Модель деформирования упругого слоя переменной толщины

АННОТАЦИЯ

Модель деформирования упругого слоя (пластин, оболочек) переменной толщины при малых удлинениях, сдвигах и углах поворота в общем случае представляют собой трехмерные уравнения линейной теории упругости. В работе [1] изложен метод понижения размерности задач упругого деформирования пластин и оболочек постоянной толщины с произвольными условиями для перемещений и напряжений на лицевых поверхностях. В работе [2] эта методика использовалась для построения уравнений плоского изгиба неоднородного упругого слоя переменной толщины. Ниже на основе этой же методики получены уравнения деформирования упругого слоя переменной толщины в произвольной криволинейной системе координат с произвольными условиями для напряжений и перемещений на лицевых поверхностях.

ABSTRACT

The model of deformation of an elastic layer (plates, shells) of variable thickness with small elongations, shifts, and rotation angles is generally a three-dimensional equation of the linear theory of elasticity. In [1], a method for reducing the dimension of problems of elastic deformation of plates and shells of constant thickness with arbitrary conditions for displacements and stresses on the front surfaces is described. In [2], this method was used to construct the equations of flat bending of a non-uniform elastic layer of variable thickness. The equations of deformation of an elastic layer of variable thickness in an arbitrary curvilinear coordinate system with arbitrary conditions for stresses and displacements on the front surfaces are obtained using the same technique below.

Ключевые слова: упругий слой, упругое деформирование, переменная толщина, теория упругости, ковариантный базис, тензор напряжений, закона Гука, полиномы Лежандра, тангенциальное и поперечное перемещение.

Keywords: elastic layer, elastic deformation, variable thickness, elasticity theory, covariant basis, stress tensor, Hooke's law, Legendre polynomials, tangential and transverse displacement.

1. Уравнения линейной теории упругости в векторной форме в произвольной системе координат і состоят из уравнений равновесия

                                                                                   (1.1)

и обобщенного закона Гука [3]

 ,                                                              (1.2)

где

                                  (1.3)

и приняты обозначения: - ковариантный базис системы координат ;  - компоненты тензора напряжений; - вектор перемещений; - вектор массовых сил;   - заданные функции координат,  -прямое (тензорное) произведение. В (1.1)-(1.3) и в дальнейшем используется правило суммирования по повторяющимся индексам: латинские индексы пробегают значения 1,2,3, а греческие- 1,2.

Для простоты изложения ограничимся случаем следующих краевых условий на границе

,

где  -компоненты единичного вектора внешней нормали к S,q- кусочно-постоянная функция, принимающая значения либо 0, либо 1;  - заданная вектор-функция на S. Таким образом, условия (1.4) обеспечивают задание на границе либо перемещений (q=0), либо напряжений (q=1).

2. Слой определим, как некоторую область V, для любой внутренней точки которой радиус-вектор   имеет вид

                                                 (2.1)

где

                                           (2.2)

и приняты обозначения: h-половина толщины слоя в направлении   -единичный вектор в направлении   .

Функции    отображают плоскую область с контуром на лицевые поверхности слоя , а функция  отображает  на срединную поверхность  .

Пусть Σ -боковая поверхность слоя, L - линия пересечения Σ и S₀. Согласно (2.1), Σ-линейчатая поверхность, образованная семейством прямых линий, проходящих через точки контура L в направлении вектора . Вектор   может не быть нормалью к S₀, соответственно, поверхности Σи S₀ могут пересекаться нe под прямым углом.

Дифференцируя (2.1), получим выражения для локального базиса  системы координат  :

                                                       (2.3)

В каждой точке срединной поверхности  S₀ тройку векторов{} :

                                        (2.4)

будем рассматривать как новый локальный базис. Соответствующий биортогональный базис  { }  имеет вид

                                                 (2.5)

где -контравариантный базис системы координат . Из (2.3),(2.4) получаем связь с:

                    (2.6)

Замечание. Поскольку в традиционном определении оболочки [4] вектор является нормалью к срединной поверхности S₀ , а, следовательно, Σ   и S₀  -ортогональны, представляется оправданным введение понятия слоя (соотношения (2.1)), которое следует рассматривать как обобщение на случай оболочки переменной толщины с наклонными боковыми поверхностями.

3. Разложения по полиномам Лежандра.  В дальнейших рассуждениях, рассматривая функции (векторы, тензоры) f(,будем предполагать, что они достаточно гладкие для равномерной сходимости рядов

f( (,  

где P_k -полиномы Лежандра; [f]^k -моменты функции f порядкаk , которые зависят от координат ().

Сведение трехмерной задачи линейной теории упругости к двумерной будем проводить на основе аппроксимации неизвестных функций (векторов, тензоров) в виде отрезков рядов (3.1). Представим   и  , используя (1.3), (2.5) в виде

                                                            (3.2)

где

Величины   будем называть моментами тангенциальных напряжений, k -порядка, а   моментами поперечных (перерезывающих) сил k -порядка. Можно показать, что  являются компонентами поверхностных тензоров [4] (или S-тензоров [3]) Аналогично ,  будем называть моментами тангенциальных и поперечных перемещений k -порядка.

4. Аппроксимация напряжений. Аппроксимация напряжений проводится в виде отрезков рядов (3.2). Для одних и тех же величин  используются два вида аппроксимаций и  , отличающихся только количеством удерживаемых членов в рядах (3.2):

                           (4.1)

Полагая для простоты  , условия равновесия усилий и моментов элемента слоя можно получить из уравнений (1.1)

                        (4.2)

Для аппроксимаций (4.1) уравнения (4.2) можно записать в форме

                                                                    (4.3)

5. Аппроксимация деформаций и перемещений. Аппроксимация деформаций и перемещений осуществляется на основе энергетического тождества, которое является следствием равенства

                                                                              (5.1)

справедливого для любого вектора  и произвольных,  удовлетворяющих (4.3). Для аппроксимации вектора  в виде отрезка ряда (3.2)

                                                     (5.2)

используя формулу Гаусса-Остроградского и свойства полиномов Лежандра, равенство (5.1) можно привести к виду

    (5.3)

где  - вектор нормали к∑ в точках контура L  и

                                                                       (5.4)

Обозначим правую часть равенства (5.3) через Е и подставим выражения   (1.3). Получим

E=

где  E_ij - аппроксимации компонент тензора деформаций ɛ_ij

                                               (5.5)

При этом отрезки рядов (5.2), (5.4) определяют две аппроксимации вектора перемещений, одна из которых отвечает производным от  по координатам (α =1,2), а другая- производной по координате .

6. Граничные условия. Граничные условия (1.4) аппроксимируем в соответствии с левой частью равенства (5.3). На лицевых поверхностях имеем

                                                (6.1)

На боковой поверхности ∑ получаем, соответственно

                                                            (6.2)

Равенства (6.1) должны выполняться в каждой точке лицевых поверхностей  , то есть при всех , следовательно, их необходимо рассматривать как дополнительную группу уравнений относительно неизвестных функций. С другой стороны условия (6.2) накладывают ограничения только в точках контура L, и таким образом являются граничными условиями для соответствующей дифференциальной задачи.

7. Закон Гука. Пусть напряжения  и деформации E_ij  , соответствующие (5.5), связаны законом Гука (1.2):

                                                  (7.1)

Соответственно, для коэффициентов разложений, исходящих в отрезки рядов (3.2), получим соотношения

                                            (7.2)

где  k=0,1;   если i=1,2 ;k= 0,1,2, если i=3;

где  k=0,1;  i=1,2,3, которые в общей сложности составляют 20 уравнений.

8. Двумерная краевая задача. Обобщая полученные выше результаты, сформулируем двумерную краевую задачу: найти 31 неизвестную функцию

- из 31 уравнения, в том числе 5-ти уравнений равновесия (4.1); 20-ти уравнений законов Гука (7.2) и 6-ти уравнений (6.1).

Обозначим

                                                                (8.1)

и перейдем к новым неизвестным функциям , . При этом имеют место равенства

Сформулированная выше двумерная задача в новых неизвестных сводится к системе дифференциальных уравнений

    (8.2а)

                   (8.2б)

где

Назовем основными неизвестными величины , , , , которые входят в уравнения (8.2) вместе со своими первыми производными по координате . Остальные неизвестные ,  имеют смысл напряжений и перемещений на лицевых поверхностях и входят в уравнения без производных, их будем называть дополнительными. Соответственно, первую группу уравнений (8.2а) будем рассматривать как основную, а вторую (8.2б) – как дополнительную. Решая дополнительную линейную систему относительно дополнительных функций, можно получить их выражения через основные неизвестные. Далее, подставляя найденные , , в первую группу уравнений, получим краевую задачу для основных неизвестных  ,,, , которая будет иметь 10-ый порядок. Соответствующие краевые условия определяются из соотношений (6.2).

Отметим особо справедливость энергетического равенства (5.3), которое является основой для обоснования корректности двумерной задачи, доказательства теоремы единственности, формулировки вариационных принципов.

Список литературы:
1. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек. Новосибирск. 1980.- 84 с.
2. Алексеев А. Е. Уравнения плоского изгиба упругого слоя переменной толщины / А. Е. Алексеев. - С .3-16 Динамика сплошной среды : сборник научных трудов / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики им. М. А. Лаврентьева. - Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, Вып. 75 , 1986
3. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.-М.: Наука, 1982.
4. Naghdy P.M., Foundation of Elastic Shell Theory.-Progress in Solid Mechanics 4, N2, p.1-90.