ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается краевая задача для вырождающихся на границе области параболических уравнений, имеющих приложения гидродинамических невзаимосвязанных пластов. Предложен численный метод решения, доказана сходимость метода.

ABSTRACT

In this article, we consider a boundary value problem for parabolic equations degenerating on the boundary of the region and having applications of hydro dynamically non-interconnected layers. A numerical solution method is proposed, and the convergence of the method is proved.

Ключевые слова: уравнения параболического типа, вырождающиеся уравнения параболического типа, гидродинамические невзаимосвязанные пласты, метод прямых, дифференциальные прогонки, сходимость.

Keywords: equations of parabolic type, degenerate equations of parabolic type, hydrodynamic non-interconnected formations, method of straight lines, differential sweeps, convergence.

Изучению решения параболических уравнений, имеющих приложение в теории фильтрации, посвящены многочисленные работы [5; 1].

Среди них особый интерес представляет вырождающееся уравнение на границе области [1]. В данной работе для численного решения применяется метод прямых с комбинацией дифференциальной прогонки.

Задача А. Найти функцию , удовлетворяющую системе уравнений:

                                                                    (1)

и одному из начальных условий

 если                                                          (2)

условия при заменяются условием

.

Здесь некоторые константы,  и  и положительны при .

Задачи (1)–(2) эквивалентны следующему интегральному уравнению:

.                                                          (3)

Обозначим , где , и введем в рассмотрение векторное пространство . Нетрудно показать, что отображение А:

                                                       (4)

приводить  в себя для любых  имеет место, и оценка

гденепрерывная функция и , следовательно, можно подобрать  так, чтобы выполнялось неравенство , и вытекает сжатость отображения А.

Отсюда в силу теорем Бонаха системa уравнений (3) имеет единственное решение в пространство  и .

В силу линейности уравнений и того, что коэффициенты задачи (1)–(2) не имеют особенности , решение непрерывным образом можно продолжить на отрезке .

Аналогично рассматривается случай  При этом используется соотношение

Задача В. Рассмотрим систему уравнений, описывающих движение газа в гидродинамических несвязных многослойных пластах [1].

                           (5)

С начальными условиями .

Если

                                                                         (6)

Если , а  то условие при  заменяется условием .

 Допустим, что в  существует непрерывное решение при условии достаточной гладкости коэффициентов. Для приближенного решения (5)–(6) возьмем прямые , . Обозначим через  искомое приближенное значение  на прямых  при где . Аппроксимируем задачу (5)–(6) следующей дифференциально-разностной задачей:

                        (7)

следующими условиями:

, если , если , условия при  заменяются условием.

Пусть коэффициенты систем уравнений (7) вычислены при . Тогда каждое уравнение (7) линейно относительно .

Решение задачи (7) построим с использованием модифицированного метода дифференциальной прогонки [1; 5]. Решение будем искать в виде , где и – прогонные коэффициенты.

Построим следующим образом:

                                                       (8)

                                                                   (9)

где

здесь определяется следующим образом:

,

является решением задачи

 аналогично докажем, как в задаче А. Функция, определенная формулами (8)–(9), является решениями задачи (7), так как  сходится равномерно. Для численной реализации решения задачи (5) – метод дифференциальной прогонки [2].

Для численного решения задачи (7) в случае невырождающегося уравнения в прямой прогонке решения системы:

В обратной протоке решится уравнение:

.

Для реализации численного метода будем применять метод Рунгэ–Кутта с автоматическим выбором шага.

Примечание. Приближенное решение, полученное методом прямых, сходится к точному решению со скоростью , где – шаг по времени.

Список литературы:

1. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Решения многоточечной краевой задачи фильтрации газа в многослойных пластах с учетом релаксации // Universum: технические науки. – 2019. – № 11-1 (68) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/resheniya-mnogotochechnoy-kraevoy-zadachi-filtratsii-gaza-v-mnogosloynyh-plastah-s-uchetom-relaksatsii.
2. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Численное решение методом прямых интеграла дифференцирования уравнений, связанных с задачами газа // Universum: технические науки. – 2020. – № 7 (76) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/9994.
3. Годунов С.К., Ребенький В.С. Введение в теорию разностных схем. – ФизматГиз, 1962.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Наука, 1967.
5. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. On one method for solving degenerating parabolic systems by the direct line method with an appendix in the theory of filration // European Journal of Research Development and Sustainability (EJRDS). – 2021. – Vol. 2. № 5 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://scholarzest.com/index.php/ejrds/issue/view/39.
6. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. The numerical solution by the method of direct integrals of differentiation of equations have an application in the gas filtration theorem EPRA // International Journal of Multidisciplinary Research. – 2020. – Vol. 6, Issue 10 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://eprajournals.com/jpanel/upload/535pm_32.EPRA%20JOURNALS-5368.pdf.