ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

АННОТАЦИЯ

В работе поставлена и численно решена обратная задача по определению коэффициента запаздывания времени фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах. Для решения задачи были использованы численные методы первого и второго порядка. Решение обратной задачи сводится к задаче нахождения минимума функционала, т.е. к задаче безусловной оптимизации. По дополнительным невозмущенным исходным данным коэффициент практически восстанавливается за три-четыре итерации в различных начальных приближениях. Показано, что метод первого порядка точнее, чем метод второго порядка. По этой причине для решения обратной задачи с возмущенным исходным данным был использован метод первого порядка.

ABSTRACT

In this work, the inverse problem of determining the delay coefficient of liquid filtration time in inhomogeneous porous media is posed and numerically solved. To solve the problem, first and second order methods were used. Solving the inverse problem reduces to the problem of finding the minimum of the functional, i.e. to the unconstrained optimization problem. Using additional unperturbed initial data, the coefficient is practically restored in three to four iterations in various initial approximations. It is shown that the first order method is better than the second order method. For this reason, a first-order method was used to solve the inverse problem with perturbed input data.

Ключевые слова: фильтрация, неоднородная пористая среда, обратная задача, трещиновато-пористая среда, уравнение просачивания, жидкость, конечные разности, метод движения, численное решение.

Keywords: filtration, inhomogeneous porous medium, inverse problem, fractured-porous medium, seepage equation, fluid, iteration, finite differences, motion method, numerical solution.

Введение. Среди неоднородных пористых сред чаще встречаются трещиновато-пористые и пористые среды. В таких средах неоднородности (трещины, каверны, плохо проницаемые породы) распределены по объему равномерно и часто[1,2]. Такие породы называются средами с двумя различными проницаемостями. При этом окружающая среда рассматривается как сложная система, состоящая из двух взаимосвязанных сред. Первая среда состоит из трещины или пор с высокой проницаемостью, а вторая среда состоит из пористых блоков с низкой проницаемостью. Математическая модель истечения жидкости в трещинно-пористых средах описывается в работах [1-3]. Из размерного анализа получено следующее выражение для перетока жидкости между трещинами и пористыми блоками [3]:

где ,  – давление в трещинах и блоках соответственно,  – плотность жидкости,  – вязкость жидкости,  – безразмерная величина, описывающая флюидообмен между блоками и трещинами.

В случае, когда жидкость слабосжимаема, вязкость постоянна, обе среды упругие и проницаемость обеих сред постоянна, движение жидкости в трещиновато-пористой среде записывается в виде следующей системы уравнений:

             (1)

где , (),  – проницаемость, , (),  – пористость,  – упругоемкость среды,  – коэффициент сжимаемости среды,  – коэффициент сжимаемости жидкости,  – координата,  – время,  индекс  – соответствует трещинам,  – пористом блокам.

Если в системе (1) имеем , ,  тогда мы приходим к следующей системе упрощенных уравнений:

                 (2)

Вычитая второе из первого уравнения системы (2), получаем следующее уравнение:

                                    (3)

Если взять производную по времени  из первого уравнения системы (2), то уравнение принимает вид:

           (4)

Подставив (3) в (4), получим следующее уравнение относительно :

                   (5)

Введя замены , ,  в уравнение (5), получим следующее:

                                                     (6)

где  – коэффициент время запаздывания,  – длина одномерной области,  – максимальное время, в течение которого исследуется процесс.

Эффективные численные методы решения обратных задач математической физики приведены в [4-9]. Некоторые обратные задачи фильтрации жидкости в пористых и трещиновато-пористых средах решены в [10-19], а обратные задачи массообмена в пористых средах решались в работах [20-23].

В данной работе на основе (6) рассматривается обратная задача по определению коэффициента времени запаздывания . Сначала дается постановка задачи и затем её решение. Для минимизации функционала невязки используется итерационная процедура по неизвестному коэффициенту. В качестве критерия остановки итерационной процедуры используются как минимизация значения функционала, так и сходимость итерационных значений коэффициента к предельному. Исходные данные для решения обратной задачи подготовлены из решения соответствующей прямой задачи, т.е. проводится "квазиреальный" вычислительный эксперимент. Получены решения обратной задачи и для искусственно возмущенных исходных данных.

1 Постановка обратной задачи

Для решения уравнения (6) введем начальные и граничные условия в следующем виде:

             (7)

                    (8)

Кроме этих условий для решения обратной задачи необходимо дополнительное условие, т.е. известно изменение давления на нефтяном  скважине (в точке х=0):

                                         (9)

Обратная задача ставится следующим образом: коэффициент  уравнения (6) определяется из минимизации следующего функционала невязки:

                      (10)

2 Решение обратной задачи методом первого порядка. Условие стационарности (10) функционала будет иметь такой вид:

(11)

Здесь  – функция чувствительности.

Разложим в ряд функцию  в окрестности  с точностью до членов второго порядка следующим образом [4, 5]

            (12)

Поставим разложение (12) в соотношение (11), получаем следующее выражение:

Если функции  и  известны, тогда из последнего выражения легко вычислить приближение  [4]:

(13)

Дифференцируем задачи (6)-(8) по параметру , получим следующую задачу:

                                         (14)

                          (15)

                                             (16)

Численный алгоритм определения коэффициента  можно построить следующим образом:

1. Приведем начальное приближение  ;

2. Решаем задачу (6)-(8) от  до  и определяем функцию . Решим также задачу (14)-(16) от  до  и определяем функцию ;

3. Вычисляем приближению  по формуле (13);

4. Этапы 2 и 3 продолжаются до тех пор, пока не будут выполнены следующие условия:

где  и  – достаточно малые величины.

3. Решение обратной задачи методом второго порядка. Взяв производную функции  в формуле (11) по , получим следующее соотношение:

                       (17)

то есть

                            (18)

где

                            (19)

Взяв производную от (14)-(16) по , получим следующее задачу:

                                     (20)

                          (21)

                                                 (22)

Численный алгоритм определения коэффициента  методом второго порядка состоит из следующих шагов:

1. Приведем начальное приближение  ;

2. Решаем задачи (6)-(8), (14)-(16) и (20)-(22) от  до  и определяем функции , , . Вычисляется функционал (10) и интегралы (11), (19);

3. Вычисляем приближению  по формуле (18);

4. Этапы 2 и 3 продолжаются до тех пор, пока не будут выполнены следующие условия:

где  и  – достаточно малые величины.

4Разностная задача. Задачи (6)-(8), (14)-(16) и (20)-(22) численно решаются методом разностных конечностей [24]. Для этого введем сетку в области :

Аппроксимируя задачу (6)-(8) с помощью чисто неявной схемы на сетке , получается следующую разностную задачу:

                               (23)

Аналогично, аппроксимируя задачи (14)-(16), приходим к этой разностной задаче:

                         (24)

После аппроксимации задачи (19)-(22) принимают вид:

                             (25)

Разностные задачи (23), (24) и (25) можно решать методом прогонки. В этом случае запишем разностную задачу (23) в следующем виде:

                                          (26)

где

Алгоритм решения разностной задачи (26) методом прогонки принимает вид:

Разностная задача (24) представляется следующим образом:

                     (27)

где

Решения разностная задача (27) методом прогонки принимает следующий вид:

Разностную задачу (25) запишем следующим образом:

                      (28)

где

Алгоритм решения разностной задачи (28) имеет вид:

5 Результаты численного расчета. Для проведения квазиреального эксперимента [6] сначала рассмотрим прямая задача (6)-(8) с заданным значением  решается численно методом конечных разностей [24]. По результатам численных расчетов определяется сеточная функция , . Функция  служит исходными данными для решения обратной задачи. Для моделирования погрешностей функция  зашумляется случайными погрешностями следующим образом:

                          (29)

где  – случайная функция, равномерно распределенная на интервале .

Для численных расчетов использованы следующие значения исходных данных:  с,  м,  м²,  МПа,  МПа·с,  м²/с,  м/с. Разностная сетка делит координатный участок  на 200 интервалов, а временной участок  на 4000 интервалов.  был подготовлен в 200 точках «времени» на основе сеточных решений «данных измерений» (29) (Рис.1).

Рисунок 1. График сеточной функции .

На рис. 2 показаны численные расчеты (чего?) методом идентификации первого порядка при . Как видно из рис.2 (a-d), различные начальные приближения  восстанавливаются за две-три итерации. Начальные приближения  дает хорошие результаты, когда в 10 раз меньше и 6,5 раз больше чем  (Рис.2, a-d). Коэффициент  восстанавливаются за две-три итерации. При  процесс итерации становится несходящимся (Рис.2, d). Численные расчёты показывают, что когда начальные приближение  изменяются в диапазоне  метод первого порядка дает хорошие результаты.

Рисунок 2. Восстановление коэффициента  по невозмущенными данными (при ) методом первого порядка

На рис.3. показаны численные расчеты методом идентификации второго порядка при . Как видно из рис.3 (a, b), различные начальные приближения  восстанавливаются за три-четыри итерации. Численные расчеты (рис.3, a-b) показывают, что когда начальное приближение  изменяется в диапазоне  коэффициент  восстанавливается за три-четыре итерации. При начальных приближениях  (рис.3, а) и  (рис.3, b) процесс итерации становится несходящимся, то есть не удаётся восстановит коэффициент .

Рисунок 3. Восстановление коэффициента  заданными невозмущенными данными (при ) методом второго порядка

Численные расчеты рис. 2 и рис. 3 показывают, что метод первого порядка дает наилучшые результаты, по сравнению с методом второго порядка. Такие покозатели могут быть результатом ошибки вычисления, поскольку в методе первого порядка в каждом итерации вычесляется две прямые задачи, а в методе второго порядка в каждом итерации вычесляется три прямые задачи.

Результаты расчетов с возмущенными исходными данными приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Восстановления коэффициента  при заданными возмущенными данными

Из таблицы 1 видно, что относительные погрешности восстановления коэффициента  изменяются от 0,3373% до 31,9981%. Из табл.1 видно, что при малых погрешностях восстановления коэффициента  дает наилучшие результаты.

Вывод. Поставлена и решена коэффициентная обратная задача фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах. Определено коэффициенты времени запаздывания фильтрации жидкости. Для решения задачи использованы два метода – методы первого и второго порядка. Численные результаты, полученные на невозмущенных данных, показывают, что метод первого порядка точнее, чем метод второго порядка. Исходя из этого, для расчетов восстановления коэффициента  при возмущенных исходных данных применены метод первого порядка. Численные результаты расчеты показывают, что в случае с возмущенными исходными данными коэффициент времени запаздывания восстанавливается с ошибками, соответствующими порядкам возмущения.

Список литературы:

1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ДАН СССР. 1960. Т.132, №3. С. 545-548.
2. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ. 1960. Т.24, вып. 5. С. 852-864.
3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. Москва.: «Недра», 1984.
4. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980.
5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988.
6. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin: Walter de Gruyter, 2007. – 438 p.
7. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. Москва: Машиностроение, 1988.
8. Hao D. N. Methods for inverse heat conduction problems. – Lang. pub. Inc., Peter, 1998.
9. Beck J.V., Blackwell B., Clair C.R. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. Wiley, 1985.
10. Хайруллин М.Х., Хисамов Р.С., Шамсиев М.Н., Фархуллин Р.Г. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации. Регулярная и хаотическая динамика, Ижевский институт компьютерных исследований, 2006.
11. Khairullin M.H, Abdullin A.I., Morozov P.E., Shamsiev M.N. The numerical solution of the inverse problem for the deformable porous fractured reservoir. Matem. Mod., 2008. Vol. 20. No. 11, pp. 35–40.
12. Khairullin M. H, et.al. Thermohydrodynamic studies of vertical wells with hydraulic fracturing of a reservoir. High Temperature, 2011. Vol. 49. No. 5, pp. 769–772.
13.  Khuzhayorov B., Kholiyarov E. Inverse problems of elastoplastic filtration of liquid in a porous medium. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2007. Vol.8., No.3, pp. 517-525.
14. Khuzhayorov B.K., Kholiyarov E.C., Mamatov S. Identification of the coefficients of relaxation filtration of a homogeneous liquid in porous media. AIP Conference Proceedings. – AIP Publishing LLC, 2022. – Vol. 2637. No. 1. 040009.
15. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч. Определение коэффициента перетока и проницаемости при фильтрации однородной жидкости в трещиновато-пористых средах // Проблемы вычислительной и прикладной математики. 2022. №1(38). С. 66-76.
16. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч., Эрназаров М.Ю., Тураев М. Обратная задача по определению коэффициента перетока в модели фильтрации Уоррена-Рута // Научный вестник СамГУ. 2022. №1(131). С.115-123.
17. Холияров Э.Ч., Шадмонов И.Э., Шерпулатов Ш.Ш. Определение коэффициента перетока в модели фильтрации Уоррена-Рута на основе решения обратной задаче // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. №5(98). C. 51-58.
18. Kholiyarov E.Ch., Ernazarov M.Y., Jurayev O.A., et al. Coefficient inverse problem for a simplified model of filtration of a homogeneous fluid in fractured-porous medium. - AIP Conference Proceedings 2637, 040021 (2022)
19. Kholiyarov E.Ch., Ernazarov M.Y. Determination of Relaxation and Flow Coefficients During Filtration of a Homogeneous Liquid in Fractured-Porous Media // Current Problems in Applied Mathematics and Computer Science and Systems. – Cham : Springer Nature Switzerland, 2023. .– P. 54-67.
20. Khuzhayorov B., Ali Md. F., Sulaymonov F., Kholiyarov E. Inverse coefficient problem for mass transfer in two-zone cylindrical porous medium // AIP Conference Proceedings, 2016. Vol. 1739. 020028.
21. Khuzhayorov B., Begmatov T., Kholiyarov E.Ch., Fayziev B. The inverse problem of determining the kinetic coefficients in the model of suspension filtration in a porous medium // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2022. Volume 10, Issue 4 (2022) P. 96-106.
22. Холияров Э.Ч., Бегматов Т.И., Файзиев Б.М. Идентификация коэффициента кинетики в модели фильтрации суспензии в пористой среде // Проблемы вычислительной и прикладной математики. 2022. №1(38). С. 9-17.
23. Khuzhayorov B., Kholiyarov E.Ch., Khaydarov O.Sh. Inverse Problem of Contaminant Transport in Porous Media // Current Problems in Applied Mathematics and Computer Science and Systems. – Cham : Springer Nature Switzerland, 2023. – P. 87-97.
24. Самарский А.А. Теория разносттных схем. – М.: Наука. 1989. – 616 с.