делают:

а) простым перебором всех возможных комбинаций координат УФ, что обычно связано с просчётом огромного числа вариантов и практически невыполнимо, иногда даже с применением ЭВМ;

б) просчётом ограниченного числа вариантов, определяемого принятым их порядком просчёта, описываемого некоторой функцией управления (ƒ_у) принятой на основе специальных исследований. Наметив, исходя из сущности принципа и принятого метода выбора оптимальных решений, а также особенностей рассматриваемого процесса, то есть К_о, можно решать задачу оптимизации при ограниченном числе вариантов, то есть использовать направлений поиск решения.

Разрешение исходного выражения (3) [1] в первую очередь требует иметь общую схему выполнения расчётов для выявления значений координат объекта при выбранной той или иной траектории режима управления , а затем наметить соответствующую ƒ_у выбора О_т и Р_т на основе принятых принципов и методов.

Расчёты, связанные с отысканием интегральной зависимости О(О_а) основаны на решении системы дифференциальных уравнений вида (5) [1], составленных на основании физических законов в рассматриваемой задаче.

Система дифференциальных уравнений, описывающих процесс перевозочной работы локомотивов, включает уравнения динамических характеристик, а именно: 

                                                                        (9 a) 

                                              (9 б) 

и уравнения, связывающие координаты состояния, в том числе параметра В с режимом, например, для расхода энергии имеем 

и подобные им 

Для решения вопросов перевозочной работы локомотивов необходимо найти решение (9 б), которые определяет результаты расчета всех координат О.

Дифференциальное уравнение движения поезда (9 б) запишем в другом виде 

                                             (10)

В приведённых выше выражениях принято: dS/dt - производная пути по времени (скорость); dV/dt - производная скорости по времени (ускорение); dV/ dS - производная скорости по пути; u = (V,n_у,i_к)- равнодействующая сила, являющаяся функцией V, позиции управления п_у и профиля пути i_к. Величина V зависит от ряда факторов и от траектории режима управления Р_т; ? - коэффициент пропорциональности.

Решение уравнения (10) даёт возможность получить траекторию V(S), а затем и другие координаты процесса перевозочной работы локомотивов, то есть значения t, E, и другие.

Так, например, по уравнениям 

                                              (11) 

                                              (12) 

находить зависимости времени и расхода энергии от пройденного пути.

Общую схему выявления координат вектора поезда при выбранном режиме управления Р_т, которую будем называть тягово - экономическими расчётами (ТЭР), можно представить последовательностью представленной на рис. 1.

Рисунок 1. Схема тягово - экономических расчётов на шаге оптимизации

Дополнительно на схеме ТЭР обозначено: W_k - суммарное (основное и дополнительное) сопротивление поезда; B_т - тормозная сила поезда; А_к - касательная механическая работа локомотива; А'' - механическая работа сил сопротивления состава; А' - механическая работа сил сопротивления локомотива; А_т - механическая работа сил торможения; Е_к - расход энергии на создание механической работы локомотива; tⁱ_п - текущее значение времени хода поезда по перегону; t_п -заданное (расчётное) время хода по перегону, которое должно быть выдержано; B_k -- слагаемая величина В, связанная с преобразованиями доли В во внешнюю работу; В_в- слагаемая В, зависящая от времени процесса.

Уравнение (10) приходится решать численными методами, например, методом Эйлера [6]. Решение (10) в принципе не представляет затруднений при известной траектории Р_т, однако заметим, что значения скорости в указанном уравнении необходимо брать в зависимости от принятого Р_т, то есть будем иметь V[n_y(S)] и решение усложняется, так как должна быть известна Р_т или что то же, зависимость n_y(S).

Как было сказано выше, для решения (3) [1] должен быть принят порядок выявления оптимальных траекторий Р*_т и О*_т, что выполняется на основе соображений, условно нами названных комплексом оптимизации (К_о), включающего принятый принцип и метод отыскания соответствующих решений.

Аналитическое отыскание B* и соответствующих О*_т и Р*_т для задач оптимизации перевозочной работы локомотивов почти невозможно из - за наличия значительной по объёму исходной информации, ряда ограничений координат поезда (скорости, времени и прочее), при этом огромное количество возможных вариантов Р_т затрудняет применение методов вариационного исчисления и принципа максимума, даже в численном виде. К этому приходят и ряд исследователей [5,8]. Однако имеется ряд приёмов облегчающих этот выбор, основу которого составляет идея направленного поиска с учётом метода динамического программирования [5,7,8,9], значительно сокращающего число перебираемых вариантов управления.

Основные недостатки в решении задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов, опираясь на метод динамического программирования, сводятся к следующему:

1. Для участков безостановочной работы локомотивов длиною L = 150 - 200 км надо запоминать очень большой объём промежуточной информации, что значительно затрудняет ход расчётов. Определенную трудность представляет необходимость выбора всех возможных состояний в конце предшествующего шага расчёта.

2. Определённая неясность и трудность правильного выбора числа и величины шагов расчёта, а также соответствующих вариантов траекторий управления, также приводит к значительному увеличению объёма вычислений.

Как уже отмечалось выбор шага расчёта, то есть этапирования решения имеет большое значение. Если весь процесс разделить на небольшие шаги, то их число будет значительным, а число вариантов управления на таких шагах может быть умеренным (число комбинаций режима легче ограничить). Однако необходимо будет запоминать огромную промежуточную информацию на большом числе шагов, и решение задачи удаётся в редких случаях. При относительно крупных шагах расчёта, на каждом шаге увеличивается число вариантов траекторий управления, а это приводит к тому же результату, делая в ряде случаев решение задачи практически невыполнимым.

3. Просчёты начинаются с последнего шага на участке счёта и проводятся в прямом направлении с последующим переходом на предшествующий шаг, а затем на следующий шаг от конца и т.д. После перехода всех шагов, начатых с конца участка, расчёты ведут  вновь с первого шага, вперед по ходу процесса. Эта огромная расчётная работа для значительных по длине участков и сложных по содержанию параметра В будет особенно громоздкой.

4. Отыскание условно - оптимальных траекторий производится или простым перебором, или направленным поиском, что приводит при уже отмеченной громоздкости вычислений к определенным и неточностям решений.

В итоге, как показал опыт проведения расчётов на основе метода динамического программирования [2,4 и другие], затрачивается большое машинное время, а решение задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов является далеко не законченным и малопригодным для использования в практике работы локомотивного комплекса железных дорог.

Таким образом, исследования по разработке новых и удобных для практического использования приёмов и методов в решении задачи оптимизации перевозочной работы локомотивов необходимо продолжить.

Список литературы:

1. Аблялимов О.С. К формулировке математических методов оптимальных решений [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10667 (дата обращения: 27.08.2020).
2. Аблялимов О. С. О решении задачи оптимизации методом динамического программирования [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10670 (дата обращения: 27.08.2020).
3. Аблялимов О. С. О решении задачи оптимизации на основе принципа максимума [Текст] / О. С. Аблялимов // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 9 (78). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10671 (дата обращения: 27.08.2020).
4. Аблялимов О. С. О методах исследования перевозочной работы локомотивов [Текст] / О. С. Аблялимов // Республиканская научно – техническая конференция с участием зарубежных учёных, посвящённая 80-летию ТашИИТ «Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте» / Ташкентский ин-т. инж. ж-д транспорта. – Ташкент, 2011. – С. 79 – 85.
5. Босов А. А. Методы решения некоторых задач оптимальных тяговых
6. расчётов на ЭЦВМ. Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук. ДИИТ, Днепропетровск, 1968.
7. Демидович Б. П. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения [Текст] / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова // Учебное пособие. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1967. - 368 с.
8. Ерофеев Е. В. Определение оптимального режима движения поезда при заданном времени хода [Текст] / Е. В. Ерофеев // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1969, № 1. – С. 54 – 57.
9. Почаевец Э. С. Расчёт оптимальных программ автоматического ведения поезда. Автореферат на соискание учёной степени кандидата технических наук. МИИТ, М., 1967.
10. Сидельников В. М. Выбор оптимальных режимов управления локомотивом с использованием ЭЦВМ [Текст] / В. М. Сидельников // Научный журнал «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1965, № 2. – С. 52 – 58