МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СЕТЕВОГО ТРАФИКА

АННОТАЦИЯ

Данная работа посвящена разработке аналитической модели системы управления трафиком для сети АТМ. В работе рассмотрена система массового обслуживания MMPP/M/1/r, получены вероятностно –временные характеристики системы одноуровневого управления трафиком и проведены численные исследования работы системы при различных параметрах.

ABSTRACT

This work is devoted to the development of an analytical model of the traffic control system for the ATM network. The paper considers the MMPP/M/1/r queuing system, obtains the probabilistic-temporal characteristics of the single-level traffic control system, and conducts numerical studies of the system operation for various parameters.

Ключевые слова: управление, трафик, поток, процесс, интенсивность, ячейка, вероятность блокировки, задержка , потери, обслуживание.   

Keywords: control, traffic, flow, process, intensity, cell, blocking probability, delay, loss, service.

Развитие современных сетевых технологий, успехи в создании волоконно-оптических линий связи и интегральных схем с большим объемом памяти и огромным быстродействием обусловили разработку и внедрение асинхронного режима переноса информации (АТМ – Asynchronous Transfer Mode).Преимущества технологии АТМ, позволяющие создать широкополосные сети интегрального обслуживания, дают возможность решить многие проблемы, связанные с высокоскоростной передачей данных и внедрением высококачественного мультимедиа. Сама же сеть АТМ может стать основой единой технологической платформы с быстрой окупаемостью затрат. Поэтому исследование механизмов управления трафиком и разработка новых механизмов с целью улучшения основных характеристик функционирования сетей АТМ является актуальной задачей на этапе планирования, внедрения и эксплуатации технологии АТМ. 

На основе исследований реальных входящих потоков в сетях передачи данных [1, 2] можно считать, что поток требований, генерируемый мультимедийными приложениями, может быть описан процессом MMPP. Таким образом, предлагается моделировать систему массового обслуживания (СМО) вида MMPP/M/1/r, где r - количество мест ожидания в буферном накопителе. Использование конечной емкости накопителя определяется наличием временных ограничений на доставку данных в сетях АТМ. Рассмотрим однолинейную СМО с ММРР входным потоком, постоянным временем обслуживания требований, накопителем ограниченной емкости и дисциплиной обслуживания “первый пришел – первый обслуживается” (FIFO). На систему из внешнего источника поступает поток однотипных заявок (ячейки АТМ). Заявка, поступившая на систему в момент времени, когда накопитель полностью занят, покидает систему и вновь на нее не поступает. Таким образом, в рассматриваемой модели переполнение накопителя вызывает потери заявок. Интенсивность входящего потока изменяется в зависимости от длины очереди (числа ячеек). Максимальное количество заявок в системе составляет R=r+1.

В дальнейшем рассматривается очередь из ячеек, которые должны быть переданы в одном направлении. Число ячеек q(t) в буфере узла непрерывно контролируется. Как только величина q(t) превышает некоторое пороговое значение L, определенная часть входящего потока “отсекается”. При этом значение интенсивности входящего потока  уменьшается мгновенно до некоторой величины , в результате чего величина q(t) начинает постепенно уменьшаться. Как только число ячеек в очереди становиться меньше величины L, на вход системы вновь начинает поступать весь входящий поток. Таким образом, в рассматриваемой СМО интенсивности переходов задаются следующим образом:

где  L – величина порога,

- мгновенное значение ячеек в очереди

Критерии качества работы мультиплексора АТМ, как правило, включают вероятность блокировки ячейки, задержку и джиттер, требования к размеру буфера, производительность и т.д. Известно, что для оценки качества работы системы ограничения нагрузки, наиболее критичным параметром является вероятность блокировки ячейки.

Для определения вероятности блокировки (потери заявки) для рассматриваемой СМО ММРР/M/1/r, как рекомендовано в [5], но с учетом того, что длина поступающих ячеек является постоянной, осуществим адекватный переход от параметров процесса ММРР к параметрам фазового процесса восстановления:

Где,  - параметры фазового процесса восстановления;

 - параметры двухфазного процесса ММРР.

Определим вероятности перехода и пребывания в состоянии:

,

Опишем поведение СМО однородным марковским процессом над множеством состояний  принимая во внимание вероятностную интерпретацию процесса поступления заявок. Для произвольного времени t состояние (i,k) отражает ситуацию, когда в системе имеются k заявок, а процесс поступления заявки находится в фиктивной фазе i (в узле i сети массового обслуживания, интерпретирующей этот процесс). В работе [3] доказано, что предельные вероятности  существуют, строго положительны, не зависят от начального распределения и совпадают со стационарными вероятностями.

Введем следующие векторы:  Стационарные вероятности  образуют единственное решение системы уравнений равновесия:

с условием нормировки ,

где  - максимальное количество требований в системе;  I - матрица тождественного преобразования;   - интенсивность обслуживания требований;   - вектор интенсивности поступления требований в СМО.

Система уравнений равновесия позволяет вычислить стационарное распределение :

где 

.

Вектор  определяется как единственное решение системы уравнений:

где  .

Учитывая порог L для одноуровневой модели, запишем следующие выражения:

где.

Далее на основе полученных стационарных вероятностей рассматриваемой СМО находятся вероятностно временные характеристики. Обозначим через  и  интенсивности поступающего потока и обслуживания соответственно. Тогда, учитывая (1), можно записать:

Загрузку системы обозначим через .

В соответствии с представленными выше обозначениями, формула для вычисления вероятности блокировки требований иметь следующий вид:

Зная  можно по известным выражениям [5, 6] найти следующие характеристики. Среднее число заявок в системе  определяется следующим образом:

Средняя длина очереди  определяется выражением:

Среднее время, проведенное заявкой в системе запишется как:

Среднее время, проведенное заявкой в очереди (среднее время ожидания), с учетом (8)  в виде:

В результате проведенных исследований аналитической модели СМО MMPP/M/1/r механизма одноуровневого ограничения определен диапазон значений нагрузки, в  котором механизм позволяет получить уменьшение вероятности блокировки требований по сравнению со механизмом LB. В частности, практически на один порядок при ,  и .

Список литературы:

1. W. Leland, M. Taqqu, W. Willinger, “On the self-similar nature of Ethernet traffic”, IEEE/ACM Trans. Networking, vol.2, no.1, pp.1-15, 1994.
2. V. Paxon, S. Floyd, “Wide are traffic: The failure of Poisson modeling”, IEEE/ACM Trans. Networking, vol.3, no.3, pp.226-244, 1995.
3. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. "Анализ очередей в вычислительных сетях", Москва, Наука, 1989, 336 с.
4. Bruneel H., Kim B.G. "Discrete-time Models for Communication Systems Including ATM", Kluwer, 1993.
5. Клейнрок Л. "Теория массового обслуживания", Москва, Машиностроение, 1979.
6. Шварц М. “Сети связи: протоколы, моделирование и анализ”. Ч.1. –М.: Наука, 1992. – 336 с.
7. Irena Atov, Richard J.Harris. “A Mathematical Model for IP over ATM” Conference : NETWORKING 2002, Pisa, Italy, May 19-24, 2002.